捆绑法在高中数学排列组合中的应用

摘要：排列组合作为高中数学课程体系中的重要构成部分，由于题型较为特殊，学生解题时往往感到无从下手，存在诸多疑惑，还容易出现重复与遗漏现象，很难求出正确答案，极易影响到学生的学习兴趣与自信，面对这一现状，教师可指导他们应用捆绑法解决排列组合问题，使其学会处理这类试题.本文据此展开分析与探究，并分享一些捆绑法的具体应用实例.

关键词：捆绑法;高中数学;排列组合

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0039-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：张飞飞（1986.2-），男，安徽省濉溪人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

捆绑法指的是在处理排列组合题目时，解决某些元素相邻问题常用的一种解题方法，需把相邻元素捆绑起来看成一个整体，再与其它元素一起排列，不过要注意捆绑元素的内部排列.在高中数学教学中，教师应引导学生采用捆绑法分析与解答排列组合问题，将要求在一起的元素捆绑成一个大元素，使其从大元素着手，最终辅助他们简洁、高效地解决问题.

例1如果有A，B，C，D，E五个人排队，要求A与B两个人一定要站在相邻的位置，那么一共有多少种排队方法？

解析在本道题目中，学生通过阅读题干内容提取关键信息后，发现是要求A与B两个人一定要排在相邻的位置，这表明A与B不能随意同其他人进行排列，此时他们可以使用捆绑法，把A，B两人捆绑在一起看成一个整体，也就是把A与B先当作一个人，对B，C，D，E四个人进行排列，能够得到A44=24种排列方法.然后对A与B进行内部排列，有两种排列方法，即为A在B的前面，或者B在A的前面，所以最后的结果是24×2=48，也就是说一共有48种排队方法.

例2一共有8本不一样的教科书，其中英语书有2本，语文书有3本，另外三本是其它教科书，把这8本书排成一排放在书架上面，如果让3本语文书刚好排在一起，2本英语书也刚好排在一起，那么一共有多少种排列方法？

解析学生阅读完题干信息以后，由于题目中明确指出要把3本语文书、2本英语书均排在一起，同样要用到捆绑法，先把3本语文书看成一个整体，捆绑起来当作是1本书，再把2本英语书也捆绑在一起，看成一个整体，当作一本书来看待.这样一来同剩余的其它科目3本书放在一起，一共当作5本书进行排列，其中语文书、英语书各一本，其它书3本，那么这5本书一共有A55种排列方法，也就是120种排列方法，之后，3本语文书内部可以随机调整顺序，得到A33=6种排列方法，而2本英语书内部也可以调整排列顺序，即为A22=2种排列方法，那么最后的排列方法一共为120×6×2=1440种.

例3现在要将4个不同的小球放在3个不一样的盒子里面，要求每个盒子最少要放一个小球，那么一共有多少种放法？

解析学生先认真阅读题目内容，找出其中的已知条件与题设要求，他们结合题意可以知道，要把4个不一样的小球放入到3个不一样的盒子里面，且每个盒子都不能是空的，至少要放入1个小球，这就表明某个盒子当中一定要放入2个小球，剩下的两个盒子里面分别放入1个小球，而且小球与盒子均是各不相同的，明显是一个排列组合问题.这时学生可以应用捆绑法处理这一问题，先把2个小球捆绑在一起看成是一个整体，再将其同剩下的2个小球进行全排列，且分别放入到对应的盒子当中，根据题意分2步进行分析：①把4个小球分成3组，其中一组2个，剩余2组各1个;再把这3组小球全排列，对应3个盒子，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.具体解答方法如下：

根据题意，分2步进行：先把4个小球分成3组，其中一组2个，剩余2组各1个，分组方法有C42=6种;

再把这3组小球全部排列，对应3个盒子，有A33=6种;

最后根据分步计数原理可得所有的不同方法共有6×6=36种放法.

例4某市举办经济建设成果展览会，计划在7月上旬组织5个单位参观，但是由于1个单位的人数比较多，需要连续参观展览2天，其他4个单位则只需参观展览1天即可，如果每天最多只能安排1个单位来参观展览，那么参观的时间安排一共能有（）种.

A.630B.700C.15120D.16800

解析学生读完题目内容以后要注意发掘其中的隐含信息，即为题目中表明是在7月上旬组织参观展览，那么就要明确7月上旬一共有10天，6天安排参观，4天不安排.因此，学生可以把连续参观2天的单位捆绑在一起，看成一个整体，由于原题目中指出要在9天中选出5天参观展览，且安排5个单位.具体解答方法如下：

把那个人数较多的单位也看成只参观一天，这样要去掉的参观时间是（2-1）=1天，这时用来参观的时间是10-1=9天，现在可以计算第一个单位，是9天中的某一天进行参观，第一个单位有9种可能，第二个单位只有9-1=8种参观的可能，以此类推，第三个单位是7种，第四个单位是6种，第五个单位是5种，由于这五个单位有先后顺序，所以计算方法是A59=9×8×7×6×5=15120种，即正确答案是C选项.

例5现在有5个身高不一样的同学站成一排照相，其中身高最高的那位同学需站在5个人的中间，其余同学按照身高向两侧递减，则一共有（）种排列方法.

A.4B.6C.12D.24

解析本道题目很明显是在考查排列组合问题，学生通過认真审题，根据题干中给出的已知信息来分析题意，因为身高最高的同学只有一种站法，就是站在5个人的正中间位置，可以将其捆绑在固定位置.在一边站好两位同学以后，另外一边必定也是一高一矮的两位同学，也就是说两边的高矮顺序也只能存在1种排列方式，由于高矮已经定好，剩余的4位同学里面先挑出2位排左边，则另外2位就排在右边.所以说选定一边两人的种类数也就是总的排列方式，故不同的排法种数有C24=6种，由此得出正确答案是选项B.936B45BE-0483-448F-ADEB-57F9034D0057

例6某班级举办制作彩带的活动，其中有一位同学说选择8种不一样的颜色当作自己制作彩带的材料，在这样的颜色排列过程中，需要先把红色、蓝色与黄色三种颜色的彩带放到一起，剩余的其它颜色则可以随机摆放，那么一共有多少种颜色的排列方式？

解析学生通过阅读题干信息，发现制作彩带时，要把红色、蓝色与黄色三种颜色的彩带相邻排列，这就可以用到捆绑法，先将这三种颜色的彩带捆绑到一起，看成一个整体的大元素，再同剩余的其它5种颜色进行正常的排列，这样能够得到A66种排列方式，计算以后是720种.然后根据题意能够知道只是要求红色、蓝色与黄色三种颜色的彩带排列在一起即可，并没有明确要求三者的具体顺序，所以这三种颜色的彩带在内部有A33种排列方式，即为6种，那么总的排列方式是720×6=4320种.

例7现在要求7个人排成一队，其中甲与乙一定相邻，丙与丁也一定相邻，那么一共有多少种排队方法？

解析学生读完题目内容以后，能够轻松判断这是一道典型的捆绑类试题，因为题目中明确要求甲与乙、丙与丁要站在一起，所以他们可以使用捆绑法，把甲与乙捆绑在一起看成一个整体，丙与丁作同样处理，这样就把本道题目简化成5个人的排队问题.具体解题方法如下：

先利用捆绑法，将甲与乙、丙与丁均当作一个整体，同剩余的三个人进行排队，即为一共是5个元素在随机排队，可列出式子A55，计算以后得到120种情况，而捆绑元素的内部也能够进行自由排列，甲与乙有两种不同的排列方式，也就是A22=2种情况，丙和丁的情况一样，也有2种排列方式，所以最后总的排队方法是120×2×2=480种.

总的来说，在高中数学排列组合解题教学中，捆绑法有着相当广泛的运用，教师需利用好平常的解题训练契机，为学生提供更多应用捆绑法解决排列组合问题的机会，使其通过加强专题训练熟练掌握捆绑法的技巧与规律，学会把能看作一个整体的元素捆绑成一个大元素，再进行排列组合，由此逐步提升他们的数学解题水平，为将来的高考做好充足准备.

参考文献：

[1] 吴桐.谈排列组合问题的若干解题策略——敲开排列组合的大门[J].中学课程辅导（教师教育），2020（22）：54+56.

[2] 刘莉，王雷.灵活运用不同方法，巧妙解答排列组合问题[J].语数外学习（高中版上旬），2020（08）：45.

[3] 刘宗亮.高中数学“排列组合”应用问题及其优化措施[J].理科爱好者（教育教学），2020（03）：82+84.

[4] 王子慧.高中數学排列组合解题方法与技巧研究[J].数学大世界（上旬），2018（08）：82.

[责任编辑：李璟]936B45BE-0483-448F-ADEB-57F9034D0057