离轴两反无焦系统镜面结构选择及优化

宋红红，刘 婷，钱俊宏，李佳文，张蓉竹

（四川大学 电子信息学院，四川 成都 610041）

引言

反射式光学系统以其无色差、宽波段、大尺寸等优点，被广泛用于各类大口径望远镜的结构设计中[1-4]。传统的同轴反射系统由于存在中心遮拦问题，视场受到影响，同时导致入射信号中低频率的MTF 值出现下降，影响系统成像质量。为解决此问题，通常采用光阑离轴、视场离轴或是两者相结合的方法将同轴系统离轴化，避免中心遮拦，提高系统分辨率[3]。其中离轴两反光学系统由于结构简单，加工和装调难度相对较小，稳定性好等，因此具有较好的实用性。

2013年，姜凯[5]利用离轴两反无焦光学系统作为离轴折反式中波红外连续变焦光学系统的入口端，使系统在250 mm～2 000 mm 焦距范围内连续变焦，且系统无遮拦，满足100%冷光阑效率，成像质量良好。2018年，郭占立[6]同样用离轴两反无焦光学系统作为可见光和红外光双波段共口径连续变焦系统的入口端，扩大了光谱接收范围，系统在可见光和红外光波段均能实现200 mm～2 000 mm 焦距范围内连续变焦，变焦轨迹平滑，系统成像质量良好。谷茜茜[7]等人设计了离轴两反无焦光学天线，系统的有效通光口径为100 mm，放大倍率为5 倍，波段为500 nm～1 100 nm，全视场角为0.6°，波像差优于λ/14（λ=500 nm），斯托列尔比大于0.8，像质接近衍射极限，光学视场相对于传统二次曲面系统增加26.7%，在激光通信领域具有较强的实用性和很好的发展前景。周欣茹[8]等人基于XY多项式自由曲面设计了一个大相对孔径宽视场的离轴两反自由曲面望远光学系统，其相对孔径为1/3.75，全视场角为2.8°，在全视场范围内各个视场在空间频率50 lp/mm 处的MTF 值大于0.4，系统整体成像性能优良。

然而，系统在具体设计时，对初级像差的分析都是针对同轴两反光学系统展开的，对离轴系统像差分布情况并未展开系统讨论。本文从同轴两反无焦光学系统的三级（初级）像差理论出发，推导了主、次镜偏心后的离轴两反无焦光学系统的像差表达式，并用初级赛德尔系数将其展开并计算了不同面形离轴两反系统的像差，利用Zemax 软件对理论分析涉及到的镜面组合进行仿真，比较了不同面形组合下的光学系统像差特性，为离轴系统的基础面形选择以及系统的装调提供参考。

1 离轴两反无焦光学系统的像差分析

无焦系统是等效焦距为无限大，对光束没有发散或聚焦作用的光学系统。离轴两反无焦光学系统是将同轴两反无焦光学系统进行光阑离轴或者视场离轴，得到一个非对称光路结构。离轴两反无焦系统分为两种类型：一是主次镜中间无实焦点的卡塞格林系统，如图1(a)所示；二是主次镜中间存在实焦点的格里高利系统，如图1(b)所示。设计离轴两反无焦系统时，首先需要根据高斯光学计算同轴系统的结构参数，关键是确定主镜的相对孔径，然后根据要求计算光阑离轴量或视场倾斜角度，进而实现系统离轴。对系统像差分析时，以同轴两反无焦光学系统的三级（初级）像差理论为出发点，研究离轴系统的像差表现形式，最后通过仿真软件进行比较。

像差是评价光学系统质量最直接参数之一。常用的圆形同轴系统具有旋转对称性，对这种理想系统进行像差分析时，通常选择如图2(a)所示的出瞳面和像面上的2 个量来描述光线的传播路径，用光线之间的光程差来定量描述，即常用的波像差[9]。对于光阑离轴系统，实际选用的光瞳部分是同轴初始光瞳的一部分，即图2 中粗实线部分。

光学系统的初级波像差用矢量像差处理[10]，可以写为

式中：k=2p+m；l=2n+m；（Wklm）j为第j个面上某种类型像差的像差系数；为归一化视场矢量，其长度为H，方位角为θ；为归一化光瞳矢量，其长度为ρ，方位角为φ。

如图2(b)所示，X＇O＇Y＇为初始光瞳坐标系，半径为R＇；XOY为经过光阑离轴后的子光瞳的参考坐标系，半径为R。对子光瞳内的任一点P，其坐标可由同轴系统和离轴系统的归一化光瞳矢量坐标变换来表示[11-12]，即：

初级波像差用矢量像差处理时，（1）式可化简为[13-14]

两反无焦系统的主、次镜是由2 片反射镜组成，反射镜不考虑色差，在应用中主要考虑球差、彗差、像散、场曲及畸变[15]，对应k+l=4的初级Seidel像差。离轴系统的三阶波像差系数表达式为

将（4）式展开并整理，得：

对（5）式的求解结果进行分析，可以得出以下主要结论：

1）将未校正初级像差的同轴系统进行离轴设计后，离轴系统的初级像差由球差、彗差、场曲、像散、畸变组成，但各种像差与视场的对应关系发生了变化。

2）由于同轴系统中赛德尔系数SI～SV均与主、次镜的曲率半径和圆锥系数有关，因此主、次镜曲率半径和圆锥系数均对离轴系统的初级像差存在影响。

3）离轴系统的球差为B4与对应的同轴系统球差的乘积；彗差由同轴系统的彗差和球差转换而来；像散由同轴系统像散、彗差、球差转换而来；场曲由同轴系统场曲、彗差、球差转换而来；畸变由同轴系统畸变、场曲、像散、彗差、球差转换而来。因此当主、次镜均为抛物面时，SI=SII=SIII=SV=0，同轴系统只存在一定量的场曲，离轴后系统只存在场曲和畸变。

取离轴系统的半视场角为0.1°，相对孔径为1/4.5，结合（5）式计算不同面形的非球面镜组合下系统的初级像差系数。表1 给出主镜的曲率半径、同轴系统半径、离轴后的半径以及离轴量，并计算了光瞳孔径压缩比因子B和光瞳偏心因子dy，其中dx为0。离轴虽实现了中心无遮挡，但是离轴量一方面会影响整个结构的横向尺寸，同时也会带来不同的像差。综合考虑加工难度以及机械结构在装调时需要留有的余量，在保证系统能达到衍射极限的情况下，依据主、次镜的曲率半径与所选取的入瞳直径尺寸采用尽量小的离轴量。表2 为不同面形组合下计算得出的初级波像差系数（λ=0.587 6 μm）。

表1 不同组合离轴前后的各组变量Table 1 Each group of variables of different combinations before and after off axis

由计算结果可知，不同的面形组合会有不同的像差，如表2 中（1）、（2）数据所示，同为抛物面结构，当系统曲率半径和离轴量相同，但结构不同时，其像差不同。在表2 中（3）、（4）两组计算结果表明，曲率半径以及离轴量几乎相同的双椭球面组合，由于圆锥系数不同，所得到的像差结果也不同。由表2 可以看到，在同轴系统中未校正像差的离轴系统仍然存在，但是主、次镜的面形都选择抛物面时，剩余像差最少。根据理论计算结果可以初步判断，选取初始结构时，采用双抛物面组成的离轴两反无焦系统引入的像差最少，作为基底不失为合理的选择。

表2 初级波像差系数Table 2 Primary wave aberration coefficients

2 离轴两反无焦系统的设计与比较

离轴两反无焦光学系统可应用于空间光通信和激光准直中，发射信号时用作扩束系统，可增大束腰半径，扩大发射范围，压缩光束发散角，提高其准直性，降低光源发射功率；接收信号时用作缩束系统，减小后续光路元件的尺寸，尽可能提高接收光功率。与聚焦系统不同，离轴两反无焦光学系统主要采用波前差和斯托列尔比进行分析，一般波前差RMS 小于λ/14，斯托列尔比大于0.8。作为辅助评价方法，当点列图为圆形时光学系统能量集中且分布均匀，MTF 接近衍射极限，像质较好。

为更系统地分析不同面形结构下误差的具体分布，我们进行更详细的比较。在每一种不同面形组合下，取可见光波段离轴反射系统相对孔径为1/4.5，半视场角为0.1°，像质评价时均取边缘视场的波前差和斯托列尔比。考虑到离轴两反无焦结构配合成像系统组成一个完整的远距离成像系统，在系统传递函数的设计指标上，综合考虑离轴两反无焦系统、成像透镜组的成像质量，最终与选用的探测器像元尺寸（25 μm）相匹配，探测器阵列对应的空间频率为20 lp/mm，因此在后续所有仿真设计中考察此空间频率下的MTF 值。

首先对主、次镜均为抛物面的卡塞格林系统和格里高利系统进行比较。图3 和图4 为卡塞格林系统和格里高利系统像质分析结果，两者主镜曲率半径均取900.000 0 mm，次镜曲率半径均取180.000 0 mm，主镜离轴量均取180.000 0 mm。

通过比较可以看出，两组系统的MTF 曲线已基本达到衍射极限，卡塞格林系统和格里高利系统在空间频率20 lp/mm 处MTF 值均接近0.3。理论上，光学系统具有相同的F#时，系统MTF 衍射极限应相同，但实际上系统的MTF 表现效果会受到像差和视场角大小的影响，卡塞格林系统与格里高利系统的场曲和畸变都不相同，所以系统MTF 衍射极限也存在差别。弥散斑均在艾里斑内，0.1°视场时，卡塞格林系统和格里高利系统的弥散斑RMS 半径分别为0.003 mr 和0.004 mr。

由像差数据可知，卡塞格林系统和格里高利系统的RMS 波前差分别为0.008 2 λ 和0.008 3 λ，均优于λ/14，斯托列尔比均为0.997。两种结构均仅存在场曲与畸变，卡塞格林系统的场曲为0.028 802 λ，畸变为−0.003 619 λ，格里高利系统的场曲为−0.043 204 λ，畸变为−0.001 357 λ。两种结构的像差数据虽相差较小，但卡塞格林系统在空间频率20 lp/mm 处MTF值更大，系统分辨率更好。

下面对采用双椭球面的2 个系统进行仿真与分析。图5 为椭球面系统像质分析结果。其中主镜曲率半径、主镜离轴量、次镜曲率半径分别取3 282.043 0 mm、250.000 0 mm、749.068 4 mm，主、次镜非球面系数满足−1<−e2<0。图6 为扁椭球面系统像质分析结果。其中主镜曲率半径取3 282.373 3 mm，离轴量取250.000 0 mm，非球面系数满足−1<−e2<0，次镜曲率半径取749.397 5 mm，非球面系数满足−e2>0。

通过比较看出，椭球面系统在空间频率20 lp/mm 处MTF 值大于0.8，扁椭球面系统边缘视场MTF 值仅大于0。椭球面系统和扁椭球面系统RMS波前差分别为0.037 9 λ 与1.199 1 λ，斯托列尔比分别为0.943 和0.008。不同于抛物面系统，椭球面系统还存在球差、彗差以及像散，椭球面系统的彗差较小，为−0.086 376 λ，但扁椭球面系统的彗差达到了−1.218 345 λ。两组系统场曲接近一致，分别为0.088 692 λ 和0.088 644 λ，像散分别为−0.004 591 λ和−0.064 730 λ，系统球差分别为−0.010 588 λ 和−0.094 654 λ，两组系统畸变分别为−0.010 534 λ 和−0.013 722 λ。

由此可见，选择双椭球面虽能达到较好的空间分辨率，但像差引入更多，从而限制了系统的成像质量。尤其当次镜非球面系数−e2>0 时，不仅不能满足RMS 波前差小于λ/14、斯托列尔比大于0.8的要求，而且点列图和MTF 变形严重，光学系统能量分布不均匀，像质差。

针对主、次镜均为双曲面的卡塞格林系统而言，主、次镜曲率半径分别取1 486.425 7 mm 和264.639 7 mm，离轴量取300.000 0 mm，非球面系数均满足−e2<−1，图7 为系统像质分析结果。

由图7 可以看出，系统在空间频率20 lp/mm处MTF 值大于0.4，RMS 波前差为0.045 1 λ，斯托列尔比为0.920，弥散斑均在艾里斑内，0.1°视场时存在一定的像散，大小为0.000 158 λ。系统的球差为0.001 484 λ，彗差为0.002 178 λ，场曲为0.054 905 λ，畸变小于0.2%，为−0.007 420 λ。由此可见，选择双曲面虽然能够达到较好的空间分辨率，但更多像差的引入也将限制系统的成像质量，球差和像散虽然较小，但是彗差与场曲都比较大，总体性能不及前述几种结构。

图8 是主镜为抛物面、次镜为椭球面的格里高利系统的像质分析结果，其中主镜曲率半径取1 679.202 4 mm，离轴量取200.000 0 mm，次镜曲率半径取387.636 9 mm，非球面系数满足−1<−e2<0。

由图8 可知，系统MTF 曲线接近衍射极限，在空间频率20 lp/mm 处MTF 值大于0.6，RMS 波前差为0.028 5 λ，斯托列尔比为0.968，弥散斑均在艾里斑内，球差为0.006 284 λ，彗差为−0.002 105 λ，像散为0.000 176 λ，场曲为−0.071 633 λ，畸变小于0.15%，为−0.001 513 λ。由此可知，主镜抛物面、次镜椭球面的格里高利系统虽然能够达到较好的空间分辨率，但会引入更多像差与较大的彗差和场曲，因此其成像质量也将受到限制。

最后对主镜为双曲面、次镜为抛物面的卡塞格林系统进行分析。主镜曲率半径取3 167.337 4 mm，非球面系数满足−e2<−1，离轴量取350.000 0 mm，次镜曲率半径取719.537 8 mm，非球面系数为−1，图9 为系统像质分析结果。

由图9 可知，系统的MTF 曲线接近衍射极限，在空间频率20 lp/mm 处MTF 值大于0.7，系统的RMS波前差为0.061 6 λ，斯托列尔比为0.864，弥散斑虽在艾里斑内，但变形较严重，像散为0.000 001 λ，彗差为−0.000 006 λ，场曲为0.086 207 λ，球差为−0.012 862 λ，畸变小于0.1%，为−0.010 023 λ。由此可见，主、次镜分别选择双曲面和抛物面的组合虽然也能够达到较好的空间分辨率，并且像散和彗差很小，但场曲与球差都比较大，对系统整体成像质量会有明显影响。

由仿真结果可知，仿真的像差数据与理论分析基本相符，其数值相差小于0.001 λ，因此，本文推导的离轴两反结构像差计算公式具有合理性，提出利用像差来评价离轴两反结构系统及其元件选用方法的模型是可行的。

3 结论

两反无焦光学系统有多种面形的镜面组合结构，在离轴情况下，系统设计必须综合考虑。本文在同轴两反光学系统初级像差理论的基础上，对离轴两反光学系统的初级像差公式进行了推导，具体计算了不同面形组合下系统的像差大小，并进行了对比，以像差的种类及具体指标作为系统性能的判定规则，确定了离轴两反系统镜面类型的选择原则。利用ZEMAX 软件对理论分析涉及到的镜面组合进行了仿真，理论分析及仿真结果表明，当主、次镜均选择抛物面时，离轴两反无焦系统将引入最少的像差，在其后加上成像系统能够实现较好的成像质量。另外，当主镜为凹形抛物面，次镜为凸形抛物面时，更能有效压缩系统体积，在系统小型化设计中具有明显优势。