关于“饮马问题”的教学思考

2022-04-26沈力坤

数理化解题研究 2022年11期

沈力坤

(福建省诏安县怀恩中学 363500)

古希腊亚里山大里亚城里，有一位将军从A地出发到河边饮马，然后回到同一河岸边的B地军营视察，问他应该怎样走距离才最短？这类问题在数学教学中都称为“将军饮马问题”.在北师大版初中数学七年下册第123页第5题有一个典型的饮马问题：如图1所示，在一条街道的同侧有A、B为居民区，某一天小明要从居民区A出发，先到街道旁一井边打水，送到居民区B.请你帮他确定最短路线?有关饮马问题的解决关键是找出表示“河流”所在的直线，再找出其中点A或B的对称点，属于动态几何问题.我们对北师大版初中数学七年下册第123页第5题进行分析，街道就是“河流”所在的直线，点A关于“河流”的对称点为A′,连结A′B，交街道于点P，则AP+BP=A′P+BP=A′B.则A′B就是所求的最短线段.

图1

本题实质上是求“两点之间线段最短”.它考查的是两点之间线段最短，是应用较为灵活的题型,从最为简单的直接考查两线段之和最小，推广到以三角形、四边形、特殊四边形、圆、一次函数、二次函数为背景的相关题目.初中数学教学中“饮马问题”的题型出现多次，它一直是初中数学教学一个很难突破的知识点，学生遇到这类的题目，往往找不到解决问题的突破口，不懂得对知识进行迁移、应用.因此，在教学中需给学生贯灌输一个思想：求直线上一点到直线同侧两点的连线段长度之和的最小值问题就是”饮马问题“，解决这类问题的关键依据是：“ 两点之间线段最短”或是“三角形任意两边之和大于第三边”.

下面由这一知识点演绎出来的相关题型进行归类，提出自己的见解.

1 把饮马问题这个模型放在圆中，利用圆的直径作为“河流”来创建题目.

例1如图2，AB是⊙O的直径，AB=a点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=b,则△MNP周长的最小值是多少？

图2

2 把这个模型放在多边形中，以三角形或特殊四边形为背景，利用特殊三角的对称轴作为“河流”或特殊四边形的对角线为“河流”来设计题目

例3如图3在正△ABC中，AB=6,AD⊥BC垂足为点D，点E、F分别为AD、AB上的动点，则BE+FE的最小值是多少？

图3

3 把这个模型放在平面直角坐标系中，利用x轴，y轴,抛物线对称轴或某一直线为“河流”来设计求最小值的问题.

我们若对公式进行如下处理

到此我们可以得知：本题目是在x轴上求一点(m,0)到A点(3,1)B(1,3)的距离之和最小，又是一个饮马问题把x轴当成河流，A点(3,1)B(1,3)是河流同侧的两点.如些一转化它是一个容易题了.具体解法如下：

例5将上题改为：如图4，在平面直角坐标系中，已知A(1，3)、B(3，-1)，若要在x轴上找一点P，使|AP-BP|最大，则点P的坐标为多少，|AP-BP|最大值是多少？

图4

例6如图5.已知A(1,3),B(3,1)，MN=1且MN是x轴上的一动线段,则AM+BN的最小值是多少？

图5

这是一个相对隐蔽的饮马问题，因为还是直线同旁的两条线段之和的问题，而饮马问题是在河流上找一点P，这一问题是一线段MN，能否将线段转化为点，A点向左(右)平移AA1=MN(使A、B两点靠近，缩短A、B两点间的距离)作A1关于x轴的对称点A2连接则A2B，那么AM+BN=A1N+BN=A2N+BN=A2B.