研究一个圆锥曲线的难点

摘要：平面向量具有代数——坐标表示和几何表示的特点，这就使其成为解决圆锥曲线问题的重要载体.纵观近几年的模考和高考试题，很多问题往往以圆锥曲线为主线，融向量、函数、方程等知识于一体，考查学生的思维能力、运算求解能力及利用数形结合思想解题等综合能力.

关键词：圆锥曲线;向量;解法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0065-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：贺凤梅（1979-），女，湖北省随州人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究.[FQ）]

1 试题呈现

题目点P为双曲线x2-y2=1左支上任意一点，EF为圆C：（x-2）2+y2=4的任意一条直径，则PE·PF的最小值为（）.

A.3B.4C.5D.9

2 总体分析

此题是2021年9月的一道高三调研试题，题干简洁，解法灵活，不同的解法思维量不同，运算量不同，算得上是一道经典题目. 我发现很多学生解答此题仅停留在很基本的认知阶段，相当多的学生又因为计算不过关等原因不同程度卡壳，无法完成解答. 笔者试着将此题进行全方位剖析和解答，以期达到抛砖引玉之功效.

3 试题解答

解法1圆C的圆心为C（2，0），半径r=2.

当EF所在直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），

代入（x-2）2+y2=4，得

（x-2）2+[k（x-2）]2=4.

整理，得（x-2）2=4k2+1.

设E（x1，y1），F（x2，y2），不妨设x1<x2，

解得x1=2-2k2+1，x2=2+2k2+1.①

从而y1=-2kk2+1，y2=2kk2+1.②设点P（x0，y0），则x20-y20=1.③

而PE=（x1-x0，y1-y0），PF=（x2-x0，y2-y0），

所以PE·PF=x1x2-（x1+x2）x0+x20+y1y2-（y1+y2）y0+y20.

将①②③代入整理，得

PE·PF=2x20-4x0-1（x0≤-1）.

记f（x0）=2x20-4x0-1，

则f（x0）=2x20-4x0-1在x0∈（-

SymboleB@

，-1]上单调递减.

所以x0=-1时，f（x0）取最小值，且为5.

即PE·PF的最小值为5.

当EF斜率不存在时，方程为x=2.

则E（2，-2），E（2，2），P（x0，y0）.

所以PE·PF=（2-x0，-2-y0）·（2-x0，2-y0）=2x20-4x0-1.

同样求得PE·PF的最小值为5.

评注因为直线过已知点，可设直线的点斜式方程，联立方程组，求出交点坐标，再利用向量的数量积转化得出关于x0的二次函数，最后利用单调性求出最小值. 此解法看似思路自然，比较符合学生的认知规律，但从呈现的解题过程来看，基本上是一道解答题的运算量，从严密性的角度来看，还要考虑斜率不存在的情况. 所以作为选择题这样求解，的确得不偿失.

解法2根据直线EF过点C（2，0），可设直线方程为x=my+2，代入（x-2）2+y2=4，得

[（my+2）-2]2+y2=4.

整理，得y2=4m2+1.

解得y1=-2m2+1，y2=2m2+1.

解得x1=-2mm2+1+2，x2=2mm2+1+2.

结合解法1，整理求解同样可得

PE·PF=2x20-4x0-1（x0≤-1）.

故求得PE·PF的最小值為5.

评注此解法所设方程为直线的横截式，可以避免讨论斜率是否存在的情形，但计算量仍然不小.那么，有没有简单的求解方法，实现小题小解呢？

解法3由向量加法的三角形法则，得

PE=PC+CE，PF=PC+CF.

因为EF为圆C的直径，所以CF=-CE，且CE=CF=r=2.

所以PE·PF=（PC+CE）·（PC-CE）

=PC2-PE2

=PC2-4.

又点P在双曲线左支上，当点P为双曲线左顶点时，PC取得最小值，且最小值为5，从而得出PE·PF的最小值为5.

解法4由向量的减法，得

PE=CE-CP，PF=CF-CP.

所以PE·PF=（CE-CP）·（CF-CP）

=CE·CF-（CE+CF）·CP+CP2.

结合解法1，得

CE·CF=-CE2=-4，CE+CF=0.

所以PE·PF=CP2-4.

下同解法1.

评注解法3和解法4利用向量加法的三角形法则和向量的减法进行转化，同时结合题目已知条件和图象，注意到EF为圆C的直径，所以CF=

-CE，即CF与CE互为相反向量，且CE=CF=r=2，实现了化简，最终结合双曲线的图象性质，可求出最小值，这是数形结合思想解题的最直观的体现，可以简化运算，提高解题效率，节省解题时间.

解法5由解法1可得PE·PF=CP2-4.

设P（x，y），则x2-y2=1.

所以PE·PF=CP2-4

=（x-2）2+y2-4

=2x2-4x-1.

令g（x）=2x2-4x-1，x≤-1，

結合解法1可知，

x=-1时，g（x）min=g（-1）=5.

从而PE·PF的最小值为5.

评注此解法利用向量实现转化后，再结合二次函数求最值，方法简单可行，学生也容易掌握.

4 举一反三

题目（2018-2019学年山东省泰安第一中学高二上学期期中考试）P为椭圆x216+y215=1左支上任意一点，EF为圆N：（x-1）2+y2=4的任意一条直径，则PE·PF的取值范围为.

解法1PE·PF=（PN+NE）·（PN+NF）

=PN2-NE2

=PN2-4，

而a-c≤PN≤a+c，

所以3≤PN≤5.

所以PE·PF∈[5，21].

解法2PE·PF=（NE-NP）·（NF-NP）

=NE·NF-（NE+NF）·NP+NP2，

而NE·NF=-NE2=-4，NE+NF=0，

所以PE·PF=NP2-4.

下同解法1.

解法3由解法1可得PE·PF=NP2-4.

设P（x，y），则x216+y215=1.

所以PE·PF=NP2-4

=（x-1）2+y2-4

=116x2-2x+12.

令g（x）=116x2-2x+12，

而-4≤x≤4，

所以g（x）=116x2-2x+12

在x∈[-4，4]上单调递减.

所以x=-4时，g（x）max=g（-4）=21;

x=4时，g（x）min=g（4）=5.

从而PE·PF的取值范围为[5，21].

解法4 由解法1或解法2可得

PE·PF=NP2-4.

由x216+y215=1，

设x=4cosα，y=15sinα，

所以PE·PF=NP2-4

=（4cosα-1）2+（15sinα）2-4

=cos2α-8cosα+12.

令g（cosα）=cos2α-8cosα+12，

而-1≤cosα≤1，

所以g（cosα）=cos2α-8cosα+12在cosα∈[-1，1]上单调递减.

所以cosα=-1时，g（cosα）max=g（-1）=21;

cosα=1时，g（cosα）min=g（1）=5.

从而PE·PF的取值范围为[5，21].

5 解题反思

解圆锥曲线和平面向量交汇题的方法通常有代数法和几何法.代数法的关键是设点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用向量的坐标运算法则（加、减、数乘）、运算律及数量积的意义，最终转化为代数关系;也可以利用几何法，关键是利用加法的三角形法则、向量的减法、相反向量等，当然还要结合圆锥曲线的相关性质进行运算和转化.

高中数学教学的目的，归根结底在于培养学生的理解能力和思维能力，提高解题能力是数学教学中一项十分重要的任务，始终贯穿于高中数学教学.在解题教学中，教师应该引导学生学会解题策略和方法，不断进行分析和思考，从而深化对问题的理解，真正掌握解题的本质，探索解题的思路和规律.这样做更有利于培养学生的思维品质和数学能力.

参考文献：

[1] 李昭平.例谈圆锥曲线与平面向量交汇题[J].中学生数理化，2006（01）：12-16.

[2] 骆金威.高考数学解题的四大能力和四大层次[J].数学学习与研究，2014（19）：84.

[责任编辑：李璟]