基于多目标优化的自动驾驶车辆轨迹跟踪控制*

李春 王少峰 刘明春, 彭志波 聂石启

（1.金龙联合汽车工业（苏州）有限公司，苏州 215026；2.南昌大学，南昌 330031）

主题词：自动驾驶 轨迹跟踪 模型预测控制 多目标优化

1 前言

自动驾驶车辆横向运动控制主要实现车辆对参考轨迹的稳定跟踪，其控制效果与车辆的安全性、稳定性和舒适性密切相关。根据是否使用车辆模型，可以将横向控制方法分为无模型的方法和基于模型的方法，基于模型的横向控制方法又分为基于车辆运动学模型和基于车辆动力学模型的方法。经典的PID 控制是一种无模型控制方法。文献[2]提出一种针对车辆-道路动力学模型的鲁棒PID控制器，在非结构路面上具有较好的轨迹跟踪效果，并且具有较强的鲁棒性。文献[3]提出基于神经网络的自适应PID控制器，该控制器结构简单，在硬件中容易实现，抗干扰能力强且能够快速收敛。PID 适用于较简单的被控对象，对于复杂的、大滞后、大惯性的对象控制效果有待提升，并且控制效果对控制对象参数的变化较为敏感，不能实现最优控制。针对这些问题，研究人员提出了线性二次型规划控制器（Linear Quadratic Regulator，LQR）。LQR 求解基于状态线性反馈的控制规律，构成闭环最优控制，但这类跟踪控制器难以处理多约束问题，具有一定的局限性。模型预测控制（Model Predictive Controller，MPC）基于预测模型，能够有效处理多约束控制问题，并提高控制的精确性。文献[6]～文献[8]以跟踪精度为主要控制目标，提高了轨迹跟踪能力。文献[9]设计了集成前轮转向和差动制动的MPC 控制器，实现了车辆的横向稳定控制。上述控制器主要以提高车辆安全性或稳定性为目标，在控制变量可行性及综合性能方面考虑不足，难以满足车辆多目标性能的优化需求。

本文基于模型预测控制理论，设计一种自动驾驶车辆轨迹跟踪控制器。在以跟踪精度为主要控制目标的基础上，考虑轮胎侧偏角约束、前轮转角约束等约束条件，以提高车辆行驶稳定性和控制可行性，通过Simulink-CarSim 联合仿真验证所设计的线性时变模型预测控制器（Linear Time-Varying Model Predictive Controller，LTV-MPC）的有效性，并与熟练驾驶员操纵结果及LQR控制器的效果进行性能对比分析。

2 车辆动力学建模

为了降低控制算法的复杂程度，采用车辆3自由度动力学模型对自动驾驶车辆进行简化。本文假设：路面平坦，忽略车辆的垂向运动；忽略车辆的悬架特性以及耦合特性；忽略轮胎横向、纵向力的耦合特性；不考虑轮胎的横向载荷转移；轮距相对于转弯半径忽略不计；使用相对简单的单轨车辆模型来描述车辆状态；忽略空气阻力的影响。基于上述假设，平面运动车辆只具有纵向、横向和横摆3个运动自由度，其动力学模型如图1所示。

图1 3自由度车辆动力学模型

可得动力学方程为：

式中，为车辆质量；、分别为车辆坐标系下的纵向位移和侧向位移；为横摆角；、分别为前、后轮受到的纵向力；、分别为前、后轮受到的侧向力；为前轮转角；I为车辆绕轴的转动惯量；为前轮侧偏角；、分别为质心到前、后轴的距离；、分别为惯性坐标系下的纵向位移和侧向位移。

基于车辆前轮侧偏角的小角度假设和线性轮胎模型，考虑轮胎滑移率，得到车辆纵向力及侧向力方程：

式中，、分别为前、后轮胎的滑移率；、分别为前、后轮的纵向刚度；、分别为前、后轮的侧偏刚度。

将式（2）代入式（1）得到简化后的车辆动力学模型：

式中，v、v分别为车辆坐标系下的纵向车速和侧向车速。

3 轨迹跟踪控制器

基于多约束LTV-MPC 的轨迹跟踪控制总体方案如图2 所示。控制器主要由预测模型、系统约束、目标函数和最优求解组成。车辆状态变量作为预测模型的输入，控制器根据参考轨迹和车辆状态，基于目标函数和约束条件求解出一系列最优控制量，将第一个控制分量作为控制量施加到被控车辆上，将车辆的输出状态作为下一次求解目标函数的输入，实现系统的滚动优化。

图2 LTV-MPC控制原理

3.1 线性误差模型的设计

自动驾驶车辆对控制器的实时性要求较高，有必要对式（4）所表示的非线性模型进行线性化处理，以提高算法的实时性。

式（4）中的车辆动力学模型可表示为：

式中，为系统的状态转移函数；为系统的输出函数；为系统的输出矩阵。

采用泰勒展开和一阶差商对式（5）进行线性离散化处理，得到线性时变离散方程：

为采样时间间隔。

将式（6）作如下转换：

式中，为控制量维度。

得到线性误差表达式：

为简化计算，假设A=A,B=B,=1,2,…,+-1，得到预测时域内的系统预测输出表达式：

式中，为系统的输出向量；、、为系统中定义的参数矩阵；为系统预测时域内的输入偏差向量；为系统预测时域内的偏差向量。

3.2 目标函数的设计

在自动驾驶车辆跟踪目标轨迹的过程中，需要将安全性、稳定性、可行性等性能作为优化目标。安全性表现为车辆对目标轨迹的跟踪精度，稳定性表现为轨迹跟踪过程中前轮转角增量的大小（即控制增量），可行性表现为前轮转角保持在约束范围内。基于此，设计目标函数为：

式中，、、分别为安全性权重矩阵、稳定性权重系数和可行性权重系数；为权重系数；为松弛因子；为参考输出矩阵。

式（10）等式右侧的第1 项反映了系统对参考轨迹的快速跟踪能力，即安全性；第2 项反映了系统对控制增量平稳变化的要求，即稳定性；第3 项反映了系统对控制量最值的要求，即可行性；第4 项可避免待优化问题在规定时间内无可行解的情况。

3.3 约束条件的建立

考虑控制过程中的控制量极限约束和控制增量约束，其约束表达式为：

式中，(+)、(+)分别为控制量的下限值和上限值；Δ(+)、Δ(+)分别为控制量增量的下限值和上限值。

此外，为了避免车辆在复杂工况下出现侧滑导致跟踪失败的情况，应对轮胎侧偏角添加约束。轮胎侧偏角与状态量及控制量存在如下关系：

式中，、分别为前轮侧偏角和后轮侧偏角。

在时刻系统的状态量已知时，轮胎侧偏角的求解公式为：

式（13）是关于状态量和控制量的非线性连续函数，对其进行线性化和离散化处理可得：

基于此，添加轮胎侧偏角约束：

式中，、分别为前轮侧偏角的下限值和上限值；、分别为后轮侧偏角的下限值和上限值。

汽车的动力性能受轮胎与地面附着条件制约，因此有必要添加对车辆附着条件的约束。当车辆纵向匀速行驶时，侧向加速度a满足：

式中，为路面附着系数；为重力加速度。

将该约束设定为软约束：

式中，a、a分别为侧向加速度的下限值和上限值。

综合目标函数和约束条件，轨迹跟踪控制器在每个控制周期内要解决如下优化问题：

式中，、分别为硬约束输出的下限值和上限值；、分别为软约束的下限值和上限值。

在每个控制周期完成求解后，可得到控制时域内的一系列控制输入增量和松弛因子：

将求解出的控制序列中的第1 个元素作为实际控制增量作用于系统：

循环求解、滚动优化，实现对参考轨迹的跟踪。

4 熟练驾驶员数据采集及分析

4.1 驾驶员数据采集方案

建立CarSim/Simulink 联合仿真平台，验证LTVMPC控制器的性能。本文车辆参数如表1所示。

表1 车辆模型参数

基于国际标准ISO 3888-1:1999建立双移线仿真场景，道路附着系数为0.8，场景如图3 所示。基于罗技G29套件搭建驾驶员模拟操纵平台，如图4所示。10位驾驶员分别适应性操作一段时间后，记录他们在双移线工况中的熟练操纵数据及车辆状态数据。

图3 仿真场景

图4 驾驶员模拟器

4.2 驾驶员数据处理及分析

10 位驾驶员的数据（包括转向盘操纵数据及车辆状态数据）如图5所示，可见对于熟练驾驶员而言，上述数据具有共同的变化趋势，且不同时刻车辆的位置变化、转向角变化、横摆角速度和质心侧偏角等状态具有较好的一致性。基于此，对10 位驾驶员的数据取平均值，以便于统一分析熟练驾驶员的操纵特性，“熟练驾驶员”即为平均值结果。

图5 驾驶员数据采集结果

由图5 可知，在熟练驾驶员操纵下，车辆横向偏差变化较为平稳，横摆角速度变化合理，质心侧偏角变化趋于稳定。与其他驾驶员驾驶相比较，在熟练驾驶员操纵下，车辆前轮转角变化无明显的极值，转角变化范围合理，车辆行驶更加稳定。因此，10位驾驶员的平均值可以较好地反映驾驶员的操作特性。

5 仿真结果及性能评价

5.1 控制器参数选取

控制器参数与控制器性能密切相关。过大的采样周期将导致系统反应慢，而过小的则会导致系统的计算量增加；预测时长较大时，可以预测较长时间内的状态，但会产生较大的累计误差，过小的将可能造成车辆的轨迹跟踪失败；过小的控制时长将削弱车辆的控制效果，而较大的（如与相等）则会导致只有前一部分的控制时域才会获得较好的控制效果，而后一部分的控制时域则收效甚微，而且将产生大量的计算开销。权重矩阵增大将使MPC控制器能够更快速地跟踪参考轨迹，提高安全性；权重系数增大将使MPC动态响应更趋于平滑，提高转向稳定性，但可能降低跟踪参考轨迹的安全性；权重系数增大将使MPC控制器更侧重于转向的操作可行性，即确保转向盘在其容许转角范围内执行，避免转向操作出现超过转角约束值的情况。松弛因子过大，设定的软约束较宽松，将导致跟踪参考轨迹时车辆的侧向加速度过大，影响舒适性；过小的松弛因子则使得软约束过窄，运算过程中容易求解失败。

基于上述分析及大量调参测试，得到综合性能优良的控制器参数，如表2所示。

表2 控制器参数

5.2 仿真方案及结果分析

通过与驾驶员和LQR 控制器的操纵数据对比分析，进一步验证本文建立的LTV-MPC 控制器的性能。参照文献[13]在同样的仿真环境下建立LQR控制器，设地面附着系数为0.8，车辆纵向速度10 m/s。采集车辆在LTV-MPC 控制、LQR 控制、熟练驾驶员操作下的数据，结果如图6所示。

图6 MPC、LQR与驾驶员操纵性能的对比

由图6a 可知，LTV-MPC 控制器的轨迹跟踪精度优于LQR控制器，更接近参考轨迹，在转向工况下其跟踪性能接近熟练驾驶员，在直行工况下，跟踪精度优于熟练驾驶员。由图6b和图6d可知，添加了多约束的MPC控制器的前轮转角增量相较于LQR控制器和熟练驾驶员，变化更加稳定且不存在数值突变；而前轮转角的变化也更加平稳，其前轮转角最大值为2.81°，小于LQR控制器的4.42°和驾驶员操纵的3.51°。由图6c可知，MPC控制器的横摆角速度接近熟练驾驶员且优于LQR控制器，曲线更加平滑，说明在MPC控制下车辆的舒适性更好。由图6e 可知，MPC 控制器的质心侧偏角相较于LQR 控制器，更接近于熟练驾驶员，最大值仅为0.87°，且在直行工况下变化更加平稳，优于熟练驾驶员。

5.3 性能评价

为了更客观地评价各控制器的性能，基于欧式距离的相似度算法，分别将熟练驾驶员的驾驶轨迹、MPC控制器的跟踪轨迹、LQR控制器的跟踪轨迹和参考轨迹进行相似度比较。如图7所示，二维平面上的点M、N、Q和D分别为参考轨迹、MPC 跟踪轨迹、LQR 跟踪轨迹和熟练驾驶员驾驶轨迹在点P处的对应点。计算两点间的欧氏距离：

图7 计算车辆相对位置

式中，R为D与M坐标的二范数欧氏距离；T为Q与M坐标的二范数欧氏距离；W为N与M坐标的二范数欧氏距离。

轨迹间的距离可表示为：

计算每条轨迹与参考轨迹的距离和，结果如表3所示。

表3 轨迹距离

该指标反映了跟踪参考轨迹的能力，由表3 可知，MPC 控制器轨迹的欧式距离最小，说明跟随参考轨迹的能力最优。

进一步地，为了评价车辆稳定性能，基于回归分析中的拟合优度算法，对横摆角速度和质心侧偏角进行相似度分析。根据3 自由度的车辆模型计算出期望横摆角速度和期望质心侧偏角：

拟合优度指回归直线对观测值的拟合程度。度量拟合优度的统计量是可决系数（亦称确定系数）。的值越接近1，说明回归直线对观测值的拟合程度越好。其计算公式为：

分别计算3条轨迹的横摆角速度、质心侧偏角的实际值与和期望值的拟合优度，结果如表4和表5所示。

表4 横摆角速度拟合优度

表5 质心侧偏角拟合优度

由表4、表5 可知，MPC 控制器的横摆角速度、质心侧偏角的拟合优度相比于LQR控制器和熟练驾驶员的拟合优度更接近于1，说明MPC控制器的实际值更接近期望值，其跟踪期望轨迹的性能更好，稳定性更佳。

6 结束语

针对自动驾驶车辆的轨迹跟踪控制问题，基于3自由度车辆动力学模型，本文以车辆的安全性、稳定性和可行性为优化目标，设计了一种多约束LTV-MPC 控制器。通过搭建MATLAB/Simulink 和CarSim 联合仿真模型，建立双移线仿真工况，与LQR 控制器、熟练驾驶员操纵数据进行了横向对比。结果表明，本文所设计的控制器能够使自动驾驶车辆更好地跟踪参考轨迹，并具备优良的安全性、稳定性和可行性。