耦合Gerdjikov-Ivanov方程高阶孤子解的研究

2022-05-05张毅菲商慧晶

中北大学学报(自然科学版) 2022年2期

张毅菲，宋妮，商慧晶

(中北大学理学院，山西太原 030051)

0 引言

孤立子又被称为孤子(Soliton)，在不受外界阻力影响的理想状态下，其性状基本稳定[1-2]. 目前，对于孤子的精确定义还无法做到统一，但是有关孤子的几个特性却是众所周知的：(1)孤子的能量大多集中在一个狭小的波包中. (2)相互作用后的孤子仍保持原来的速度与振幅属于孤子间的弹性碰撞；碰撞之后会发生相移，即碰撞后孤子的移动轨迹会发生偏离属于孤子间的非弹性碰撞. (3)同向孤子相互吸引，异向孤子则相互排斥. 孤子动力学性态的研究成果对物理实验和工程实践具有重大意义.

非线性薛定谔(NLS)方程常用来描述Kerr介质中光孤子的传播，NLS方程的可积推广以及高阶干扰项修正是学者们研究的热点. Gerdjikov-Ivanov(GI)方程是NLS方程的一种可积推广，此方程是理论物理中的一个重要模型，在空间凝聚态物理和非线性光学中有广泛应用[3-4]，也称为带导数的非线性薛定谔方程(NLSEIII)[5-6].

(1)

此外，还有两类带导数的NLS方程，分别称为Kaup-Newell方程[7]和Chen-Lee-Liu方程[8]，这三个方程之间存在含有积分的复杂变换，从其他两个方程的性质结论很难得到第三个方程的性质结论，因此这三个方程通常分别进行研究. 已经有很多学者对GI方程进行了研究和讨论，Xu[9]等通过2-重Darboux变换得到GI方程的呼吸解和怪波解； Yilmaz等[10]基于拟行列式的方法也得到GI方程的解. 目前，关于耦合GI方程高阶孤子解间相互作用的研究较少.

本文研究耦合Gerdjikov-Ivanov(cGI)[11-12]方程

|q2|2)2q1=0，

|q2|2)2q2=0

(2)

高阶孤子解的相互作用，其中，q1，q2是与自变量x和t有关的波函数；t是时间变量；x是空间变量.当q1=q2时，方程(2)简化为方程(1). Zhang等[12]通过研究方程(2)的黎曼-希尔伯特问题获得到亮-亮孤子解； Wang等[13]利用广义Darboux变换得到方程(2)的暗-亮孤子； Dong等[14]构造Darboux-dressing变换得到方程(2)的局域波解. 本文利用广义Darboux变换得到cGI方程的二阶孤子和三阶孤子解的迭代表达式，通过数值模拟分析高阶孤子间的相互作用和动力学特性.

1 广义Darboux变换

方程(2)的Lax对为

(3)

Φt=VΦ=(2λ4J+2λ3Q+λ2Q2J+λQxJ+

式中：Φ=(φ(x,t),φ(x,t),χ(x,t))T为(x,t)的三维向量函数；λ为光谱参数； T表示向量的转置，星号表示共轭.利用符号计算，方程(2)可由相容性条件Ut-Vx+[U,V]=0得到.

假设种子解q1[0]=q2[0]=0，代入方程(3)得到Lax对方程对应谱参数λ=λ1和λ=λ2的解

(4)

式中：Γ1i和Γ2i(i=1,2,3)是自由参数.

构造Φ2[1]=(φ22[1]φ22[1]χ22[1])T=T[1]Φ2[0]，其中

T[1]为达布矩阵，†表示向量的共轭转置，Φ2[1] 为Lax对方程对应谱参数λ=λ2的解. 根据经典Darboux变换，得到方程(2)的一阶孤子解的表达式

(5)

式中：P11=|φ11[0]|2+|φ11[0]|2+|χ11[0]|2，Q11=|φ11[0]|2+|φ11[0]|2-|χ11[0]|2.

根据上述经典达布变换过程，构造方程(2)的广义达布变换.假设Ψ(λ3+η)=Φ2[1]|λ2=λ3+η是Lax对方程对应谱参数λ2=λ3+η的解，其中η是小参数，利用maple将Ψ(λ3+η)在η=0处泰勒展开

Ψ(λ3+η)=Ψ0+Ψ1η+Ψ2η2+…,

(6)

式中：Ψ0=(φ23[0]φ23[0]χ23[0])T,Ψ1=(φ23[1]φ23[1]χ23[1])T，由于表达式较复杂，这里不再详细给出.定义方程(2)的(N-1)阶广义达布变换(N=2,3)为

(7)

Φ1[1]=(φ24[0]φ24[0]χ24[0])T=Ψ0+T[2]Ψ1,

(8)

q1[N]=q1[N-1]-

q2[N]=q2[N-1]-

(9)

其中

P2(N+1)=|φ2(N+1)[0]|2+|φ2(N+1)[0]|2+

|χ2(N+1)[0]|2,

Q2(N+1)=|φ2(N+1)[0]|2+|φ2(N+1)[0]|2-

|χ2(N+1)[0]|2.

根据以上可知方程(2)的二阶和三阶孤子解的表达式为q1[N]和q2[N](N=2,3).

2 二阶孤子和三阶孤子的动力学特性

基于表达式(9)，在给定谱参数的前提下，对表达式中自由参数Γ1i和Γ2i(i=1,2,3)取值，研究零振幅背景下二阶和三阶孤子的动力学特性.

N=2时，讨论二阶孤子的动力学特性.根据谱参数λ1，λ3的实部和虚部是否相等，分为两种情况：

1) 当Re(λ1)≠Im(λ1), Re(λ3)≠Im(λ3)时，q1和q2具有相同的动力学特性，表现为一个双峰孤子和单峰孤子的弹性碰撞，发生碰撞后两个孤子以原来的振幅和速度继续向前运动，如图 1 所示.

图 1 Γ11=1,Γ12=2,Γ13=3,Γ21=1,Γ22=2,Γ23=3, λ1=0.25+0.25i,λ3=0.5+0.5i的二阶孤子之间的弹性碰撞Fig.1 Evolution diagram of interaction between second-order solitons at Γ11=1,Γ12=2,Γ13=3,Γ21=1,Γ22=2,Γ23=3, λ1=0.25+0.25i,λ3=0.5+0.5i

2) 当Re(λ1)=Im(λ1), Re(λ3)=Im(λ3)时，q1和q2表现为两个双峰孤子发生弹性碰撞，碰撞后孤子的传播轨迹和能量都没有发生改变，在碰撞瞬间能量发生变化，如图 2 所示.

图 2 Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=2, λ1=0.5+0.5i,λ3=0.4+0.4i的二阶孤子之间相互作用演化图Fig.2 Evolution diagram of interaction between second-order solitons at Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=2, λ1=0.5+0.5i,λ3=0.4+0.4i

N=3时，讨论三阶孤子的动力学特性，比较谱参数λ1,λ3的实部和虚部，分为两种情况：

1) 当Re(λ1)≠Re(λ3), Im(λ1)=Im(λ3)时，q1和q2都表现为三个孤子间发生弹性碰撞，碰撞前后三个孤子的传播轨迹和振幅都没有发生改变，在碰撞瞬间振幅发生改变，如图 3(a)和图3(b)所示；保持其他参数不变，调整Г22=3，q1的三个孤子间发生非弹性碰撞，沿t轴，单条孤子的振幅随着时间的变化在减小，相比弹性碰撞，非弹性碰撞瞬间达到的最大振幅变小，能量损失，q1和q2具有相同的动力学特征，这里只展示q1孤子间相互作用演化图，如图 3(c) 所示.在情况(1)的前提下，调换谱参数λ1和λ3的值，q1和q2三个孤子的传播方向发生改变，振幅减小，其他动力学特性与情况(1)相同，如图 4 所示.

图 3 Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=1,λ1=0.5+0.25i,λ3=1+0.25i的三阶孤子之间相互作用演化图

图 4 Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1,Γ23=1,λ1=1+0.25i,λ3=0.5+0.25i的三阶孤子之间相互作用演化图Fig.4 Evolution diagram of interaction between third-order solitons at Γ11=1,Γ12=1,Γ13=1,Γ21=1,Γ22=1, Γ23=1,λ1=1+0.25i,λ3=0.5+0.25i

2) 当Re(λ1)=Re(λ3)且Im(λ1)=Im(λ3)时，q1和q2的动力学特性相同，三个孤子有相同的传播方向，传播过程中振幅出现了有规律的振荡，但碰撞前后能量没有发生改变，碰撞瞬间的最大振幅为4，三个孤子之间存在弹性碰撞，如图 5(a) 和图 5(b)所示；保持其他参数不变，调整Γ22=1.2，一个孤子的振幅由碰撞前的2减小为1，能量发生变化，此时三个孤子间存在非弹性碰撞，这里只展示q1孤子间相互作用演化图，q2与q1类似，如图5(c)所示.