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例谈多元最值问题的九种策略

2022-04-25白亚军

数理化解题研究·高中版 2022年3期
关键词:多元不等式最值

摘要:求解多元最值问题技巧性强、难度大、方法多,灵活多变,多元最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法,本文结合学生存在的问题给出了解决多元最值问题的九种策略.

关键词:多元;最值;不等式

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)07-0010-03

收稿日期:2021-12-05

作者简介:白亚军(1978-),男,甘肃省永昌人,中学一级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]

多元最值问题,指的是含有两个或两个以上变元的式子的最值求法问题,因为含有多个变元,所以学生害怕学习这一类问题,而这一类问题可以考查学生的综合能力,所以学生在平时的学习中,不要一味追求某一种解法,要学会从不同解法中汲取不同的思想方法,提高自身的数学核心素养.

1 利用不等式的性质

例1设xi≥0(i=1,2,3,4,5),∑5i=1xi=1,M=

maxx1+x2,x2+x3,x3+x4,x4+x5,求M的最小值.

解析由M≥x1+x2,M≥x3+x4,M≥x4+x5,得3M≥x1+x2+x3+2x4+x5=1+x4≥1,解得M≥13.

当x4=0,x3=x5=13,x1+x2=13时, M取得最小值13.

点评不等式的基本性质在高中数学中的应用是非常广泛的,一定要牢记不等式的基本性质.

2 利用绝对值不等式

例2求函数f(x)=x2-a在区间-1,1上的最大值M(a)的最小值.解析注意到f(-1)=f(1),且

2M(a)≥f(0)+f(1)=a+1-a≥a+1-a=1,

所以M(a)≥12,当且仅当a=1-a,即a=12时,M(a)取得最小值12.

点评本题主要根据绝对值不等式a+b≥a±b求最值,根据不同情况选取.

3 利用均值不等式

例3设maxf(x),g(x)=g(x),f(x)≤g(x),f(x),f(x)>g(x),若函数n(x)=x2+px+q(p,q∈R)的图象经过不同的两点(α,0),(β,0),且存在整数n使得n<α<β

A.maxn(n),n(n+1)>1

B.maxn(n),n(n+1)<1

C.maxn(n),n(n+1)>12

D.maxn(n),n(n+1)<12

解析因为n(x)=x2+px+q的图象经过两点(α,0),(β,0),故n(x)=x2+px+q=(x-α)(x-β).

所以n(n)=(n-α)(n-β)=(α-n)(β-n),n(n+1)=(n+1-α)(n+1-β).

令α-n=t1,β-n=t2,由于n<α<β

点评通过已知条件转化构造和为定值,再利用基本不等式使问题自然获解.

4 利用柯西不等式

例4若a,b,c>0且a+b+c=33,求

minmaxa2a+2b+3c,b2b+2c+3a,c2c+2a+3b.

解析设

t=maxa2a+2b+3c,b2b+2c+3a,c2c+2a+3b,则

t≥a2a+2b+3c,t≥b2b+2c+3a,t≥c2c+2a+3b.

由柯西不等式,得3t≥a2a+2b+3c+b2b+2c+3a+c2c+2a+3b≥(a+b+c)26(a+b+c)=a+b+c6=32,解得t≥36,当且仅当a=b=c=3取等号.

minmaxa2a+2b+3c,b2b+2c+3a,c2c+2a+3b=36.

点评柯西不等式往往不能直接使用,需要對数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用.

5 分类讨论

例5若a,b>0,求minmaxa,b,1a+4b的值.

解法1设t=maxa,b,1a+4b,

t≥a,t≥b,t≥1a+4b.

①当a≥b时,t≥1a+4b≥1a+4a=5a,2t≥a+5a≥25,当且仅当a=b=5时取等号;

②当b≥a时,t≥1a+4b≥1b+4b=5b,2t≥b+5b≥25,当且仅当a=b=5时取等号.

综上,当t≥5,当且仅当a=b=5时取等号,即minmaxa,b,1a+4b=5.

点评对于多元函数最值问题,有时需将题目条件中包含的全体对象分成若干类,再分类讨论.

6 待定系数法

例5解法2设t=maxa,b,1a+4b,t≥a,t≥b,则λt≥λa,μt≥μa,且t≥1a+4b.故21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E

(λt+μt)t≥(λa+μb)(1a+4b)=λ+4μ+4λab+μba≥λ+4μ+

24λμ,

所以t2≥λ+4μ+24λμλ+μ,当且仅当a=b=t且4λab=μba时取等号.即a=b=5,μ=4λ时, t≥5.即minmaxa,b,1a+4b=5.

点评当运用不等式性质较难达到目标时,有时可引入参数作为待定系数,再根据题意解决问题.

7 构造函数

例6设a,b,c∈R,f(x)=x3+ax2+bx+c(-1≤x≤1),求minmaxf(x).

解析因为f(x)为三次函数且x∈-1,1,联想到三倍角公式cos3θ=4cos3θ-3cosθ,所以构造特殊函数f(x)=x3-34x,x∈-1,1.

设x=cosθ,θ∈-π,π,则

f(x)=14(4cos3θ-3cosθ)=14cos3θ.

从而maxf(x)=14,当且仅当3θ=0,±π,±2π,±3π,即x=±1或x=±12时取等号.

故猜测minmaxf(x)=14.

设t=maxf(x),注意到|f(1)-f(-1)-2f(12)+2f(-12)|=32,故

6t≥f(1)+f(-1)+2f(12)+2f(-12)

≥f(1)-f(-1)-2f(12)+2f(-12)=32.

所以t≥14,考虑到f(x)=x3-34x,x∈-1,1时,故minmaxf(x)=14.

点评根据题设或所具有的特征构造出满足条件或结论的函数,借助于函数性质解决问题.

8 利用韦达定理

例7若a,b,c>0且a+b+c=12,ab+bc+ca=45,求minmaxa,b,c.

解析注意到a,b,c的对称性,故可设a=

maxa,b,c.又b+c=12-a,bc=45-a(12-a),

所以方程x2+(a-12)x+45-a(12-a)=0有两个不大于a的实根.故f(a)≥0,12-a2≤05≤a≤6,Δ≥0.当a=b=5,c=2时,minmaxa,b,c=5.

点评一定条件下求某些代数式的最大值、最小值,如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来,将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.

9 数形结合

例8设f(x)=min2x,16-x,x2-8x+16(x≥0),其中mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,则f(x)的最大值为().

A.6B.7C.8D.9图1

解析画出y=2x,y=16-x,y=x2-8x+16的图象,观察图1可知,

当x≤2时,f(x)=2x;当27时,f(x)=16-x,

f(x)的最大值在x=7取得為9,故选D.

点评数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻画与图形巧妙地结合.

通过以上多元最值问题的剖析,最基本的处理策略就是减元,研究一元函数的思想方法是研究多元函数的基础,在任何情况下,学生都要扎实抓好基础知识、基本技能、基本思想方法的落实,在教学中做到“点点”落实,否则“欲速则不达”.

参考文献:

[1] 王小国,李敏.浅谈多元最值问题中元的处理技术[J].中学生理科应试,2021(Z1):20-22.

[责任编辑:李璟]21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E

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