基于Kriging模型的弹性元件结构参数优化

潘晓阳， 黄崇莉， 汪 涛， 于 洋， 梁应选

(陕西理工大学 机械工程学院， 陕西 汉中 723000)

称重传感器按工作原理可分为电阻式、电容式和光电式等。电阻应变式称重传感器因结构简单、线性度和抗偏载性良好等优点被广泛应用。而弹性元件作为称重传感器的关键部分，其结构外形尺寸将直接影响整个传感器的测量精度[1-2]，因此提升称重传感器精度的关键在于弹性元件结构参数的合理设计。朱目成[3]在力学分析和有限元分析的基础上建立了测力传感器的数学模型，并对梁的结构参数进行了CAD优化设计。赵思宏等[4]利用Vizi CAD对有限元模型进行了有限元应力应变分析，提高了产品灵敏度。龚中良等[2]利用响应面优化方法提高了弹性元件的固有频率。Ye Lin等[5]将有限元和粒子群算法相结合，优化了电感式角度传感器结构参数，从而降低了非线性误差对传感器精度的影响。Sheikh-Ahmad J Y等[6]利用有限元研究了不同几何形状测力仪的应力应变分布，获得了最大灵敏度和最小串干扰的应变位置及结构参数。虽有诸多学者对传感器弹性元件的结构进行了各种优化，但通过提升弹性元件贴片处的应变差(即应变片受拉、受压时应变大小差值)来弥补传感器测量精度方面的研究存在不足。本文采用应力集中的方式[7]来提高传感器弹性元件贴片部位的应变力水平，使其与被测载荷加载力的值相对应，以此提高称重传感器的测量精度和灵敏度。

为进一步提升称重传感器的测量精度和灵敏度，本文以L6N3称重传感器为研究对象，采用最优拉丁超立方(optimal Latin hypercube method，OLHD)试验设计方法获得样本点，构建设计变量与优化目标之间的映射Kriging模型寻找全局最优解，并利用非快速支配排序遗传算法(non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA-Ⅱ)对该模型进行优化，完成对传感器弹性元件结构参数的优化设计，在弹性元件线性弹性范围内尽可能提升贴片部位的应变力水平，增加整体的应变力差值。

1 称重传感器结构及工作原理

1.1 传感器模型建立

L6N3称重传感器为平行梁式，其结构简单、抗偏载性能强，被广泛应用于各个工程领域。称重传感器实物图如图1所示。传感器上下各两个螺纹孔，分别用于安装秤盘和固定支撑底座。弹性元件为双孔结构，其目的是为了在受载条件下使应力集中于平行梁的中心空心结构半圆中心线处，此处应变最大，应变片贴于应力集中处，测量结果更精确。为保证结构良好的参数化性能及尺寸精度，采用Design Modeler模块建立该弹性元件的三维模型，如图2所示。

图1 称重传感器实物图 图2 弹性元件有限元模型

1.2 工作原理及计算

电阻应变式称重传感器的弹性元件受到载荷作用，在线性弹性范围内产生弹性变形，带动贴在弹性元件上的4个电阻应变片产生变形，使其阻值发生变化，经过检测电路产生一个与载荷成线性变化的电压信号，从而测量施加载荷的大小。检测电路如图3所示，弹性体受力分析简化如图4所示。

图3 检测电路 图4 受力分析简化

当弹性元件加载位置受到载荷作用时，位于不同贴片位置的4个应变片同时受到拉伸或挤压作用，其中应变片1、4受到拉伸作用，2、3受到挤压作用，检测电路将其应变值转化为电信号输出。输出电压的计算公式为

(1)

式中U、U0分别是电桥输出电压和激励电压，ε为应变片的应变值，k为应变片灵敏度系数。

贴片区1、3截面与2、4截面转矩分别为

Ma=F×l1，Mb=F×l0，

(2)

贴片区应力分别为

(3)

式中l为加载力F施加位置与应变片之间的距离，I为截面的惯性矩。

由于应变片贴于弹性元件表面，弹性元件贴片区的应变量即应变片的应变量，因此应变片的应变值可用贴片部位的应变值表示：

εi=σi/E，i=1,2,3,4，

(4)

(5)

2 弹性元件数值计算

称重传感器的弹性元件材料应具备复原性，一般选用铝合金、不锈钢、合金钢等。本文弹性体材料为不锈钢17-4PH，其材料特性参数见表1。

表1 弹性元件材料属性

为了提高数值计算效率，在对弹性元件进行有限元数值计算时，忽略了螺纹孔、各倒角、圆角等结构对数值计算的影响。模型简化后会影响到弹性元件的稳定性，故在此基础上增加许用安全系数，以保证优化后结构强度符合安全规定。暂定安全系数为n0=1.3，许用应力计算公式为

[σ]=σs/n0，

(6)

式中σs为屈服极限，n0为安全系数。

假定不锈钢材料17-4PH的屈服极限为最低屈服极限725 MPa，经计算，许用应力为557.7 MPa。加载力取该传感器最大量程100 kg，通过有限元求解得到贴片处最大应力为336.04 MPa，应力结果云图如图5所示，相对于许用应力来说还有很大的提升空间。

图5 最大应力分布云图

考虑到称重过程中施加载荷引起称重机器振动稳定性问题，根据模态分析得到弹性元件的振动特性，得到1—6阶模态频率如表2所示。

表2 弹性元件模态频率

根据模态振型分析，在实际应用中考虑到加载力的位置及加载时产生的振动，1阶模态频率和3阶模态频率与实际加载载荷相符。本文在参数优化过程中以不低于现有频率为前提，尽可能在线性弹性范围内提升弹性元件的应变差及1、3阶模态频率，从而达到优化目的。

3 模型参数分析及优化

图6 控制参数结构

根据弹性元件的实际尺寸建立参数化模型，弹性元件中心空心结构对传感器输出值灵敏度及精确度有较大的影响，其中贴片区梁的厚度、孔中心距、梁宽等结构参数都对传感器性能有很大影响，故将上述结构参数作为本次优化的控制参数，弹性元件控制参数结构如图6所示。

3.1 试验设计

L6N3弹性元件的结构设计变量及取值范围参数较多，若采用正交试验设计难以获得较好的设计样本，而采用最优拉丁超立方(OLHD)试验设计方法能够较好地解决多变量设计的抽样问题。故本文采用OLHD作为试验设计方法，各设计变量取值范围见表3。通过试验设计与有限元模型结合分析得出试验点响应值，最终得到样本点见表4。

表3 各设计变量取值范围

表4 样本点与分析结果

对数据集进行回归分析可以得到Pareto图，该图能反映样本拟合后模型中各个参数对每个目标响应的贡献度，并将其以百分比的形式呈现出来，具体如图7所示，其中左侧柱体表示正效应，右侧柱体表示负效应。图7(a)、(b)、(c)分别为各参数对最大应变差、1阶模态频率及3阶模态频率响应贡献百分比。图7(a)显示p1、p2及交叉项p2-p3、p1-p2对应变差有较大的影响；7(b)显示1阶模态频率受p2影响最大，其他各参数平方项对其也有很大影响，并且呈正相关；7(c)中p1、p2、p4、p5对3阶模态有一定的影响，其中p1、p2影响较大并且呈负相关，各参数交叉项对1、3阶模态影响很小。

(a)应变差响应 (b)1阶模态响应 (c)3阶模态响应图7 Pareto图

本文以提高弹性元件应变差f1(P)、1阶模态频率f2(P)和3阶模态频率f3(P)为目标，约束其固有频率及最大应变差，得出优化数学模型为

(7)

3.2 Kriging模型

由于设计变量与优化目标之间存在高度非线性关系，一般常用的多项式难以逼近这种多变量高度非线性关系，Kriging模型在解决这种高度非线性问题上有着很大优势，是一种基于随机过程理论的空间插值技术，对强非线性输入输出关系有很好的近似能力[8]。Kriging模型表示为

(8)

式中x为设计变量，y(x)为响应函数，fi(x)为回归函数的基函数，Z(x)为平稳随机过程，βi为回归系数。

基函数fi(x)可以有多种不同类型，常见的基函数有多项式基函数、高斯基函数、S型基函数，其中高斯基函数针对非线性关系的模型求解有较大优势，故本文采用高斯基函数作为Kriging模型的回归基函数，其表达式为

(9)

式中li表示控制位置，σ表示控制跨度(σ越小函数图就越陡，越大函数图就越缓)。

协方差矩阵为

(10)

图8 Kriging模型预测值与样本值对比

利用OLHD法与有限元结合得到的试验样本点建立Kriging近似模型，并随机挑选5组样本点进行对比，得到如图8所示的最大应变差对比图。

如图8所示，本文仅列出最大应变差样本值与预测值之间的对比，预测值与样本值之间差值很小，可以忽略不计。同时为验证Kriging模型是否满足精度要求，采用决定系数R2作为判定依据，R2越接近1表示模型精度越高[9]。决定系数R2的表达式为

(11)

表5 Kriging模型各目标决定系数

如表5所示，各目标决定系数均大于0.9，拟合程度均表现良好，说明模型能很好地逼近试验数据值，可以用来预测该弹性元件各目标参数。Kriging模型的部分响应面关系如图9所示。

(a)应变差 (b)1阶模态 (c)3阶模态图9 Kriging模型部分响应面

由于设计变量较多，因此绘制响应面只选取部分影响较大的设计变量，做出该响应面来表示设计变量与目标变量之间的关系。但该响应面仅能显示目标值与设计值之间的大致关系，无法直接获得最优结果，故必须采用优化算法来求解该模型的全局最优解。

3.3 算法优化

Kriging模型在预测过程中梯度信息无法获得，目前针对Kriging模型优化问题，可采用的优化算法有模拟退火、遗传算法、粒子群算法等。基于Pareto解集的带有精英策略的非支配排序遗传算法(NSGA-II)在众多多目标优化算法中最具代表性[10]，受到众多学者的一致好评。故本文采用NSGA-II算法对Kriging模型进行全局寻优，在保证固有频率不低于原有结构的基础上，尽可能提升弹性元件在线性弹性范围内的应变差为目的进行优化，其优化结果见表6。

绝压变送器、差压变送器、温度变送器输出的4～20 mA标准电流信号被ADAM4118模块采集，所有采集的信号经ADAM4520I模块转换后输入计算机，通过数据采集程序实时监测和在线采集。

表6 有限元结果分析对比

由表6给出的优化方案看，在满足所有优化条件的前提下，优先考虑应变差最大及模态频率较高的点。候选点的选择依据如下：

(1)所有候选点均满足变量约束及目标优化要求；

(2)候选点1相对于2、3来说，在最大应力值相差不大的前提下，应变差提升幅度最大；

(3)候选点3的各阶模态频率虽比其他候选点高，但其最大应变差提升幅度最低；

(4)候选点1相对于原结构来说，最大应变差变化最大，其余除6阶模态频率外，其他阶频率均有所提升，优化效果较为显著。

综合考虑，选择候选点1作为最优解。此时优化点与原结构相比应变差提升量及提升百分比计算公式为

Δε=ε1-ε0，

(12)

(13)

式中 Δε为优化前后最大应变差提升量(mm)，ε0为原结构在受载情况下的最大应变差(5.245×10-3mm)，ε1为优化后结构在受载情况下的最大应变差(7.424×10-3mm)，εp为提升百分比(%)，计算得到

Δε=2.179×10-3mm，εp=41.55%。

4 结论

(1)根据弹性元件的实际尺寸，建立弹性元件的有限元模型，并通过有限元数值分析方法对称重传感器弹性元件一系列静力学特性进行了数值模拟，其最大应变差为5.245×10-3mm。

(2)采用最优拉丁超立方试验设计法进行抽样，利用样本点建立Kriging模型响应面，通过决定系数R2确定Kriging模型的可靠性，可以用来预测弹性元件受载各目标变量参数。

(3)采用NSGA-Ⅱ优化算法对建立的Kriging模型进行全局寻优，优化设计共选取了3个候选点，其中候选点1与原结构相比在材料线弹性范围内最大应变差提升了41.55%，各阶模态频率均有不同程度的提升，优化结果较为显著。