基于双幂次趋近律的终端滑模舵机控制器设计

杨竞楠，杨 峰，孟 琪，郭明坤，夏广庆

（1.大连理工大学航空航天学院工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁大连 116024；2.大连理工大学航空航天学院辽宁省空天飞行器前沿技术重点实验室，辽宁大连 116024；3.大连理工大学信息与通信工程学院，辽宁大连 116024）

0 引言

电动舵机的性能直接影响了相关飞行器的控制精度和动态品质。传统的舵机控制方法主要有PID 控制、模糊PID 控制、神经网络控制等，上述舵机控制方法虽然初步满足了舵机控制的使用需求，但其收敛时间相对较长，对不确定扰动的抑制能力相对较弱。为了适应现代战争对飞行器更高控制品质的迫切需求，亟须进行快响应、强鲁棒性舵机控制技术的研究。

樊泽明等和吴春等将鲁棒控制方法应用于电动舵机控制，有效提高了电动舵机的鲁棒性，但是结构复杂，保守性强。赵峰等在电动舵机控制中采用滑模变结构控制，苏伟杰等将变指数趋近律滑模控制器与PID 控制器相结合设计组合控制器，2 种方法提高了电动舵机的抗干扰能力和鲁棒性，但依靠线性滑模控制方法难以实现舵机系统的快速稳定。近年来，有限时间稳定理论日趋完善，相关方法具有收敛速度快、抗干扰能力强、鲁棒性好等特点。终端滑模控制（TSMC）采用非线性滑模面代替传统的线性滑模面，能保证系统状态在有限时间内稳定。特别地，非奇异终端滑模（NSTSM）控制方法克服了奇异现象，且结构相对简单，便于工程应用。本文将以NSTSM 方法为基础，结合双幂次趋近律（DPRL）进行舵机系统鲁棒控制器的设计分析，其中DPRL 方法能够保证系统状态在固定时间内到达滑模面，从而更高效地利用NSTSM 方法的强鲁棒性和有限时间收敛特性。

1 数学模型

电动舵机系统主要由舵机控制器、伺服电机、功率放大器、减速机构和位置传感器构成，如图1 所示。在不考虑电枢电感的情况下，可以用机电转换方程、反电动势方程、转子电路电压方程和机械方程来表示电动舵机的数学模型：

图1 舵机系统结构Fig.1 Steering gear system structure

式中：为电机输出扭矩；为铰链力矩；为摩擦力矩；为惯性力矩；为转矩常数；为电枢电流；为电机反电动势；为感应电动势系数；为电枢电压；为电枢回路总电阻；为电枢回路总电感。

惯性力矩具体形式为

式中：为舵机系统实际输出的舵偏角；为电机等效负载转动惯量。

将式（2）代入式（1），得舵机系统的动力学模型：

舵机鲁棒控制器的设计目标为：在不确定扰动影响下，系统的跟踪误差()、()能够在有限时间内收敛到零，即存在有限时刻≪+∞，当→时，有下式成立：

2 基于终端滑模的控制器设计

2.1 基于非奇异终端滑模控制的控制律

式（4）所示系统是典型的含有不确定扰动的二阶系统，为了实现该系统的快速稳定控制，本文将结合NSTSM 和DPRL 进行控制器设计。首先，滑模变量设计如下：

式中：＞0 为设计常数；1 ＜＜2。

对上式求导可得

结合滑模动力学方程式（7），系统（4）的控制器设计如下：

式中：＞0；＞0；＞1；0 ＜＜1。

式中：()为等效控制项；()为趋近控制项；()为不连续控制项。

式中：为系统状态变量()的上界值；为系统集总扰动项()的上界值。

2.2 李雅普诺夫稳定性证明

为了便于稳定性分析，给出如下定义。

考虑如下动态控制系统：

式中：()∈R；()∈R。

从任意初始状态∈R出发，如果存在一个时刻，使得系统满足：当≥时，()=0，那么这样的系统叫做一致有限时间收敛到原点。如果系统的原点为一致有限时间稳定，且收敛时间有界，即存在＞0，使得≤，∀∈R，则称系统为固定时间收敛到原点。

对于系统（4）和NSTSM 滑模面（6），式（8）中的控制器将使得滑模变量在固定时间内收敛到滑模面上，同时实现被控系统（4）在有限时间内稳定。

证明：将分为两步进行，首先分析滑模面的固定时间可达性，其次证明在NSTSM 滑模面上，系统状态在有限时间内到达平衡点。

选取李雅普诺夫函数如下：

对式（14）求导，并将式（7）代入，可得

由文献［18］中的定理13 可知，滑模变量将在固定时间内收敛到零，即系统轨线将在固定时间内收敛到滑模面上，收敛时间满足

由第一步证明可知，存在＞0，当≥时，=0 成立，此时

由引理1 可证明系统到达平衡点的时间有限。定义李雅普诺夫函数如下：

根据式（17）对求导，有

式中：=2＞0；=(1/+1)/2 ＜1。

由文献［18］中的定理12 可知，以时刻为起始点，系统状态()将在有限时间内收敛到零，其中满足当≥时，()=0，且

3 仿真分析

本文通过Simulink 工具箱搭建了电动舵机控制系统仿真模型，对上述控制方法进行数值仿真。电动舵机系统参数为：=0.021 5 V·s/rad，=0.021 4 N·m/A，=31.35 g·cm，=0.74 Ω，外部干 扰=0.1sin(π)+0.15sin(10)+0.05，仿真步长=0.001 s，仿真时间=10 s。控制器参数为：=3 000，=1.667，=200，=200，=1.47，=0.50，对于不同的输入指令，的具体取值可根据仿真情况调整。为了减缓抖振现象，在滑模控制中往往采用双曲函数替换不连续控制项中的符号函数，双曲函数的形式如下：

式中：选取=0.1。

为验证所设计控制律的有效性，将NSTSM 控制律与传统PID 控制进行了对比。以方波信号和变频率正弦信号作为舵机输入指令对控制器进行仿真，仿真波形如图2～图5 所示。其中，方波信号的幅值为0.1 rad，周期为2 s，占空比为50%；变正弦信号的幅值为0.1 rad，初始频率为1 Hz，终点频率为5 Hz。

图2 舵机响应Fig.2 Steering gear response

方波信号与变正弦信号下电动舵机的响应曲线如图2 所示。由图2（a）可知，当输入指令为方波信号时，采用NSTSM 控制器的舵机系统的收敛时间为0.1 s 左右，并且与采用PID 控制器的舵机系统相比无超调。此外，由于采用了双曲函数，系统的抖振得到了很好的抑制，位置跟踪稳态基本无抖振。由图2（b）可知，当输入指令为变正弦信号时，采用NSTSM 控制器的舵机系统响应曲线几乎与输入指令重合，而采用PID 控制器的舵机系统虽然一开始也能准确跟踪输入指令，但随着正弦信号频率的加快跟踪误差越来越大。因此，无论是方波信号还是变正弦信号，NSTSM 都能快速准确地跟上输入指令，实现预期控制目标，系统具有良好的快速性、鲁棒性和稳态响应精度。

2 种信号下舵机系统滑模变量的仿真波形如图3 所示。对于方波信号，在信号发生阶跃变化时滑模变量具有较大变化但很快收敛至零，收敛时间为0.01 s，验证了DPRL 的固定时间可达性。此外，由于运用双曲函数取代符号函数，滑模变量的抖振现象得到了很好的抑制；对于变正弦信号，由于输入指令每时每刻都在变化，因此滑模变量也在不断变化。随着正弦信号频率的增加，滑模变量的变化频率也越来越快。

图3 滑模变量Fig.3 Sliding mode variable

2 种信号下电动舵机控制电压和输出转矩的仿真波形如图4、图5 所示。从图中可以看出，对于方波信号，在信号发生阶跃变化时，两种舵机系统的控制电压和输出转矩都很快收敛至零。从局部放大图中可以看出，双曲函数对于抖振现象有很好的抑制作用；对于变正弦信号，随着正弦信号频率的增加，NSTSM 舵机系统的仿真曲线出现了“尖刺”现象，采用PID 控制器的舵机系统的仿真曲线呈变正弦状，幅值变化较小，其仿真曲线的频率和幅值随着信号频率的增加而逐渐增大。

图4 电机控制电压Fig.4 Motor control voltage

图5 电机输出转矩Fig.5 Output torque of the motor

4 结束语

本文结合非奇异终端滑模和固定时间收敛思想，设计了一种基于双幂次趋近律的全局非奇异终端滑模舵机控制器，该控制器克服了传统控制方法收敛速度慢的不足，大幅度提高了电动舵机的响应速度和鲁棒性，使系统具有一定的抗干扰能力，具有一定的工程应用价值。