理解与迁移：“数的运算”板块教学思考与实践

2022-04-29郑志霞

教育视界（智慧教学） 2022年2期

摘要：从教材和学情出发，对“数的运算”板块进行分析后发现，某些单元或课时在教学中具有统摄作用。因此，在教学这部分关键课时、关键单元时，可尝试以“理解与迁移”为导向，通过课堂实践提炼基本课型，如算理理解课、算法形成课、运算技巧课、规律探索课、简便计算课等，展开单元整体教学，为计算教学提供可行性参考。

关键词：理解与迁移；数的运算；乘法运算；基本课型

为了更有效地教学，我们系统梳理了人教版教材“数的运算”板块，分析了12册教材中的29个运算单元后发现，有些单元或例题的算理相同、算法相似；有些单元例题提供了丰富的学习材料，可以帮助学生形成算法；还有些单元例题是计算程序的教学等。显然，教材在编排不同的计算内容时并不是千篇一律的，而是各有侧重，有些着力于算理的理解，有些注重算法的形成。那么，计算教学中是否存在一些关键单元或关键课时，对算理的理解具有核心作用，且有助于学生迁移应用？我们该如何开展这些内容的教学，帮助学生更好地实现迁移呢？

带着这一思考，我们对人教版教材中的7个乘法单元、7个除法单元、12个加减法单元和3个混合运算单元做了进一步分析，试图寻找每种运算教学中的关键单元或课时，并开展深入研究与课堂实践。本文以乘法内容为例，阐述我们在“理解与迁移”导向下的教学思考和实践。

一、基于“理解与迁移”，定位关键单元

所谓理解与迁移，指的是学生在理解的基础上，将知识、方法或思维方式等迁移到新知的学习过程中，学生的学习方式发生了变化，更加注重学生的自主性和主体性。具体到计算单元教学中，就是将计算的本质理解到位，然后在同类型运算中能够灵活迁移应用，解决新问题。在教材整理的基础上，我们对乘法内容所在的6册教材从单元主题、例题编排、材料背景等多个维度进行了深入分析，梳理了各单元的主要知识点（如表1），从学科逻辑和学生视角两个维度定位关键单元，认为整数乘法部分的关键单元是《多位数乘一位数》：从教材编排来看，《多位数乘一位数》单元实现了从表内乘法到乘法竖式教学的飞跃，对后续乘法运算教学具有重要意义；而从学情来看，多位数乘一位数是实现“理解与迁移”的源头。小数乘法和分数乘法的关键单元是《分数乘法》：从数的意义来说，分数乘法的算理能够迁移至小数乘法；从运算的意义来说，分数乘法意义的理解是对小数乘法的有益补充。

（一）将《多位数乘一位数》设为关键单元的原因分析

1.其算理能够迁移至后续笔算乘法

《多位数乘一位数》单元是笔算乘法的起始单元，对笔算乘法算理理解具有“开启”的意义和迁移作用，教学的核心目标是在理解算理的基础上掌握算法。小学数学中，数与代数领域的核心概念是计数单位的累积，乘法教学也应以此为关键。《表内乘法》是乘法教学的基础，诠释乘法的意义；《两位数乘一位数》则是乘法运算教学的核心，帮助学生从乘法口诀过渡到一般乘法。“把两位数拆分为整十数和一位数，通过计数单位的累加求出得数。”当学生深刻理解了这一算理，就可以继续依托数的意义和运算的意义，迁移学习三位数乘一位数、两位数乘两位数和三位数乘两位数等乘法内容。

同一种运算，一般都是从简单程序（参与运算的两个量的位数比较少）入手，逐渐转向复杂程序的教学。从简单程序到复杂程序，通常算理是相同的，因而学生在学习这一系列内容时，若能将关键课时的算理理解透彻，随后在其他复杂程序学习过程中则可以进行迁移应用。多位数乘一位数既是笔算乘法的关键单元，也属于简单程序。乘法运算的教学先将两位数乘一位数的竖式结构由两层简化为一层，再将算理迁移应用于三位数乘一位数笔算。以123×13为例，乘法运算的学习过程如图1所示。随着乘数位数的增加，运算程序略显复杂，因此，还需重点解决“连续进位”这一难点。两位数乘两位数的计算则是通过拆分计数单位，使学生经历两次两位数乘一位数的过程，再相加，这其实是运算程序叠加的过程。如“12×13”，先算“3×12”，再算“10×12”，然后将乘得的结果相加。

2.其内容是理解乘法算法的基石

为了解学生的学情基础和能力储备，我们在学习整数乘法的三个阶段，对从6个班级随机抽取的50位学生进行了前测，前测内容如表2。

我们分别从计算的正确率和算理理解两个维度统计了数据，根据数据可以发现：学生对于多位数乘一位数、两位数乘两位数和三位数乘两位数的计算，正确率均高于80%，但对算理的理解并不理想，尤其在《多位数乘一位数》单元的前测中，学生对于“15×3”这样需要进位的乘法算理的理解是模糊的，存在一定的认知障碍。这不仅是本单元，也是整个乘法运算教学需要解决的难点。

不同的运算内容，学生对算理的理解程度也存在差异。如《多位数乘一位数》单元的前测中，半数以上的学生只会计算但不明晰算理，而在《两位数乘两位数》和《三位数乘两位数》单元的前测中，会计算的学生人数和理解算理的人数接近。

分析后我们发现，这可能与学生在学习《多位数乘一位数》单元时，能否理解笔算乘法的算理，并主动将其迁移应用于后续学习中有关。

学生已有的知识技能和思想是学习新知识、掌握新技能、形成新方法的肥沃土壤。在这一成长点之上，学生可顺利地在新旧知识之间建立联系、体会新知的本质内涵，甚至进一步实现更高阶的思维积累。例如，前测中，学生能将三位数乘两位数、两位数乘两位数和三位数乘一位数的算理联系起来，主动应用“计数单位的乘加”这一核心知识，推动活动经验的迁移。当学生不能用现成的知识来解决新问题时，往往会自发地进行画一画、圈一圈等操作活动来尝试解决问题，而这样的活动经验学生在初次理解同类计算原理的时候（即学习“多位数乘一位数”时）有过充分体验，因此在后续学习中能够帮助学生更好地迁移运用、理解算理。例如，第二次前测中，就有6位学生通过点子图来计算14×12，说明学生可以借助以往的活动经验来学习新知。

可见，整数乘法运算中，学生的认知难点在于对多位数乘一位数的算理理解，教学中一旦突破了这一难点，他们就能够在理解的基础上将算理迁移应用于同类型的内容学习中，且越往后，迁移能力的作用越明显，这也从侧面说明了，学生在新知学习时是具备选择合适的方法灵活迁移应用的能力的。

（二）《分数乘法》设为关键单元的原因分析

算理和算法的教学都离不开对数的意义和运算意义的理解，换言之，数的意义和运算的意义是算理理解的重要基础。通过分析、研讨人教版小学数学五年级上册《小数乘法》单元和六年级上册《分数乘法》单元，我们发现：《小数乘法》单元侧重算法的学习，《分数乘法》单元则侧重算理的理解，而小数乘法与分数乘法在本质上是相通的，因此可以将《分数乘法》设为这部分的关键单元。

1.其算理能够迁移至小数乘法

小数是分数的特殊形式，只要学生深入理解了分数乘法的意义，就能够很容易地将小数转化成分母是10、100、1000……的分数，然后用分数乘法的算理解释小数乘法。因此，在分数乘法的教学中，需要突破的就是“新计数单位的产生”这一难点。

2.其内容是理解小数乘法的有益补充

人教版教材将小数乘法分为两个部分教学：小数乘法计算和解决问题。其中，计算部分的教学分为三个层次：小数乘整数、小数乘小数、认识小数倍，侧重用积的变化规律帮助学生将整数乘法的经验迁移到小数乘法中。这样编排有一定的道理，却弱化了小数乘法的意义及算理。例如，教材编排小数乘小数时采用面积情境，根据“面积=长×宽，所以用乘法计算”这一逻辑展开教学，回避了小数乘小数本身的乘法意义，依托积的变化规律展开教学，更侧重于算法的掌握，并没有深入剖析小数乘小数的算理。《分数乘法》的编排比《小数乘法》更侧重于算理的理解，注重用分数和乘法的意义来诠释算理，有助于学生从本质上去理解分数乘法的算理。即使学生在《小数乘法》单元没有深入探究算理，在《分数乘法》单元也可以通过回顾或类推的方式帮助他们将算理迁移应用于小数乘法。因此，将《分数乘法》设为关键单元是合适的。

二、立足“理解与迁移”，提炼并应用计算教学课型

基于以上分析，我们试图以“理解与迁移”为导向，在计算教学中开展实践研究，在落实单元整体教学的过程中，形成可行性对策，从不同角度进行了实践尝试，提炼了几种典型课型，并形成范式。

（一）不同课型的内涵和价值追求

我们将计算教学的课型分为5类，算理理解课、算法形成课、运算技巧课、规律探讨课和简便运算课。其中，算理理解课是各类课型的重要基础，主要解决为什么这样算的问题；算法形成课依托算理理解，旨在提炼计算的一般程序，解决怎样算的一般算法问题；运算技巧课侧重于计算的精巧性；规律探讨课主要引导学生感悟运算的意义；简便运算课则根据运算规则和数据特征体会运算的简便性。算理理解课主要解决“理”，指向思维层面，其他四者都是关于“法”，指向运算技能。通过对不同课型的研究实践，在明理知法的基础上，学生可更好地将其进行迁移运用。

1.算理理解课：重视横向对比，揭示运算本质

算理理解课侧重研究“数”的意义和“运算”的意义，这些是学生正确计算的前提，一般在单元起始课中教学。大部分学生在课前虽然能够正确计算，但不明白算理，也有些学生对算理和算法都是模糊的，不论哪种学情，核心问题都是算理理解的问题。因此，算理理解课首先需以“任务驱动”的方式引导学生尝试计算，并借助多种学习材料解释为什么这样算，在交流反馈中引导学生横向对比，探寻多种方法之间的关联，在求同、求异的过程中沟通运算本质、深化对算理的理解，便于迁移运用。

2.算法形成课：明确计算方法，熟练一般步骤

算法形成课旨在帮助学生在理解算理的基础上总结算法，是算理理解课的延续和补充，侧重形成一般的、较为简洁的计算方法。学生在理解算理后形成的计算方法可能是多样的，虽然能确保计算结果的正确性，但是否每种方法都是精简的，甚至是精巧的，需要在一定题量的计算、对比、分析中逐渐感悟和优化，并形成一般步骤。因此，算法形成课需精选单元典型题目让学生独立计算，并在交流算法的过程中通过对比、理解、感悟等，优化形成最具一般性的算法，提炼一般计算步骤或程序，使其更具可迁移性和普遍应用价值。

3.运算技巧课：丰富运算技巧，提高计算能力

运算技巧课立足熟练计算，侧重计算过程的精巧性，旨在提高学生计算的速度和正确率，对发展学生数感、丰富计算技能、提高计算能力具有十分重要的作用。教学时需精心设计学习材料，有意识地挖掘练习或课本外的相关内容，重组后形成题组或变式，放大学习背景，拓宽思维视野，使学习更具挑战性。因此，运算技巧课可以从数的特征和运算的关系、规律等入手，以独特的学习材料引导学生发现、应用运算的技巧和规律，进一步优化算法、总结技巧并迁移运用，从而将某些带有数据特点的计算问题变得简单。

4.规律探讨课：放大探究过程，感悟运算意义

规律探讨课的教学重点应从“知晓规律，应用规律计算”转变为“探究规律，感悟运算意义”，不仅要帮助学生达成知识与技能目标，更要着力于培养学生的探究能力，提升其数学素养。因此，规律探讨课需以探寻规律为学习任务，组织学生猜想规律并计算验证，在观察、思考、尝试、验证一系列活动中发现规律，感悟运算的意义。探究能力提高了，运算意义理解更深刻了，才能更有效地实现迁移运用。

5.简便计算课：结合运算定律，培养简算意识

简便计算课旨在帮助学生学会巧妙运用四则运算规则和运算定律等，简化运算过程，提高运算的正确率和精巧性，形成一定计算范式。化简运算的过程离不开对算式意义的理解和数的意义的理解，因此，简便计算课需要让学生通过灵活迁移运用运算定律、积（商）的变化规律、拆数等方法实现简算目的，培养简算意识，并逐渐形成用简便方法计算的能力。

（二）不同课型在乘法内容的教学中的应用

人教版小学阶段涉及乘法的单元共有7个，这些单元分布在二至六年级的不同阶段，从教材编排看，这部分内容呈离散状态，但从知识逻辑来看，这些内容前沿后联、关系紧密，具有连续性，其算理与算法具有较大共同性和迁移性。因此，我们在实践过程中采取不同的课型教学这些单元的典型课例，具体安排如表3所示。

下面以整数乘法关键单元《多位数乘一位数》为例，结合一些课例具体介绍该单元的基本课型。

1.算理理解课：《两位数乘一位数》

无论从前测还是课堂反馈上来看，学生对于不进位乘法的算理和算法没有困难，且从进位乘法切入教学，更具一般性，更利于学生体验竖式的价值，因此，《两位数乘一位数》一课的第一个教学环节直接让学生计算进位乘法。学生在自主探究计算方法的基础上进行交流与反馈。然后，教师追问：“这些方法之间有联系吗？”引导学生从整体上研究所有方法，发现多种方法之间的关联，最终内化算理，促进算理的迁移运用。再通过对比、思辨和讨论，体会一层竖式的简洁和普适性，而两层竖式则更加清晰地还原了计算的过程，从而进一步内化算理。具体教学环节详见表4。

2.算法形成课：《乘数中有0的乘法》

本课以乘数中有0的乘法为载体，结合乘法的意义和多位数乘一位数的算理，让学生经历探索乘积中的0产生的三种途径，掌握0在乘数中间和末尾时的笔算方法，在思考与实践中感受当乘数末尾是0时，积的末尾也一定是0，而当0在中间时，乘积里不一定有0。具体教学环节详见表5。

3.运算技巧课：《乘法算式谜》

《乘法算式迷》一课为本单元的运算技巧课，具体教学环节、目标与学习材料如表6。本课没有完全按照教材编排的内容教学，而是设置了“尝试独立解决数字谜”“改变数字谜”和“自创数字谜”三个任务，逐步推进教学过程，通过开放的学习材料，有挑战的学习任务，开拓学生的思维空间。反馈时紧紧抓住课堂生成，引导学生从数位或整体观察的角度去寻找突破口，感受竖式各部分的内在联系，经历用所学的运算法则进行逻辑推理的过程，初步掌握乘法竖式数字谜的一般方法，为后续改编和自创数字谜提供思维支撑。在改编、思考、辨析和自创的过程中深化学生对数字谜的理解，进一步感受竖式中各部分的内在联系，在迁移运用中巩固学生的计算技能，丰富运算技巧，培养逻辑推理能力。

《多位数乘一位数》单元中没有提到的规律探寻课和简便运算课在其他单元中也有应用，就不再一一列举。从领域视角看，五种课型前后衔接、互联互补；从单元视角看，五种类型未必在某个单元中都存在，需根据内容灵活取舍，但不管是以怎样的形式开展，最重要的导向始终是让学生在意义理解的基础上实现自主迁移。我们通过提炼这几类课型开展单元整体教学，既是为了重组单元内容，充分发挥理解与迁移在学生学习过程中的作用，更是为了促使学生经历计算教学中方法多样化、一般化和最优化的思维过程。