万有引力与宇宙航行的知识概括与典型题解析

摘要：万有引力与宇宙航行的内容可以高度的概括为一条思路、二套公式、三种速度.这章知识常见的典型题型有三种：同步卫星问题;双星问题;卫星变轨问题.解题思路是卫星绕行星的运动和行星绕恒星的运动都看成是匀速圆周运动，万有引力提供向心力.

关键词：万有引力提供向心力;同步卫星问题的六个一定;双星问题的三个结论

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0119-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：张岩松（1963.6-），男，山东省泰安市岱岳区人，中学高级教师，从事高中物理教学研究.[FQ）]

1 内容概括

万有引力与宇宙航行的内容可以高度的概括为一条思路、二套公式、三种速度.

1.1 一条思路

卫星绕行星的运动和行星绕恒星的运动都看成是匀速圆周运动，万有引力提供向心力.

1.2 两套公式

天上：Gm1m2r2=m1v2r=m1ω2r=m14π2T2r=m14π2n2r=m1vω

天上一条龙.

地上：Gm1m2R2=m1g

地上一只虫.

1.3 三种速度

1.3.1 第一宇宙速度

卫星在地球的赤道面内做近地匀圆的速度.

∵GMmR2=mv12R

∴v1=7.9km/s.

也可以根据：mg=mv12R

解得：v1=7.9km/s.

第一宇宙速度是最大的环绕速度，也是最小的发射速度.1.3.2 第二宇宙速度

卫星脱离地球束缚的最小速度.大小是v2=11.2km/s.

当卫星的速度大于11.2km/s时，将会脱离地球的束缚，成为太阳的行星.第二宇宙速度被称为“

脱离速度”.注意：当卫星的速度7.9km/s

1.3.3 第三宇宙速度

卫星脱离太阳束缚的最小速度是v3=16.7km/s.

当卫星的速度大于16.7km/s时，将会脱离太阳的束缚，跑到银河系中去.第三宇宙速度被称为“逃逸速度”.2 常见题型及解析

这章知识常见的典型题型有三种：同步卫星问题;双星问题;卫星变轨问题.

2.1 同步卫星问题

同步卫星在地球的赤道面内做匀速圆周运动，万有引力提供向心力.

∵GMmr2= mv2r，

∴v=GMr①

∵GMmr2=m4π2T2r，

∴T=4π2r3GM②

由①②可以得出结论：高轨低速长周期.

关于同步卫星问题的六个一定：

（1）角速度一定.

（2）周期一定.

（3）线速度的大小一定.

（4）线速度的方向一定.

（5）向心加速度的大小一定.

（6）卫星离地的高度一定.

例1同步衛星相对地面静止，犹如悬在高空中，下列说法不正确的是（）.

A.同步卫星处于平衡状态

B.同步卫星的速率是唯一的

C.同步卫星加速度大小是唯一的

D.各国的同步卫星都在同一圆周上运行.

解由上面的结论可知：BCD都正确.故应选A.

例2已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1，向心加速度大小为a1，近地卫星线速度大小为v2，向心加速度大小为a2，地球同步卫星线速度大小为v3，向心加速度大小为a3，设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍.则以下结论正确的是（）.

A.v2v3=6B.v1v2=1

C.a1a3=17

D.a2a3=491

解答案应选CD.

结论赤道上的物体和近地卫星之间的距离虽然只有毫厘之距，但大小却有天壤之别.

2.2 双星问题与多星问题

2.2.1 双星问题

被相互引力系在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星.双星是绕公共圆心转动的一对恒星.两恒星类似于一个无形的杆连接着.

有三个结论：

（1）两恒星的半径之和等于两恒星之间的距离.

（2）周期相同.

（3）彼此之间的万有引力提供各自的向心力.

例3双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（）.

A.n3k2 TB.n3K TC.n2k TD.nk T

解答案选B.

2.2.2 多星问题

例4宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为r，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上，如图1所示.已知引力常量为G.关于四星系统，下列说法错误的是（忽略星体自转）（）.

A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B.四颗星的轨道半径均为a2

C.四颗星表面的重力加速度均为Gmr2

D.四颗星的周期均为2πa2a（4+2）Gm

解答案应选B.

小结无论是双星还是多星，解题思路是相同的.任意一颗星的向心力都是其它星对它的万有引力的合力提供的;然后利用数学知识确定轨道半径;最后根据万有引力提供向心力列方程求解即可.

2.2.3 卫星变轨问题

例5发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图2所示.当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法中正确的是（ ）.

A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率;

B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度;C.卫星在轨道1上经过Q点时的速率小于它在轨道2上经过Q点的速率;

D.衛星在轨道2上经过P点时的速率小于它在轨道3上经过P点时的速率.

解答案应选BCD.

小结

卫星不论是在椭圆轨道上运行，还是在圆形轨道上运行，只要位置相同，所受的万有引力是相同的，从而向心加速度相同.但是由于曲率半径不同，导致线速度大小不同，这是这类变轨问题分析、求解的突破口.

《万有引力与宇宙航行》这章知识说穿了就是研究了一种特殊的匀速圆周运动，为什么说它特殊呢？因为这种圆周运动在天上，而且做圆周运动的物体不是我门常见的小球、小车、滑块等.这种圆周运动看不见、摸不着，很抽象.因此，虽然还是一种匀速圆周运动，但实践证明，学生学习这一章的知识会感到很困难，很迷茫.另外，造成学生学习困难的原因还有一个，就是相似的、容易混淆的概念比较多，譬如中心天体、环绕天体;轨道半径、星体的球体半径;自转周期、公转周期等等.再者，这部分题目有的涉及的运算量很大，不容易计算出结果;有的运算量倒是不大，但是涉及的字母比较多，容易混淆.但是不管怎么变，万变不离其宗，归根结底它还是一种匀速圆周运动，而且万有引力提供向心力.然后从上面提到的“一条龙”中选取其中一个公式，而且在这五个公式中那个方便选那个，最后列方程求解即可.掌握这一点，就能够以不变应万变.

参考文献：

[1] 人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·物理[M].北京：人民教育出版社，2010.

[责任编辑：李璟]