对一道中考题解题思路的探索与思考

吕学兵

(江苏省苏州市吴江区实验初级中学 215200)

初中阶段的数学教学在确保学生掌握知识基础的前提下，更多的是需要训练学生的数学思维，提升看待问题的多角度分析能力.在中考数学真题中，常常会存在一道题目多种解法的情况，然而学生会局限于中考时间的规定以及其它题目难度的设计，不会在实际解题的过程中去寻求多种解法.这就导致学生在看待一些中考真题时缺乏创新思维，也不能提高自身的数学技能.因此，教师要针对往年的数学中考真题，对那些可以一题多解的题目进行解法的详细分析，带领学生思考不同解法下的数学知识本质，领会一题多解、培养发散思维.

1 试题与解法

1.1 试题呈现

(2020年苏州中考第28题)如图1，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上做匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为ts，其中0

图1

(1)求OP+OQ的值；

(2)是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

(3)求四边形OPCQ的面积．

1.2 解法探索

解法一(1)根据题意可得，P从A出发在OA上做匀速运动，则AP=tcm，故OP=(8-t)cm，且OQ=tcm，则有：OP+OQ=8-t+t=8(cm)．

(2)当t=4时，线段OB的长度最，理由如下：

图2

所以四边形OPCQ的面积为16cm2.

解法二(1)、(2)问如前所示；

(3)如图3所示，过点C作CD⊥ON，CE⊥OM，因为CP=CQ，∠PCE+∠QCE=∠QCD+∠QCE=90°，所以∠PCE=∠QCD，所以Rt△CDQ≌Rt△CEP(AAS)，所以S△CDQ=S△CEP，所以S四边形CPOQ=S正方形OECD，因为OE+OD=OP+OQ=8，所以OE=OD=4，所以S四边形CPOQ=42=16．

图3

针对第(3)小问，解法一中利用了“割补法”中的“割”，同时学生也可以通过“割”“补”双管齐下，将四边形通过拆分补全的形式，使之成为一个特殊的四边形.首先考虑到这个四边形是有两个直角存在的，那么在割补的过程中要尽量保持住它直角的特性，这对后续求解面积会十分有利.因此，构造辅助线：过点C作CD⊥ON，CE⊥OM，通过辅助线的绘制可以看出，△CDQ和△CPE都有一个直角，且斜边分别为等腰直角三角形CPQ的两条边，因此可以证明Rt△QCD≌Rt△CPE(AAS)，进而得出S△QCD=S△CPE.对这个四边形的构造进行割补，将△CPE切割掉，用△CDQ来进行补全，则这个四边形与正方形ODCE的面积是相等的，再由正方形的面积公式即可求出答案.

2 解后反思

2.1 重视基础，全面把握

学生在学习数学知识的过程中要格外重视数学知识的基础性以及全面性,通过对概念性质的把握以及大量的做题经验来掌握基础知识、习得基本技能、构建基本思想.努力做到自己脑海中的概念是清晰无误的，且能够在第一时间将这些概念与题目中的某些条件将结合，找到解体的突破点.比如上述第(2)问的解题过程中学生在针对未知线段长度的求解时，应该立刻想到用已知的参数将其代替，通过构建方程或函数的形式来对其进行求解.同时这也是对学生转化思想的训练，促进学生在数学学习的过程中灵活变通，广阔思路.当然，作为数学学习基础的数学运算学生也必须熟练准确地掌握，不可在一些基础的数学运算上丢分失分.

2.2 优化思维，解法创新

在初中阶段的学生要逐渐放弃小学阶段一些固化的解题思维，要不断优化学生的思维品质,在解题学习时努力培养自身思维的深刻性以及广阔性，在遇到一个题目时要思考其解法的多样性，比如上题第(3)小问中在针对不是特殊图形面积的求解时不仅要想到“割补法”，还要想到单纯的分割图形以及割补共同使用的两种情况，然后基于这两种情况寻求解题的有效条件，训练自身解题思维的灵活性与创新性.

2.3 提升能力，渗透本质

学生在初中阶段的学习中要不断发展自身的探究能力,寻找解题过程中的本数学本质.如上述第(3)小问虽然是面积的求解,但实质上是考察学生对图形变换感知的敏锐性，如何将一般型的图形变换为特殊型的图形，通过特殊图形面积的求解来间接解决一般图形面积的求解.这样的思维转换下，学生就会加强特殊图形性质的理解，同时能提高自身的解题能力.因此，学生在解题时要时常思考探究，体会一个题目背后的深意以及涉及到的知识本质，这样才能有效答题，提高自身的数学技能.

综上所述，引导学生在解题过程中思考一题多解的情况不仅可以开拓学生的思维能力，让学生通过比较寻找出最适合自己理解的解题方法，激发学生的学习兴趣，让学生在寻找新解法时无形中增加自身的解题能力，提高自身的解题效率.因此，教师应该在日常解题教学中向学生普及基础知识掌握的重要性，以及解题思维创新的必要性，让学生在寻求一题多解的过程中体会对数学知识的运用.