金属轨道的形状影响感应电流的大小吗——以2020年全国高考物理3卷的压轴题为例

王伟民

(安徽省太和县宫集镇中心学校 236652)

1 原题呈现

图1

本题是2020全国高考物理3卷除去选做题之外的倒数第二题，处于压轴题的重要位置，也是单题分值较大的题目之一.主要考查学生利用感生电动势、通电导体在磁场中受力等相关公式灵活解决综合问题的能力.

在各种物理资料中的电磁学板块，经常见到与这道高考题目同类型的题目，跟资料中这类常规题目相比，这道高考压轴题目进行了创新——虽然也是导体棒沿正方形金属框滑动，但是，导体棒的运动方向与金属框的边所在的直线不平行，这样以来，在导体棒运动过程中，它联入电路中的切割磁感线的有效长度在不断改变，在磁场强度恒定，导体棒运动速度确定的情况下，闭合电路因导体棒切割磁感线运动而产生的感应电动势也在不断的变化，所以，闭合电路中感应电流的大小以及导体棒所受安培力的大小规律就有可能更为复杂.

我们不禁要问：金属轨道的形状改变时，电路中感应电流的大小改变吗？

2 金属轨道的形状不影响感应电流的大小

以上面的这道高考压轴题目给出的情景为例，推导一下当导体棒的运动方向与导体棒所在的直线垂直情况下感应电流与相关各物理量之间的定量关系.

设某时刻导体棒在金属导轨间的长度为L，闭合电路中的感应电流为I，则有：

如果其他条件不变，将导体棒的运动方向由原来的垂直于导体棒所在直线方向的运动更改为任意方向的运动，感应电流的大小是否会改变呢？

3 导体棒的运动方向与导体棒所在直线不垂直时感应电流的大小受到影响

我们以金属导轨是任意形状为例进行分析.如图2所示，磁场方向垂直于导轨平面，设磁感应强度为B，导体棒以速度v沿导轨滑动，运动方向与导体棒所在直线的夹角为α，设某时刻导体棒在金属导轨间的长度为L，单位长度的电阻为r.这种情形下，我们可以将导体棒的运动速度v进行正交分解——分解为沿垂直于导体棒方向的分量vsinα，和沿平行于导体棒方向的分量vcosα，因为在平行于导体棒方向上运动时，导体棒不切割磁感线，所以，导体棒沿图2所示方向运动时，闭合电路中感应电流的大小为：

图2

2020年的物理高考，不论是全国卷还是地方卷，整体难度都比往年有所降低，这应该是编者综合考虑以下两方面的因素而人为的降低了试题的难度，其一，物理学科一直是被大家公认为高考各科中难度最大的学科，近几年学生选考物理的人数比例逐年减少的现象就是一个有力的例证.其二，庚子年春节突如其来的疫情给全国各地学生(尤其是面临高考的考生)的学习带来不同程度的影响.考虑这些因素，包括压轴题目在内的物理试卷，整体难度降低也是人们预料之中的事情.2021年的高考刚刚过去，可以看出，今年的高考在试题的难度上依然沿袭了2020年的高考难度.

4 该压轴题目的两个变式及解析

图3

解析设导体棒平移过程中与圆形轨道的交点分别为M、N，将圆形轨道方程与导体棒所在直线方程联立组成方程组：

消去y并整理得2x2-2zx+z2-R2=0，设这个关于x的一元二次方程的两根分别为x1和x2，则有：

我们知道，圆可视为椭圆的特例——圆是长半轴与短半轴相等的椭圆，如果将变式1给出的圆形金属轨道更改为形状确定的椭圆金属轨道，那么，我们就可以将这个特例情形下的结论推广到更具一般性的情形.

图4

所以，导体棒所受安培力的大小为

由以上给出的两个变式不难发现，2020全国高考物理3卷的这道压轴题目给出的背景材料，已经具备编拟难度较大的题目的材料“条件”，编者之所以将其编拟成难度不是很大的压轴题目，一方面是为了扭转广大考生心目中“物理学科是难度最大的一门学科”的认识，另一方面，也是为了减轻突如而来的疫情对考生学习的影响.