在课题学习中渗透数学核心素养

潘秀亮

初中生应当要有一定的时间和空间经历观察、计算、推理等活动过程，而钟面角问题就是一个很好的载体，其中蕴含了丰富的数学知识，例如，追及问题的提取，绝对值的使用等，这有利于培养学生的空间想象能力和抽象出数学模型解决问题的能力.

1 教学背景

如图1，时针与分针的夹角问题是学生经常遇到的一类有趣但又相对惧怕的数学计算问题，如何改变这一现状？动手实践是一种重要的方式，它可以帮助学生实现数学认识和经验的同步增长;同时，可以变“被动接受”为“主動探究”，通过“做”数学体验发现的乐趣，感悟数学的真谛，发展数学思维和智慧，提高实践能力和创新意识，逐步积累数学活动经验，笔者以“钟面角”为例，阐释如何在课题学习中，渗透数学思想方法，有效促进深度学习.

2 教学目标

（1）探索、归纳不同时刻时针与分钟夹角的计算公式;

（2）培养学生动手操作、观察、分析、归纳得到数学知识的能力，培养学生合情推理和演绎推理能力;

（3）通过数学实验，让学生获得成功的喜悦，从不同的角度去审视问题，培养学生数学抽象、数学建模和运算能力等核心素养;

3 重难点

钟面角计算公式的探索论证过程.

4 教学设计

4.1情境引入

时钟是我们现实生活中常见的一种计时工具，不管时间如何变化，钟面上的时针和分针都组成了一个与角度有关的数学问题，我们称之为钟面角问题，这个问题是很多同学惧怕的问题，那有没有什么方法可以帮助我们化解这样的难题呢？今天，我们一起来探究这个问题.

4.2 在追问过程中理解计算钟面角的内涵

环节1展示教室里的钟面图

问题1钟面是由哪些“静态”的元素组成的？

学生1：由12个数学组成了12个大格子，每个大格子里还有5个小格子，

追问1：这些大格子和小格子间隔相等吗？

学生2：都是相等的，所以总共有12个大格子，每个大格子是30°，总共有60个小格子，每个小格子是6°，

师：很好，这位同学了解得很全面，但是我们不能说大格子是30°，应该说什么角等于多少度？

问题2钟面是由哪些“动态”的元素组成的？它们分别是怎么运动的？

学生3：钟面由时针、分针和秒针组成，时针每一个小时走30°，分针每一分钟应该走6°，秒针一秒钟应该也走6°，

追问2.我们能不能将上面的单位统一为1分钟各走多少度？

学生4：因为时针每小时走300，那么1分钟应该是0.5°，分针1分钟还是走6°，秒针1分钟走360°;

追问3：以上信息实际上就是在研究时针、分针和秒针的什么量？

学生5：速度，也就是说时针的速度是0.5°/分钟，分针的速度是30°/分钟，秒针的速度是360°/分钟，

环节2 由表及里，明辨化归巧解题

问题1我们再来看一下班级的时钟，此时时间为上午9：21（下面所有的时间问题，我们假设秒针都刚好指向12），请问此时时针与分针的夹角是多少？你打算如何思考？

学生1：因为此时分针与数字9之间有24个小格子，每个小格子是6°，总共是24x6°=144°，又因为时针在21分钟里还要走21x 0.5°= 10.5°，所以此时夹角应该为144°+10.5°=154.5°.

追问1：数小格子是一个很好的办法，我们可以从静态的角度去算小格子的角度和，再从动态的角度去计算时针又走了多少度，那么一定是这两个角度的和吗？

学生2：不一定，比如时间为9：50，因为分针指向的位置与数字9之间有5个小格子，每个小格子是6°，总共是5x6°=30°，又时针在50分钟里要走50x0.5°=25°，所以此时夹角应该为30°-25°=5°，

学生3：其实当分针超过时针时都应该使用减法，没有超过时用加法，

学生4：也不对，比如时间为9：46，因为分针指向的位置与数字9之间只有1个小格子.总共是6°，又因为时针在46分钟里要走46×0.5°=23°，所以此时夹角应该为23°-6°=17°。，此时分针还没有超过时针，但也是减法，所以应该是当分针超过数字9时都应该使用减法，并且用大角减去小角，没有超过时用加法，

学生5：还要注意使用加法时，角度和不能大于180°，否则要用360°来减去这个角才等于时针与分针的夹角，

追问2：同学们讨论的实在太好了，那么联系上面时针与分针的速度，我们能不能都从动态的角度来阐释一下？

学生6：可以，我们知道9点整时，时针与分针之间有9个大格子，总共是30x9°=270°，而当9：21时，时针走了21x 0.5°=10.5°，分针走了21x6°=126°，相当于将角度缩小了126° -10.5= 115.5°，此时夹角应该为270° -115.5°=154.5°，

追问3：这种解法和我们行程问题中的哪个模型很像？

学生7：我觉得应该是追及问题，因为分针的速度比时针的速度要快，且速度差为5.5。/分钟，所以整点时产生的差距分针可以慢慢的追上.

4.3 柳暗花明又一村，化归总结得公式;

环节3由特殊到一般，抓住问题的本质

问题3时间为m点n分该如何计算？ 学生1：因为m点整点时.时针与分针的角度差距为m×30°=30m°，n分针后，分针可以追上5.5n°，此时夹角就为（30m - 5.5n）°，

追问1：有没有同学进行补充的？

学生2：我觉得是这样的，如果没追上的话是（30m - 5.5n）°，追上的话应该是（5.5n - 30m）°，

追问2：我们可以用一个式子表示吗？

学生3：我们可以用绝对值|30m -5.5n|°来表示，

追问3：还有什么要注意的？如果时间是14：21分呢？

学生4：我们应该把它转化成2：21再计算，此外如果角度算出来大于180°，一样要用360°来减去这个角才等于时针与分针的夹角.

环节4超级变变变，结论的适时应用

问题1 9点到10点之间，分针与时针的夹角为10度时，此时是几点？

问题2 9点到10点之间，分针与时针重合？

问题3 9点到10点之间，分针与时针垂直？

5教学反思

波利亚说过：“掌握数学就意味着善于解题”，教师想要提高学生的解题效率，就需要不断地学习新的理念，尝试新的教学方法，对课题学习的钻研和对学情的了解是尝试新教法的前提，其中对教材的再创造，集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，准确地体现基本理念和内容标准规定的要求，在这个过程中，师生双方的互动往往会“生成”一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整预案，使教学活动收到更好的效果，

学生获得知识，必须建立在自己思考、动手实践的基础上，在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为，处理好教师讲授与学生自主学习的关系，注重启发学生积极思考;发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者，