基于“六学课堂”教学范式的中学数学教学设计框架

2022-04-29孙元勋赵玲燕

新教育·综合 2022年6期

孙元勋赵玲燕

中学数学“六学课堂”教学范式提出“应该学、人人学、做中学、自主学、交互学和深度学”，旨在促进中学数学教师在教学设计与实施上进一步落实以学生为本的教育理念。下面笔者以人教A版普通高中数学教科书必修第二册6.3.1节“平面向量基本定理”教学为例，构建基于“六学课堂”教学范式的中学数学教学设计框架。

一、教学内容和内容解析

1.内容：平面向量基本定理。

2.内容解析。

（1）内容的本质：平面向量基本定理揭示了平面内任一向量与两个不共线向量的联系，是二维向量空间特征的表现，即平面内任一向量可以由两个不共线的向量生成，这是将平面向量的运算化归为数的运算的基础。在同一平面内虽然存在无穷多个向量，但任意一个向量都可以表示成两个不共线向量组成的基底的线性组合，这样就可以利用这组基底表示这个平面内图形的任意元素，从而可以通过代数运算解决平面几何问题，使得问题的解决“程序化”。

（2）内容蕴含的数学思想方法：平面向量基本定理的发现过程蕴含着丰富的数学思想，如转化思想、数形结合思想等。

（3）内容的上下位关系：平面向量基本定理是共线向量定理的推广，是定义向量的坐标表示的基础，也是将向量运算转化为代数运算的基础。理解平面向量基本定理的重要作用，可以加深对平面向量运算的认识。

（4）内容的育人价值：从“位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示”出发，通过力的分解这一背景和已有向量运算经验的分析，提出“平面内任意一个向量如何表示？”“能否用有限个特定向量表示？”等问题，其中蕴含着数学的思考方式和理性思维，渗透着讲逻辑、以简驭繁的思维品质。在力的分解基础上获得启发，在探究平面向量基本定理的过程中发展学生数学抽象、直观想象的核心素养。通过对平面向量基本定理的理解，能够明确利用平面向量运算解决问题，可以把问题中的向量转化为基底再进行运算，进一步明确向量运算的策略，从而发展数学运算核心素养。

3.教学重点。基于以上分析，本节课的教学重点为：平面向量基本定理、定理的发现和证明过程。

二、教学目标和目标解析

1.教学目标。

（1）理解平面向量基本定理及其意义。

（2）会运用平面向量基本定理解决简单的平面几何问题。

2.目标解析。达成上述目标的标志是：

（1）经历平面向量基本定理的探索过程：从力的分解这一物理背景获得启发，能够将平面内给定的任一非零向量按照指定的两个不同方向进行分解;在回顾前面学习向量运算过程的基础上，进一步借助信息技术动手操作，形成猜想并最终领会“平面内任一向量都可以被两个非零向量线性表示”的结论。

（2）会证明平面向量基本定理。

（3）能用自己的语言说出定理的重要性及其意义。

（4）会通过选择基底表示平面内的一些向量，解决一些平面几何问题，指导向量法在解决平面几何问题中的作用和基本步骤。

三、教学问题诊断分析

1.教学问题诊断分析。根据以往的教学经验，学生在学习完平面向量基本定理后，常常出现只记得定理的结论，而没有真正认识到定理的“基本内涵”所在，从而导致学生在应用向量法解决几何问题时感到困难。究其原因，主要是学生在学习平面向量基本定理的过程中，没有经历完整的定理探究过程，获得的数学基本活动经验不够充分，因而对平面向量基本定理的认识不到位，所以造成上述影响。

教学中从力的分解这一物理背景引出平面内任意一个向量的分解，前面学生已经利用平面向量的运算解决了部分平面图形中的向量问题，实际上这些问题也是以平面向量基本定理为背景的。通过帮助学生回顾前面的这些问题，结合“位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示”的经验，提出“平面内任意一个向量如何表示？”这一问题，并引导学生借助网格图、信息技术等多种工具真正参与亲手画、亲自操作的学习过程，帮助学生发现平面向量基本定理的结论，同时使其感受到掌握平面向量基本定理的重要性。对于平面向量基本定理的证明，由于既要证明平面向量的存在性，又要证明其唯一性，难度较大，可以让学生在教师的帮助下完成。

2.教学难点。通过以上分析，本节课的教学难点是平面向量基本定理的发现过程及对定理的证明。

四、教学支持条件分析

在平面向量基本定理的发现过程中，利用信息技术工具可以展示任一向量分解的例子（有条件的班级可以让学生通过动手操作深入体会），体会任一向量被基底线性表示时的存在性和唯一性，帮助学生理解定理。

五、教学过程设计

1.学习活动设计。根据数学定理学习的一般过程，结合平面向量基本定理的教学内容，设计如下多样化的学习过程和学习方式促进学生建构本节课的知识体系（如表1）。

2.教学过程设计。

（1）教学环节一：创设情境，明确问题。

引导语1：前面我们学习了向量的运算和运算律，知道向量是沟通代数和几何的桥梁，到了下节课，同学们会了解到向量的运算竟然可以化归为数的运算。在此之前，需要我们首先学习本节课的内容：平面向量基本定理。我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示，类似地，平面内的任意一个向量还有哪些特征？请同学们先看下面的情景：

物理中，同一个力F（大小相等、方向相同），有时要将它按照不同的方向分解为两个力的和，如图1、图2所示。

在图1中，当物体在水平面上时，我们经常把力F分解为水平方向和竖直方向的两个分力;在图2中，当物体在斜面上时，我们经常把力F分解为平行于斜面和垂直于斜面的两个分力，从中我们能获得怎样的启发？

[设计意图]1.帮助学生明确前面研究了向量的哪些内容，并通过“到了下节课，同学们会了解到向量的运算竟然可以化归为数的运算”激发学生好奇心，同时通过“在此之前，需要我们首先学习本节课的内容‘平面向量基本定理”渗透本节课内容与前后知识的联系;2.从知识的逻辑上提出“平面内的任意一个向量还有哪些特征”这一问题，并给出相应的物理背景，为下面研究向量的分解做好铺垫。

（2）教学环节二：通过具体向量的作图和线性表示，感悟基本定理的结论。

问题1：做一做：已知向量a、b、c如图3，请在网格处以点O为公共起点，将向量c按a和b的方向分解，作出分解示意图;向量c能够写成c=xa+yb的形式吗？如果能，写出相应的x和y。

师生活动：学生独立作图，教师通过巡视对作图困难的学生给予指导：首先要把向量a、b、c平移到同一个起点Ο，再根据向量a、b、c的方向作出以向量c所在线段为对角线的平行四边形ΟACB，然后将向量c写成（设与a共线、与b共线），最后写出与a，与b的数乘关系。

[设计意图]这里首先给出具体的向量a、b、c，让学生在网格图中独立完成c=xa+yb的表示，一方面通过设计“动手作图”的学习活动，丰富学生探究定理过程的数学基本活动经验，一方面通过具体的实例引导学生感悟基本定理的内容，明确c=xa+yb的表示方法。

（3）教学环节三：结合对前面向量运算相关问题的梳理，形成对定理的猜想。

引导语：请同学们回顾一下前面我们利用平面向量的运算解决的一些问题。

①如图4，在△ABC中，点M是边DB的中点，，，证明：。

②如图5，已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，用a，b分别表示向量，，，，，和。

③如图6，在△ABC中，，DE//BC，且

与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N。设，，用a，b分别表示向量，，，，，，。

图4 图5 图6

引导语：同学们想想，以上每个问题是不是都要求我们把几何图形中的某个向量用2个向量来表示？

[设计意图]前面学生已经利用平面向量的运算解决了部分平面图形中的向量问题，实际上这些问题也是以平面向量基本定理为背景的。通过帮助学生回顾前面的这些问题，结合前面的物理背景、动手作图，为学生提出问题、猜想定理的结论做好先行铺垫。

问题2：我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。数学中我们总是希望用最少的量来表示一类问题，这往往是我们解决问题时对一些量进行转化的方向，实际上就是我们常说的化归数学思想方法。通过前面对物理背景和数学题目的回顾，以及我们作图过程的体验，你能提出什么类似的问题吗？或者说有什么猜想？

师生活动：在教师引导下，通过对前面学习过程的分析，提出问题：“平面内任意向量是否可以由同一平面内的2个不共线的向量表示？”

[设计意图]明确平面向量基本定理所蕴含的数学思想方法，在“先行组织者”的帮助下，引导学生发现问题、提出问题，获得定理的猜想。

（4）教学环节四：利用网络画板进行探究（如图7），验证猜想，证明定理。

问题3：在网络画板课件中，不断改变向量a，也可以改变e1和e2的方向与模长，你有什么发现？

追问1：如果向量a是这一平面内与e1、e2中的某一个向量共线的非零向量，你能用e1、e2表示a吗？若a是零向量呢？

师生活动：学生操作课件，观察、思考、尝试和探究，教师进行巡视和指导。最后请学生代表发言展示，得出只要e1和e2是平面内2个不共线的向量，平面内的任一向量a都可以表示成a=λ1e1+λ2e2的形式。

[设计意图]利用信息技术，让学生在动手操作、观察、思考的探究过程中发现、体会平面内任一向量都可以被两个不共线的向量表示的结论。

追问2：这种表示形式是唯一的吗？为什么？

师生活动：教师指导学生再次操作课件，进一步观察，体会表示形式的唯一性，并尝试让学生用自己的语言进行表达，对表达的逻辑性、正确性给予评价。最后给出平面向量基本定理的严格表达方式。

[设计意图]通过操作、观察、思考，进一步明确向量定理的“唯一性”，从而得出定理结论的严格表达。

问题4：你能证明平面向量基本定理吗？

师生活动：学生先独立思考，教师根据学生的问题教学并加以引导。证明完成后，对定理内容进行如下强调：任意2个不共线的向量都可以作为1个平面所有向量的一个基底;零向量不能作为基底中的向量;零向量也能被基底唯一表示，并且若有不共线的向量a、b，且0=λ1a+λ2b，则必有λ1=λ2=0。

[设计意图]完成定理的证明，在证明的过程中体会反证法的作用。明确平面向量基本定理的一些常见结论，进一步理解定理的意义。

（5）教学环节五：平面向量基本定理的简单应用。

问题5：如图8，，不共线，且（t∈R），用和表示。

师生活动：学生尝试独立完成，教师通过巡视对解答困难的学生进行指导。最后由教师给出规范解答，强调解题过程中如何体现“基底思想”。

追问：观察，你有什么发现？

师生活动：教师通过网络画板，演示t在变化时图形的变化，引导学生结合图形直观得到进一步的结论：如果，则P、A、B三点共线的充要条件是x+y=1（对该结论的证明留作课后思考问题）。

[设计意图]本题是教科书中的例题，通过讲解例题进一步巩固平面向量基本定理。

问题6：如图9，CD是△ABC的中线，CD=AB，

用向量方法证明△ABC是直角三角形。

师生活动：学生尝试独立完成，教师通过巡视对解答困难的学生进行指导：在分析题目时，要引导学生思考如何用向量表达AC⊥CB，如何选取基底表达和，实际上，由于题目条件中可以得出，所以可以选取作为基底，最后用教科书的方法进行证明并总结运用向量法解决平面几何问题的基本步骤。

追问：你还有其他证明方法吗？

师生活动：教师可如此引导学生：实际上，本题选取作为基底的原因很简单，根据条件CD=AB，考虑将和用基底，表示

出来，得到，，由CD=AB，得，两边平方即可证明。

[设计意图]本题是教科书中的例题，通过讲解例题进一步巩固平面向量基本定理，明确用向量法解决平面几何问题的基本步骤。

（6）教学环节六：课堂小结，形成结构。

问题7：请同学们带着下列问题回顾本节课的学习内容，并给出回答：

①回顾学习平面向量基本定理的大致过程，我们在学习平面向量基本定理的过程中主要经历了哪些关键环节？

②叙述平面向量基本定理，你能进一步说出证明平面向量基本定理的思路吗？

③结合前面对平面向量内容的学习，从平面向量基本定理的作用角度出发，你觉得平面向量基本定理的“基本”体现在哪些方面？

师生活动：先由学生独立思考、作答，再进行全班交流，教师和学生互动、点评后进行如下总结。

①本节课我们从物理中力的分解这一实际背景出发，体会到任意一个力可以根据我们的需要沿不同方向进行分解。通过梳理先前一些向量运算的问题，从而获得启发，提出问题：平面内任意向量是否可以进行类似的分解？能得到哪些结论？通过对具体向量的分解。利用网络画板软件体会对任意向量按照给定的两个“基底”方向进行分解等操作、观察和分析过程，得出平面向量基本定理内容的猜想，并完成定理的证明和分析。最后通过两个例题，体会解决平面几何问题时“基底”的思想。

②平面向量基本定理的证明，即证明“存在性”和“唯一性”，“存在性”的证明要考虑任意向量与基底的不同方向的情况，通过说理进行证明，“唯一性”则是基于“正难则反”的考虑，采用反证法进行证明。

③平面向量基本定理揭示了平面内任意向量与两个不共线向量的联系，是二维向量空间特征的表现，即平面内任意向量可以由两个不共线的向量生成。在同一平面内虽然存在无穷多个向量，但任意一个向量都可以表示成两个不共线向量组成的基底的线性组合，因此在解决具体问题的过程中，所有向量之间的运算都可以转化为构成基底的两个向量之间的运算，这为应用平面向量解决问题指明了运算的方向。另外，通过后面的学习，同学们还可以进一步体会到平面向量基本定理是将平面向量的运算化归为数的运算的基础。

[设计意图]从结构化、联系性等角度归纳总结本课的学习内容，进一步认识平面向量基本定理的内容，体会定理的重要性，渗透数学命题的研究过程，凸显知识的本质。

（7）教学环节七：目标检测，检验效果。

题1：下面三种说法中，正确的是（）。

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;

②一个平面内任意一对不共线的向量均可作为表示该平面所有向量的基底;

③零向量不可作为基底中的向量。

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

题2：已知向量e1、e2不共线，下面的向量a、b能作为基底的是（）。

A.a=e1-e2，b=-e1+e2

B.a=0，b=e1

C.a=3e1-6e2，b=2e1+4e2