以形辅数 用形助算 借形促思

袁慧娟

【摘   要】数轴是小学数学中的一个重要教学工具，它具有简洁、直观、易操作等特点，通过厘清数轴在小学数学教材中的表现形式，提出以形辅数、用形助算、借形促思的教学策略，以促进学生理解数概念、提升运算能力、发展数学思维。

【关键词】数轴;表现形式;应用策略

数轴“显示了数的存在性及其内部结构”（弗赖登塔尔语）。用好数轴这一直观教学工具，对于促进学生理解数概念、提升运算能力、发展数学思维等具有重要的作用。

一、数轴在教材中的表现形式

在数学中，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。在小学阶段，数轴主要以两种形式出现。

（一）显性形式——数轴图

虽然在各版本的小学数学教材中都没有安排单独的有关数轴的教学内容，但是出现了很多数轴的运用。大多数时候数轴是以显性的形式，即标准的数轴形式出现的（如图1），它有原点、正方向和单位长度，学生能够看懂，并能利用它来解决很多数学问题。

（二）隐性形式——数尺图

在学生数学学习的初始阶段，数轴也会以类似于直尺的形式出现，就是通常所说的数尺（如图2）。依托生活中的直尺，使数轴的原点、正方向和单位长度隐藏其中，这是数轴的隐性形式。随着学生抽象能力的不断提升，数尺逐渐转变为数线，最后变成完整的数轴。

二、数轴在小学数学教学中的应用策略

正确认识了数轴的表现形式，教师可以结合小学数学知识的特点以及小学生的思维特点，在教学中恰当使用数轴，充分发挥数轴的应用价值。

（一）以形辅数：理解数的本质，培养学生数感

借助数轴渗透数形结合思想，可以使抽象的数学知识以学生容易接受的直观形式呈现，加深学生对数概念的理解，培养学生的数感。

1.凸显数的单位，理解内部关系

整数、小数等都是十进制数，在十进制系统中的数有其自身的内部关系。整数的计数单位依次是一、十、百、千、万等，借助数轴可以帮助学生认识数的单位，理解数的意义。

【案例1】浙教版教材二年级下册《1000与10000》练习

图3呈现的是教材“练一练八”中的第2题。这两题不但要让学生数数，填数，而且要充分发挥数轴的优势，促进学生理解数的意义。教师可以在学生数数、填数之后进一步引导学生对这两题进行比较：为什么数轴上长度相同的线段表示的数的大小却不一样呢？学生通过观察、比较，发现第（1）题是以百为单位一百一百地数的，第（2）题是以千为单位一千一千地数的，单位不一样，同样长度的数轴表示的数的大小也就不一样，由此体会计数单位的重要性，并引申出小数的计数单位也是同样的道理。

随着学习的不断深入，学生从计数转向十进制结构来认识数的意义，这时数轴的直观功能更能促进学生对数概念的理解。

【案例2】人教版教材四年级下册《小数的意义和性质》

学生初学小数时，要求他们写出0～1之间的一位小数，学生都没有问题。如果进一步要求他们写出0～0.1之间的小数，有的学生就会出现一定的困难。因此，教学时教师可以用动态演示的方式，把教材中的数轴（如图4）放大，将1平均分成100份，也就是将0.1再平均分成10份，这样就可以找到0.01，0.02，0.03……同理，学生还能找到三位小数、四位小数等，从而体会数轴的直观功能。

2.不同形式表征，构建对应关系

学生对数的认识是从自然数开始的一个循序渐进的过程，分数、小数的产生使数系得到了进一步扩展。通过数轴可以帮助学生更加直观、深入地建构对分数、小数的认识。数轴上的同一个点可以用不同的分数和小数表示，而它们又是等值的，由此沟通分数、小数之间的联系。

【案例3】人教版教材五年级下册《分数的基本性质》

下面哪些分数在直线上能用同一个点表示？把它们在直线上表示出来。

图5呈现的是教材“练习十四”中的第5题。利用数轴，能让学生直觀地认识到单位1相同，同一个点可以用不同单位的分数来表示，这些分数的大小相等。

3.感悟数系发展，完善认知结构

不管是整数（计数单位的累计），还是分数、小数（计数单位的均分），用的都是数轴的正半轴，而负数用的是数轴的负半轴。全体有理数和数轴上的点一一对应。

【案例4】浙教版教材四年级下册《认识负数》

迪迪从校门口向东走了3米，强强从校门口向西走了3米，看看他们在什么位置。

图6呈现的是教材中的例2。“向东路程”与“向西路程”是一对具有相反意义的量，把向东走3米，用“3”表示，这样的数是正数;把向西走3米，用“-3”表示，这样的数是负数。利用数轴这个直观图可以使学生进一步理解相反意义量的表示方法，理解正数和负数的分界点，即“0”的位置。以“0”为基准点，“-3”和“3”都和基准点“0”相差三格，“0”的左边是负数，“0”的右边是正数。

（二）用形助算：深化运算意义，提升运算能力

数的运算是数与代数领域的重要内容，培养学生的运算能力是小学数学教学的重要任务，教师可以借助数轴，以形助算，深化运算意义，提升学生的运算能力。

1.根据数轴方向，理解运算意义

数轴规定了正方向，这为学生感受数的大小、理解运算的意义提供了参照。教师在教学中可以利用数轴，结合语言表达，引导学生数学化地思考问题，理解加减乘除的意义。

【案例5】浙教版教材一年级上册《加法与减法》

教师请学生在数轴上找到相应的加数，从起点开始往右数几格就是加几，11+5就是从11开始往右数5格，从起点开始往左数几格就是减几，18-6就是从18开始往左数6格（如图7）。在利用数轴数数的过程中赋予数轴加法和减法的意义。

2.对接抽象和直观，理解算理算法

计算教学强调理解算理，掌握算法。数轴可以使算理与算法之间建立直观形象的联系，从而提升学生数形结合的应用能力。

【案例6】人教版教材六年级上册《分数乘法》

[25] × [47]可以怎么计算。

数轴可以帮助学生理解分数乘法的意义，依托算式与数轴的巧妙结合，学生很容易就理解了[25] × [47]就是求[25] 的[47]是多少。利用数轴，学生知道[15] ×[17] =[135]（如图8-1），再引申到“[25] × [47]可以怎么计算”。从图8-2中可以看出，小长方形含有8个[135]，大长方形含有35个[135]，小长方形面积是大长方形面积的[835]，所以[25] × [47]=[835]，这就帮助学生理解了分数乘法的意义。

3.创新使用数轴，优化计算方法

关于运算能力的表述之一就是“根据法则与运算律寻求合理简洁的运算途径”。在教学时，可以创新使用数轴，帮助学生理解简便计算的意义，在算法多样化中进行比较，以选择更好的计算方法解决问题。

【案例7】浙教版教材二年级下册《简便计算》

聪聪领了198本借书证，强强领了96本借书证。两人一共领了多少本？

96+198

=96+200-2

=294（本）

简便计算的一个重要策略就是多加要减，多减要加，学生往往对此感到难以理解。教师可以通过“数轴”，帮助学生建立关联，以更好地理解计算的过程（如图9）。

（三）借形促思：体验数学思想，提升问题解决能力

小学数学教学要重视数学思想方法的渗透。数轴中隐含着很多数学思想方法，包括对应、极限、函数等，在教学中可以结合数轴，渗透数学思想方法的学习。

1.利用对应关系，感悟对应思想

对应思想是一种常用的数学思想方法。整数、分数、小数或者是负数，都可以在数轴上找到一一对应的点，这种对应关系有助于学生找到不同数之间的关系。

【案例8】浙教版教材三年级下册《认识小数（二）》

看图填数，并比较大小。

为了让学生更好地比较两个数的大小，可以把两个数在数轴上表示出来，这样学生的思维就有了载体。如图10，第一个数轴上A、B两个数分别表示1.2和2.1，1.2<2.1，第二个数轴上A、B两个数分别表示0.12和0.21，0.12<0.21。通过数轴比较两个数的大小，就显得更加清晰了。

2.观察发展趋势，感悟极限思想

极限思想是指从有限中认识无限的一种数学思想方法。小学生容易接受图形中的极限思想，却很难接受计算中的极限思想，利用数轴的直观性可以很好地帮助学生认识和理解。

【案例9】人教版教材六年级上册《数学广角——数与形》

计算：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+…。

这是教材第107页上的例2。通过观察发现这些数的分子都是1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，这些分数可以用什么方法求和呢？有的学生通过不断地相加，发现所得到的分数越来越接近1。这只是一个猜测，教师可以引导学生在数轴上进行验证，并将这些数在数轴上一一对应写出（如图11），学生发现确实它的和越来越接近1。

3.发现变化规律，感悟函数思想

函数描述了两個量在变化过程中的相互依存关系，在小学阶段涉及函数思想的学习中，可以依托数轴找到其中的变与不变。

【案例10】浙教版教材一年级上册《20以内进位加法（一）》

分别求出每种颜色的线的长度。

图12呈现的是教材“练一练十一”中的第5题。教师先请学生通过数轴求出每条线段的长度，接着，教师对此题进行拓展，请学生有规律地写出“和是14”的算式，5+9=6+8=7+7=8+6=9+5=14，找出在和不变的情况下，一个加数依次增加而另一个加数依次减少的变化规律。教师还可以请学生写加法算式，横线表示的5不变，竖线表示的数从0开始每增加1，那么所得到的和也增加1，由此感受函数思想。

数轴具有简洁、直观、易操作的特点，对于学生理解数概念、发展运算能力、感悟数学思想等发挥着积极的作用。在教学中要善于利用这一资源，促进学生理解知识、感悟思想、发展能力，为他们的后续学习打好基础。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]吴正宪，刘延革.发展儿童数学关键能力[M].北京：教育科学出版社，2017.

[3]王永春.小学数学思想方法解读及教学案例[M].上海：华东师范大学出版社，2017.

[4]张天孝，邵虹.一年级教学设计和实验[M].杭州：浙江大学出版社，2009.

（浙江省杭州市大学路小学   310009）