基于缩比模型的薄壁结构声振响应等效研究

2022-04-26赵小见邵晓杨明绥

航空学报 2022年3期

赵小见，邵晓，杨明绥

1.北京理工大学宇航学院，北京 100081 2.中国航发沈阳发动机研究所，沈阳 110015

航天飞行器蒙皮结构在服役过程中承受复杂的气动噪声载荷环境，具体包括火箭发动机的喷流噪声、高超声速激波噪声、激波边界层干扰噪声、以及宽频的湍流边界层噪声等。强的噪声环境对飞行器的结构、材料设计提出高的要求。随着新一代航天飞行器的发展，高速、高机动性设计进一步提高飞行器表面的噪声载荷水平，飞行器结构设计面临更严酷的挑战。因此，急需开展强噪声载荷环境下飞行器蒙皮结构动力学特性研究，为新一代航空航天飞行器结构安全设计提供理论和技术支撑。

噪声试验技术是评估噪声载荷作用下结构动态响应特性及疲劳特性的常用方法。噪声试验的开展多在强声强混响室或行波管中进行。用于结构声振特性分析的计算方法，包括有限元、边界元、统计能量和其他的一些解析方法都需要采用噪声试验技术进行验证或结果修正。然而，基于强声强混响室或行波管的噪声试验技术也存在一定不足，具体体现在以下几个方面：① 混响室或行波管模拟的总声压级受限，远不能达到新一代高超声速飞行器近壁噪声环境水平；② 宽频噪声激励很难在响室或行波管等试验室条件下进行充分模拟；③ 大尺寸的结构构件很难在有限尺寸的试验室中进行噪声试验。

为了解决噪声试验技术的痛点问题，科研人员提出了基于缩比模型等效理论的结构动响应研究方法。通过等效理论降低试验室条件限制对噪声试验的影响。早在19世纪70年代初，Soedel基于Love方程推导了薄壁板壳结构动响应幅值的近似等效关系。随后，Rezaeepazhand和Simitses建立并应用结构动响应相似关系开展结构动响应分析，探讨结构缩比因子变化对结构动响应的影响规律。Rosa等在统计能力方法的基础上推导了基于缩比模型的宽频结构声振相似律。Hanson等基于模态分析技术提出了一种可以通过有限元模态修正实现结构振型缩放的新方法。Singhatanadgid和Na Songkhla推导了缩比模型和全尺寸模型结构固有频率间相似关系的数学表达形式。Adams等在半解析方法的基础上建立了力学载荷激励下薄壁结构动力学响应等效关系。流致噪声也是诱导结构振动重要因素之一。为了发展流动载荷下结构响应的试验测量技术，Franco等研究了湍流边界层噪声激励下的平板结构力学响应相似律。在此理论工作的基础上，笔者团队进一步发展了高速湍流边界层噪声激励下的平板结构力学响应相似律，并开展相关的试验验证研究。缩比模型等效技术的提出解决了试验室空间对大尺寸试验件的限制，在一定程度上推动了噪声试验技术的发展，提高其工程应用水平。

随着航空航天飞行器技术的快速发展，新一代飞行器结构设计不仅要求结构响应等效方法能实现结构尺度上的缩比，而且还要求能实现噪声强度上的等效，进一步降低噪声试验对实验室条件的依赖。然而，当前发展的结构动响应相似律多从结构尺寸角度去等效，很少研究噪声载荷环境的等效对结构动响应的影响。虽然，文献[25]和[26]提出的高速湍流边界层噪声激励下的平板振动响应相似律涉及到对结构表面噪声载荷的等效，但该研究思路是通过增加外激励频率范围获得全尺寸模型同样的频响范围，有一定局限性，并不适合行波管、混响室等试验室条件下的噪声试验。为此，本文提出了一种新的结构动响应等效方法，该方法能同时实现对结构尺寸缩比和外激励的等效，降低了噪声试验对试验室噪声环境模拟的要求，具有一定工程应用价值。

本文研究工作主要包括以下几个部分：首先，介绍结构振动基本理论和控制方程；其次，推导了不同噪声载荷环境作用下结构动响应的频域等效方法；再次，通过数值计算和试验结果对比验证等效理论的可靠性；然后，讨论了结构动响应的频率频移修正方法；最后，陈述本文的研究结论。

1 基本振动理论

假设外激励作用在一个简支撑平板模型(图1)上，模型长、宽和厚度方向的尺寸分别为、和，则平板上任意点(,)结构响应的解析表达式可表示为

(1)

式中：为结构位移响应的功率谱密度；为角频率；为声压互谱密度。

(2)

其中：表示结构密度,为阻尼因子。

无量纲振型：

(3)

其中：,=0,1,2,…表示、的模态阶数方向;、表示坐标。

简支平板的自然角频率可以表示为

(4)

其中：为材料杨氏模量，为泊松比。

归一化质量因子：

(5)

对于式(1)，是由外激励的空间分布特性决定，不同外激励分布对应不同的数学表达式。当一个单极子声源的辐射声压作用在结构上(图2)，(,)为模型中心坐标,声载荷可以表示为

(6)

式中：和分别为平板两点距离在和方向上的投影;()为声源辐射功率谱密度，为

图1 平板模型示意图Fig.1 Sketch of investigated plate model

图2 作用于平板结构的声载荷Fig.2 Acoustic load acted on plate

声速，为平板上任意2点的距离。

(7)

其中：为声源和结构表面的垂直距离。式(1) 中的可以表示为

(,)·(′,′)dd′dd′

(8)

如果外激励为一个复杂的面源，则可以把面声源离散成一定数量的点声源，作用在结构上声载荷激励可以表示为

(9)

则式(1)中的可以表示为

(′,′)d′dd′

(10)

如果外激励为混响声场，声载荷同步加载在结构表面，且声压幅值均匀分布，则的表达式为

(′,′)dd′dd′

(11)

2 动响应等效方法

为了在试验室条件模拟飞行器表面复杂的噪声载荷环境，本研究发展了一种基于缩比模型的噪声载荷环境和结构动响应在频域的等效方法。尽管文献[25]和[26]已经提出了一种用于结构声振考核的噪声试验等效方法，但该方法需要施加更宽频率范围的激励方可获得和全尺寸模型同样的频率响应，比较适合流致振动响应测量，而并不适合行波管/混响室噪声试验。因此，本文尝试发展一种新的结构动响应等效方法(见图3)，解决宽频噪声试验关键理论问题,图中,为外激励频率,为速度响应的功率谱密度。

图3 结构动响应等效示意图Fig.3 Equivalence of plate excited by concentrated force

2.1 特征模态等效

为了获得缩比模型和全尺寸模型动响应的等效关系，首先需要建立两者固有频率之间的等效关系。根据本文的研究目标，缩比模型和全尺寸模型的特征频率应该满足：

(12)

式中：-表示缩比模型参数。保证缩比模型和全尺寸模型特性频率一致性可以避免噪声试验模拟更宽的噪声激励。

(13)

而对于缩比模型的角频率：

(14)

其中：=[1,1]。

根据式(13)和式(14)，可以得到：

(15)

(16)

图4为采用2种不同频率方法等效的结果对比，其中，“Reference”表示采用文献[25]和[26]中方法获得的结果，而“Equivalence”表示采用本文发展的等效方法的计算结果。从图4的结果对比可以看出，相对于文献结果，本文发展的等效方法不需要扩展分析频率范围就可以获得全尺寸模型相同的频响范围，因此具有一定的优势。

图4 两种方法频率等效结果对比Fig.4 Frequency equivalence by two different methods

2.2 动响应等效

利用2.1节的结构尺寸和特征频率缩比方法，可以进一步推导得到结构动响应关键参数的缩比表达式：

(17)

(18)

(19)

同样，根据式(8)～式(10)，可以得到在不同噪声载荷，包括单极子声源、面声源和混响声场等激励下的载荷分布关系：

(20)

由于本文发展的等效方法要求结构特征频率满足式(12)，则噪声试验外激励频率也应满足如下表达式：

(21)

假设外激励功率谱密度满足如下关系：

(22)

式中:为常数。

把式(17)～式(22)代入式(1)，可以得到：

(23)

根据式(23)，为了获得缩比模型获得和全尺寸模型一致的结构响应，要求满足表达式：

(24)

此种情况下，可以保证：

(25)

即通过缩比模型获得全尺寸模型的真实响应。

根据文献[25]的研究结果和本文结构动响应等效方法的公式推导过程可以判断出，本文发展的缩比模型等效方法不仅仅适用于平板结构，同时也适用曲板等其他的薄壁结构。

3 等效方法验证

针对本文发展的结构动响应等效方法，研究分别基于有限元计算和地面试验测量结果开展等效方法的数值计算和试验对比研究。通过结果对比，一方面验证等效方法的可靠性，另一方面探索等效方法的适应范围，为发展新型噪声试验技术提供理论支撑。

3.1 结构模态等效

采用等效方法开展结构动响应研究，首先需要确认采用等效方法，缩比模型的特征模态和真实模型的特征模态的一致性。因此，本文对某平板结构开展模态特性分析，分别采用有限元方法计算全尺寸模型和缩比模型的特征频率。表1中为用于模态分析的全尺寸模型和其他采用不同方法的缩比模型尺寸。其中，全尺寸模型对应真实结构，等效模型对应本文发展的缩比方法，而文献表示采用文献[25]和[26]中的缩比方法。平板模型都采用的铝结构，对应材料参数：杨氏模量=7.0×10Pa, 结构密度=2.7×10kg/m，泊松比=0.33。结构分别采用简支和固支2种不

表1 采用不同缩比方法的平板尺寸

同的支撑方式。

图5和图6为2种不同支撑边界下结构模态的计算结果，其中，“Full-scale”表示全尺寸模型结构模态，“Equivalence”表示采用缩比模型等效方法获得全尺寸模型结构模态，“Reference”表示采用文献[25]和[26]中方法的计算结果,为结构模态阶数。根据文献[25]和[26]，要求全尺寸图模型和缩比模型特征频率满足如下对应关系：

图5 简支平板结构的特征频率Fig.5 Natural frequencies of simply supported plate

图6 固支平板结构的特征频率Fig.6 Natural frequencies of clamped plate

(26)

式中：表示来流速度。从式(26)可以看出，采用文献方法，全尺寸模型和缩比模型的特征频率和缩比因子有关系，缩比因子越小，则缩比模型对应频率范围越宽。而通过图5和图6的结果对比可以看出，本文发展的频率等效方法不需要考虑模型尺寸的变化对模型特征频率的影响，缩比模型的特征频率和全尺寸模型完全一致，不要求附加的频率换算。此外，本文推导的等效方法是基于简支结构解析理论，通过模态分析进一步验证了该等效方法也同样适用于固支结构，因此进一步扩展等效方法的适用范围。

3.2 网格无关性

本文拟采用有限元方法验证结构动响应等效方法的可靠性。有限元计算的精度受到计算网格密度的影响，因此有必要开展网格无关性分析，进而保证结构动响应等效方法的可靠性。研究选用集中力激励下的平板动响应计算作为对比算例，主要利用集中力激励下平板振动解析解作为对比验证。根据式(1)，集中力作用下的平板振动解析解的表达式如下：

(27)

式中：表示集中力的幅值，本算例中取1 N，对应所有计算频率。有限元计算采用表1的全尺寸结构为计算模型。计算网格有3种，分别为247网格(19×13)、988网格(38×26)、3 952网格(76×52)。

图7展示了不同网格下平板速度响应与解析解的结果对比。“FEM”表示有限元计算结果，“Analytical”表示解析解计算结果PSD(Power Spectrum Density)为功率谱密度。从图7的结果对比可以看出，计算网格密度越高，数值计算结果和解析解吻合得越好。尽管如此，采用高密度的计算网格，占用的计算资源也更多。因此，兼顾计算精度和计算效率，计算网格只需达到图7中988网格(38×26)就能满足本文结构响应计算的需要。

图7 不同网格条件简支平板速度响应Fig.7 Velocity response of simply supported plate by different grid elements

3.3 集中力激励

集中力激励可以看作是噪声载荷激励的极端形式，即所有的载荷集中作用在结构的某一点上。图8展示了采用不同缩比方法计算的结构在频域的响应。其中，“Full-scale”表示基于全尺寸模型的结构响应计算结果，“Equivalence”表示采用缩比模型等效方法计算的全尺寸结构响应结果，“Reference”表示采用文献[25]和[26]中方法的计算结果，而“Ref-scaled”表示采用文献[25]和[26]中方法计算的缩比模型结构响应。研究计算了平板上2个点(P1和P2)的结构响应，对应全尺寸模型坐标分别为(0.3 m, 0.2 m)和 (0.15 m, 0.1 m)，而对应缩比模型上的坐标分别为(0.15 m, 0.1 m) 和(0.075 m, 0.05 m)。外激励在各个频率的幅值皆为1 N，作用点集中于平板中心位置。

图8 集中力激励下结构响应Fig.8 Plate response caused by concentrated force

从图8的计算结果可以看出，采用本文发展的等效方法和文献[25]、[26]的方法都可以准确获得全尺寸结构的动响应，速度功率谱响应幅值在各个特征模态的理论误差都在1%以内，各个特征模态也符合较好。然而和本文发展的等效方法相比，文献[25]、[26]中的方法在计算缩比模型结构响应时，需要开展更宽频率的外激励和结构响应计算。因此，如果采用文献理论进行噪声试验，无疑会增加试验室噪声载荷环境模拟的难度。

3.4 噪声载荷

图9 声载荷激励下的结构响应Fig.9 Plate response excited by acoustic load

图8验证了集中力激励下结构动响应等效关系的可靠性。为了验证噪声载荷作用下结构动响应等效关系，研究采用混响声场激励平板结构, 噪声载荷在各个频率的幅值皆为1 Pa。结构响应的监测点同3.3节。从图9的结果比较可以看出，在混响声场的作用下，基于全尺寸模型计算的结构响应与基于等效关系和缩比模型计算的结构响应仍然吻合较好。虽然声载荷激励下结构速度功率谱精度误差相比于集中力的等效动响应稍低，但特征模态的最大理论误差仍保持在5%以内(图9)，进一步验证了本文发展的等效方法的可靠性。此外，从图8和图9的算例对比可以得出，采用本文发展的等效方法不仅实现了降低地面试验对宽频激励的依赖性，同时也意料之外地降低了地面试验对激励强幅值的要求，进一步提高该等效方法的工程价值。

3.5 地面试验

理论计算分析方法一般只提供一种理想化的结果对比，而试验方法往往更接近工程应用。因此，本课题在理论验证的基础上，进一步采用现有的试验测量结果对发展的动响应等效方法进行验证。结构激励采用白噪声驱动扬声器模拟的面声源，试验模型尺寸0.3 m×0.2 m×0.003 m。试验模型为某结构的缩比模型，对应缩比因子0.5。表2为采用不同方法获得的全尺寸模型的固有频率。“Measurement”表示采用基于缩比模型地面试验和等效方法获得的结构固有频率，“Full-scale”表示采用有限元计算获得的结构固有频率，而“Equivalence”表示采用缩比模型有限元计算和等效方法获得的结构固有频率。从表2的模态对比结果可以看出，采用全尺寸模型或等效方法的模态计算结果相对于试验测量结果的误差不超过3%。

图10展示了采用不同方法计算的声载荷激励下的结构动响应。“Full-scale”表示采用有限元计算获得的全尺寸结构频域响应，“Scaled”表示采用有限元计算和缩比模型等效方法计算的全尺寸结构频域响应，“Measurement”表示采用地面试验和缩比模型等效方法获得的全尺寸结构频域响应。从图10的计算结果对比可以出，本文发展的等效方法可以准确获得结构的动响应。然而从图10的结果还可以看出，对于结构的第2个特征模态，有限元计算和试验结果出现了偏差。误差产生原因分析：Hanson等已经讨论了，在理论上采用白噪声激励结构，可以获得结构所有的共振模态。然而采用白噪声驱动扬声器产生噪声载荷时，噪声载荷激励还受到扬声器共振频率的影响。所以，扬声器共振频率和结构特征频率不匹配很可能是结构振动第二特征模态丢失的原因之一。其次，在进行噪声试验时，并不是所有的结

表2 试验模型的固有频率Table 2 Natural frequencies of plate used for measurement

图10 不同方法计算的结构动响应Fig.10 Structural dynamical response by different methods

构模态都一定会被激发，这也是结构第二特征模态丢失的可能原因。

4 材料效应修正

本文发展了基于缩比模型等效方法的结构动响应预测技术。设计缩比等效模型时，缩比模型可以采用和全尺寸同样的结构材料，也可以采用不同的结构材料。当缩比模型的材料和全尺寸模型相异时，等效方法获得结构特征频率和全尺寸模型频率之间存在一个频率偏移。频率偏移的表达式为

(28)

式中:=表示考虑材料效应的缩比模型参数。由材料属性决定，可表示为

(29)

(30)

图11为未考虑材料效应的平板结构响应，“Scaled-Aluminum”、“Scaled-Steel”、“Scaled-Brass”表示缩比模型分别对应不同的结构材料铝、钢和黄铜,材料参数如表3所示。从图11可以看出，采用黄铜和采用其他2种材料得到结构响应之间存在明显频率偏移，而这种偏移是由于材料的值不同产生。由于铝和钢2种材料的值相近，所以两者结果的频率偏差较小。通常情况下，由于材料属性不同产生的频率偏移可以采用式(28)进行修正。图12为修正后平板结构响应结果对比，与图11的结果比较，频率修正显然消除了由于缩比模型材料不同产生的频率偏移。