从一题多解看空间距离的求法

摘要：空间距离是立体几何的重要内容，是高考的热点，也是教学的难点，它包括两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平行线间的距离、异面直线间的距离、直线到平面的距离和平行平面间的距离等.本文试图通过探究一道优秀高考试题的不同解法，让学生领会解题思路，领悟数学思想方法，领略数学文化的魅力.

关键词：等体积法;等面积法;空间距离;向量法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0072-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：廖永福（1962-），男，福建省仙游人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

题目（2013年北京卷理14）如图1，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.

解法1（定义法）点P到直线CC1的距离的最小值就是异面直线D1E与CC1间的距离.

如图2，过点E作EE1∥CC1交B1C1于点E1，连接D1E1，过点C1作C1F⊥D1E1，垂足为点F，过点F作FP0∥E1E交D1E于点P0，则B1E1 =E1C1，P0F∥CC1.图2

在C1C上取点Q，使得C1Q=FP0.

连接P0Q，则四边形P0QC1F为平行四边形.

因为CC1⊥平面A1B1C1D1，C1F平面A1B1C1D1，所以CC1⊥C1F，四边形P0QC1F为矩形.

所以P0Q⊥CC1， P0Q⊥PF.

因为P0Q∥FC1，所以P0Q⊥D1E1.

又D1E1∩P0F=F，D1E1，P0F平面D1EE1，

所以P0Q⊥平面D1EE1.

所以P0Q⊥D1E.

即P0Q为异面直线D1E和CC1的公垂线.

在Rt△C1D1E1中，由

C1F·D1E1=C1D1·C1E1，得

C1F=C1D1·C1E1D1E1=2×122+12=255.

所以P0Q=C1F=255.

即点P到直线CC1的距离的最小值为255.

解法2（等体积法）点P到直线CC1的距离的最小值就是异面直线D1E与CC1间的距离.图3

如图3，过点E作EE1∥CC1交B1C1于点E1，连接D1E1，则B1E1 =E1C1.

因为EE1平面D1EE1，CC1平面D1EE1，

所以CC1∥平面D1EE1.

所以异面直线D1E与CC1间的距离就是直线CC1到平面D1EE1的距离，就是点C1到平面D1EE1的距离.

设点C1到平面D1EE1的距离为d，

因为VC1-D1EE1=VE-C1D1E1，

所以13S△D1EE1·d=13S△C1D1E1·EE1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，

所以EE1⊥平面A1B1C1D1.

又D1E1平面A1B1C1D1，所以EE1⊥D1E1.

所以S△D1EE1=12EE1·D1E1=5.

又S△C1D1E1=1，EE1=2，

所以d=S△C1D1E1·EE1S△D1EE1=1×25=255.

故点P到直线CC1的距离的最小值为255.

解法3（等面积法）如图4，过点E作EE1∥CC1交B1C1于点E1，连接D1E1，过点P作PF∥EE1交D1E1于点F，连接C1F，则B1E1 =E1C1，PF∥CC1.

因为CC1⊥平面A1B1C1D1，C1F平面A1B1C1D1，所以CC1⊥C1F.

所以C1F的长就是点P到CC1的距离.

因为点P在线段D1E上运动，所以点F在线段D1E1上运动，当C1F⊥D1E1时，C1F取得最小值.

在Rt△C1D1E1中，由

C1F·D1E1=C1D1·C1E1，得

C1F=C1D1·C1E1D1E1=2×122+12=255.

故点P到直线CC1的距离的最小值为255.

解法4（向量法）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，则C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，0）.图5

从而CC1=（0，0，2），CD1=（0，-2，2），D1E=（1，2，-2）.

设D1P=λD1E=（λ，2λ，-2λ）（0≤λ≤1），

则CP=CD1+D1P=（λ，2λ-2，2-2λ）.

所以点P到直线CC1的距离

d=|CP|2-CP·CC1CC12

=λ2+（2λ-2）2+（2-2λ）2-2（2-2λ）22

=5（λ-45）2+45.

所以当λ=45时，点P到直线CC1的距离的最小值为255.解法5（向量法）建立空间直角坐标系同解法4，则D（0，0，0），D1（0，0，2），E（1，2，0）.

从而DD1=（0，0，2），D1E=（1，2，-2）.

设D1P=λD1E=（λ，2λ，-2λ）（0≤λ≤1），

则DP=DD1+D1P=（λ，2λ，2-2λ）.

所以P（λ，2λ，2-2λ）.

又设点P在CC1上的投影为点Q，

则Q（0，2，2-2λ）.

所以PQ=λ2+（2λ-2）2

=5（λ-45）2+45.

所以当λ=45时，PQ取最小值255.

即点P到直线CC1的距离的最小值为255.

解法6（向量法）建立空间直角坐标系同解法4，则C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），E（1，2，0）.

从而CC1=（0，0，2），D1E=（1，2，-2），EC=（-1，0，0）.

設n=（x，y，z）是异面直线CC1与D1E公垂线的方向向量，则n⊥CC1且n⊥D1E.

所以n·CC1=2z=0，n·D1E=x+2y-2z=0，

解得z=0，y=-12x.

取x=2，则y=-1.

所以n=（2，-1，0）.

所以异面直线CC1与D1E间的距离为

d=|EC·n|n

=|-1×2+0×（-1）+0×0|22+（-1）2+02

=255.

即点P到直线CC1的距离的最小值为255.

点评本题主要考查空间距离的求法，正方体的基本结构特征，以及空间线线、线面、面面平行和垂直的判定和性质等，体现了逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.解题关键是熟练掌握各种距离之间的转化方法，属于中档题.

在上述六种解法中，前三种解法是纯几何方法，其中解法1把问题转化为求异面直线间的距离，利用定义法来解;解法2把问题转化为求点到平面的距离，利用等体积法来解;解法3把问题转化为点到直线的距离，利用等面积法来解.后三种解法是向量方法，通过建立空间直角坐标系，以向量为工具把几何问题转化为代数问题，这三种方法分别应用了点到直线的距离公式、两点间的距离公式和异面直线间的距离公式.

可以看出，空间距离的求法虽然很多，如定义法、转化法、等积法和向量法等，但始终渗透着数形结合思想和转化与化归思想.解题时应根据题设条件，灵活选择解法，优化解题过程.

参考文献：

[1] 安全.空间距离问题求解方法赏析[J].高中数学教与学，2017（08）：48-49.

[2] 孙兆忠.用空间向量速解空间距离与角[J].理科考试研究，2013，20（05）：17-18.

[责任编辑：李璟]