拨云见日，一探高中数学多项选择题

吴春霞

【摘要】多项选择题相较于单项选择题，其保留了利于机器阅卷、评分客观的特点，降低了蒙对答案的概率，更能考查学生的水平，体现高考试题的选拔功能。在教学中要将多项选择题的四个选择支的设置角度作为分类标准，将其分成“一枝多叶”“同气连枝”“百川朝海”“雾集云合”四种类型，通过对多项选择题的解答方法进行阐述，提高学生的数学能力。

【关键词】新高考；多项选择题；高中数学

习近平总书记在2018年全国教育大会中指出：“要在增强综合素质上下功夫，教育引导学生培养综合能力，培养创新思维”。高考考试内容改革要落实立德树人根本任务，从“考知识”“考能力”转向“考素养”，从“解答题目”转向“解决问题”，促进学生健康成长、服务国家人才选拔。高考试题要突出综合性，注重更加丰富的试题呈现方式，在考查必备知识和关键能力的基础上更加强调融会贯通，联系、发展、辩证地处理主干知识内容，培养关键能力和学科素养，着重体现学生的思维品质。

多项选择题相较于单项选择题而言，降低了学生做题蒙对的概率：单项选择题蒙对的概率是四分之一，多选题（四个选项中至少两个正确）蒙对的概率是十一分之一，更能体现考生的真实水平。而对于做题不是靠蒙的考生，多选题的多级得分模式有利于提高低水平考生的得分，也有利于区分出高能力考生。多项选择题相对于单项选择题更能考查学生对知识的真实掌握程度，体现选拔功能。

一、考查意义

1.数学学科概念丰富，只有对概念的内涵与外延理解到位才能避开易错点，真正掌握概念。多项选择题可以包含更多的信息，可以从不同的角度设计选择支，从而更能考查学生对基本概念、基本方法的掌握程度与应用水平。

2.与单项选择题一样，多项选择题题型灵活。多项选择题能够覆盖更多的知识，对学生的答题过程不做要求，从而减少解答时间。在限时考试中，有利于学生“熟、快、准”地求解，既考记忆又考理解，既考演算又考论证。

3.与单项选择题一样，多项选择题利于机器阅卷，评分客观，能够提高阅卷效率。这样能减少因为人工判卷标准差异而造成评分不均，增加试卷的考查信度。

二、命题角度

1.一枝多叶型。在一个问题的情境下，通过设置其从属关系下的结论为选择支的题称为“一枝多叶”型。这样的命题有利于考查学生知识体系的系统性，增加试卷的知识覆盖面。

例1：设函数，则下列结论正确的是（    ）。

A．的一个周期为

B．的图像关于直线对称

C．的一个零点为

D．在上单调递减

函数（或）的图像及性质，包括五点作图法、图像的变换、函数的单调性、最值、奇偶性、对称轴、对称中心等，是“三角函数”这一模块的重要知识点。这道题在给出一个

具体的函数的情境下，以其周期、对称轴、零点、单调性作为选择支，很好地综合考查了的性质。

2.同气连枝型。“同气连枝”出自南朝梁·周兴嗣《千字文》：“孔怀兄弟，同气连枝”，释义为：有血统关系的亲属，指兄弟姊妹。在这里，笔者将在一个问题情境下，通过设置同一知识模块中几个相关单元知识为选择支的题称为“同气连枝”型。这样的命题相比较“一枝多叶”型，对学生的要求更高：通过对比相关联的几个知识的联系和区别，辨识其本质，如椭圆与双曲线，等差数列与等比数列等，增加了知识横向联系的考查。从2020年与2021年新高考卷的考题来看，这种类型的多项选择题最受青睐。

例2：（2020年新高考数学Ⅰ卷第9题，Ⅱ卷第10题）已知曲线（    ）。

A.若，则是椭圆，其焦点在y轴上

B.若，则是圆，其半径为

C.若，则是双曲线，其渐近线方程为

D.若，则是两条直线

“解析几何”是高中数学的一大重要知识模块，包含：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线。这道题通过四个选择支的设置，考查了椭圆、圆、双曲线的标准方程，以及它们的相关量：焦点、半径、渐近线，还有特殊的直线方程。直线、圆、椭圆和双曲线作为解析几何模块的重要构成，它们从定义、标准方程到简单几何性质都很类似，如椭圆和双曲线定义中只有“距离之和”和“距离的差的绝对值”的不同，其他描述完全一样；如椭圆和双曲线的标准方程从结果仅有一个“+”和一个“-”的区别，但是其中的的含义却不同……要掌握它们，即要理解它们的联系，又要理解它们的不同。这样的命题，对学生的知识面和关键能力要求更高，更能区分出学生的水平，体现试卷的选拔功能。

例3：（2021年新高考数学Ⅰ卷第10题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）。

A.

B.

C.

D.

这道题在已知相关点坐标的情境下，设置了向量的4个选择支，A、B两个选择支考查的是向量的模，C、D两个分支考查数量积的运算。在进行相关项的运算时，需要运用同角三角函数基本关系式中的平方和关系，以及两角和的余弦公式。要完成这道题，学生对平面向量坐标形式下的模的运算、数量积的运算，以及三角恒等变换中的公式都需要完全掌握。综合考查了学生对三角运算、平面向量运算两个相对独立又有着关系的知识模块的掌握情况。

3.百川朝海型。“百川朝海”中文释义为众水奔流趋向大海，比喻无数分散的事物汇集到一处。在这里，我将4个选择支设置成获得题干结论的充分条件的多项选择题称为“百川朝海”型，例如在新定义问题中，将4个选择支设置成符合（或者不符合）新定义的模型。这种类型类似“一枝多叶”和“同气连枝”型的逆命题。这种类型与“一枝多叶”“同气连枝”型共存，更能考查学生的逆向思维以及思维的灵活度。

例4：已知表示直线，、、表示平面．定义：若把命题P中的直线改为平面，平面改为直线，得到的命题为真命题，则命题P叫做对偶命题．下列命题为对偶命题的是（    ）。

A．∥，∥，则∥

B．∥，∥，则∥

C．⊥，⊥，则∥

D．∥，⊥，则⊥

这道题中新定义了“对偶命题”，4个选择支都满足题干新定义中的条件，也可能不满足，需要逐一检查才能获解。既考查了学生对选择支中直线与平面平行、垂直的论证判断，又考查学生对新定义的理解及运用能力，对学生的学科素养提出更高要求。

4.雾集云合型。将4个选择支完全来自不同知识点的多项选择题称为“雾集云合”型。这种类型的显著作用是增加试卷的知识覆盖面，可以将其他题型中没有考查到又不想漏查的知识汇集在一起进行考查。这种“大杂烩型”的命题方式，因为主题不突出，应该不会在高考试卷中出现。

例5：下列说法正确的是（    ）。

A．是的充分不必要条件

B．幂函数在区间上单调递减

C．抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合

D．函数的最大值为2

这道题目的4个选择支依次考查的是向量相等的定义、幂函数的一般形式及其单调性、抛物线与椭圆的焦点、函数的最值。这4个知识点来自不同的知识模块，选择支之间相互独立。

无论是哪种类型的命题角度，都要求学生“熟、快、准”地求解，因此一般不会设计4个选择支都需要大量演算或者复杂推理的题目，更多的是直接考查学生的基础知识、基本技能的掌握情况，如例1、例2、例3；或者考查基本思想和基本活动经验，测评学生分析问题和解决问题的能力，如例4、例5。通过合理设置选择支，增强试题的灵活性和开放性，多角度的提问、不唯一的答案，让题海战术、机械刷题不被推崇，从而起到减负的作用，考查出学生的真实水平，体现选拔功能。

三、解答方法

1.直接法。就是直接从题目的条件出发，利用概念、定理、公式、法则等基本知识来判断4个选择支是否正确。如例3，直接代入向量坐标表示下的模的计算公式就能判断选项A和B，把相关的坐标代入数量积的公式来判断C和D选项。直接法类似解答题的解法，但是因为不需要书写过程，所以可以不要逐步求解，可以将心算和手写结合，大跨度前进，以达到快速求解的目的。高考试题强调双基的考查，而多项选择题又能很好地满足双基知识覆盖的题型，所以直接法是其主要解决方法。

2.特例法。特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等，针对各选项进行代入对照，从而得到正确答案的方法。特例法是解决数学客观题（选择或填空题）的常用方法，选取得当可以大大减少解题时间。如例3，可以取

，，则P1（1，0），P2（0，-1），P3（0，1），

可以结合向量的模与数量积的运算法则，快速排除选项B、D，再结合多项选择题的特点就知道可以选A、C。

3.数形结合法。华罗庚曾说过“数形结合百般好，割裂分家万事非”。数形结合作为一个重要思想方法，在高中数学中广泛运用，利用图形的直观性，可以使得代数问题一目了然，所以经常是有图用图，没图想图进行求解。而对于“一枝多叶”型多项选择题，如果选择支考查的是函数的不同性质，就可以利用函数的图像快速判断几个选择支，如例2，只需要作出的简图，

就能同时快速地对选项A、B、D进行判断，再结合图像的变换就能判断选项C。

4.矛盾对立分析法。在多项选择题中如果存在一对选项在数学逻辑上互相对立或者互相矛盾，那么在此对立两对选项中会有一个正确项；若存在两对内容互相对立或矛盾的选项，则应该从两对对立项中分别选择一个选项作为正确选项；再或者可根据选项中互相矛盾的选项做出对正确答案的基本判断，即相互矛盾的选项不可同选。

例6：（2022年全国新高考II卷11题）如图1，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ABE的体

积分别为V1、V2、V3、则（  ）。

A．V3＝2V2 B．V2＝V1

C．V2＝V1＋V2 D．2V3＝3V1

注意此题4个选项中出现的矛盾情况，如B正确，CD选项中就会出现体积为0的情况，根据题意这是明显不可能的，所以B、C、D选项不能同选，此时要么选A、B，要么选C、D；若B是错误的，那答案将在A、C、D中产生，且已知A、C、D不能同为正确选项，所以此题不用算就知道只有2个选项是正确的，所以此题正确选项可能是A、B，A、C，A、D，C、D四种可能，虽然这样不能完全确定准确答案，但是已经大大缩小了此题的难度，或者可以轻易验证自己的选择是不是有正确的可能。

5.等价选项辨析法。在多项选择题中，如果存在两对等价选项或类似选项，则其中一对等价或类似选项应该为正确选项，此种题目较少，但在高考题中也有呈现。

例7：（2020年全国新高考II卷11题）图2是函数的部分图像，则＝（）。

A. B．

C．D．

此题用等价选项选择进行求解法会非常简单，此题没有给出的取值范围，所以4个选项均有可能符合条件，但注意到只有B、C选项属于等价选项，A和D都和B、C不等价，所以此题选B、C或A、D，又因为A和D不是等价选项，不可能同选A、D，所以此题不需要计算即可选B、C。

6.保分法。根据多选题的评分标准，选对部分选项得2分，而有选错选项的得0分。当我们对4个选项中的部分选项很难判断对错或是时间不允许进行验算时，采用只选对的个别选项保2分，而不是去对无把握的选项作出判断，避免得0分的风险。

四、教学建议

1.新高考评价体系提出“一核四层四翼”。“四层”中的第一层就是“必备知识”，“四翼”中的一翼是“基础性”，多项选择题能更好地增加试卷的覆盖面，因此在实现这“一层一翼”中发挥着重要的作用，要做好多项选择题，就需要教师在教学中注重主干知识体系的建立，在“概念、公式、定理”等基本知识的教学中抓住知识的发生点、易错点等知识的内涵与外延。

2.基于素养导向的新高考除了考查学生的基本知识外，还注重学生关键能力和学科素养的体现。在教学中，在覆盖知识面的基础上需要通过创设问题情境，使得学生在运用基本知识来解决情境问题中提高提取信息的能力，并能够转化成数学问题加以解决，提高转化的能力，培养学生思维的灵活度和广度。只有在平常教学中提供促成学生关键能力和学科素养养成的情境，才能够实现能力和素养的养成。

3.在日常教学中，要渗透多项选择题等新题型的训练，才能让学生弄清楚新题型的命题角度及其解决方法。

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部．普通高中课程方案［M］．北京：人民教育出版社，2018．

［2］任子朝，赵轩.高考试题创新设计的研究与实践［J］.中学数学教学参考，2019（07）.

［3］任子朝.高考命题创新［J］．中学数学教学参考，2018（10）.

［4］任子朝，陈昂，黄熙彤，赵轩，张敏强.高考数学新题型试卷质量分析研究.数学教育学报，2019（01）.

（基金项目：本文系海南省教育科学规划课题“在新高考背景下的新题型研究”的研究成果，课题编号：QJH202110067）