例谈多元最值问题的九种策略

摘要：求解多元最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法，本文结合学生存在的问题给出了解决多元最值问题的九种策略.

关键词：多元;最值;不等式

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0010-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：白亚军（1978-），男，甘肃省永昌人，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

多元最值问题，指的是含有两个或两个以上变元的式子的最值求法问题，因为含有多个变元，所以学生害怕学习这一类问题，而这一类问题可以考查学生的综合能力，所以学生在平时的学习中，不要一味追求某一种解法，要学会从不同解法中汲取不同的思想方法，提高自身的数学核心素养.

1 利用不等式的性质

例1设xi≥0（i=1，2，3，4，5），∑5i=1xi=1，M=

maxx1+x2，x2+x3，x3+x4，x4+x5，求M的最小值.

解析由M≥x1+x2，M≥x3+x4，M≥x4+x5，得3M≥x1+x2+x3+2x4+x5=1+x4≥1，解得M≥13.

当x4=0，x3=x5=13，x1+x2=13时， M取得最小值13.

点评不等式的基本性质在高中数学中的应用是非常广泛的，一定要牢记不等式的基本性质.

2 利用绝对值不等式

例2求函数f（x）=x2-a在区间-1，1上的最大值M（a）的最小值.解析注意到f（-1）=f（1），且

2M（a）≥f（0）+f（1）=a+1-a≥a+1-a=1，

所以M（a）≥12，当且仅当a=1-a，即a=12时，M（a）取得最小值12.

点评本题主要根据绝对值不等式a+b≥a±b求最值，根据不同情况选取.

3 利用均值不等式

例3设maxf（x），g（x）=g（x），f（x）≤g（x），f（x），f（x）>g（x），若函数n（x）=x2+px+q（p，q∈R）的图象经过不同的两点（α，0），（β，0），且存在整数n使得n<α<β

A.maxn（n），n（n+1）>1

B.maxn（n），n（n+1）<1

C.maxn（n），n（n+1）>12

D.maxn（n），n（n+1）<12

解析因为n（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），故n（x）=x2+px+q=（x-α）（x-β）.

所以n（n）=（n-α）（n-β）=（α-n）（β-n），n（n+1）=（n+1-α）（n+1-β）.

令α-n=t1，β-n=t2，由于n<α<β

点评通过已知条件转化构造和为定值，再利用基本不等式使问题自然获解.

4 利用柯西不等式

例4若a，b，c>0且a+b+c=33，求

minmaxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b.

解析设

t=maxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b，则

t≥a2a+2b+3c，t≥b2b+2c+3a，t≥c2c+2a+3b.

由柯西不等式，得3t≥a2a+2b+3c+b2b+2c+3a+c2c+2a+3b≥（a+b+c）26（a+b+c）=a+b+c6=32，解得t≥36，当且仅当a=b=c=3取等号.

即

minmaxa2a+2b+3c，b2b+2c+3a，c2c+2a+3b=36.

点评柯西不等式往往不能直接使用，需要對数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用.

5 分类讨论

例5若a，b>0，求minmaxa，b，1a+4b的值.

解法1设t=maxa，b，1a+4b，

则

t≥a，t≥b，t≥1a+4b.

①当a≥b时，t≥1a+4b≥1a+4a=5a，2t≥a+5a≥25，当且仅当a=b=5时取等号;

②当b≥a时，t≥1a+4b≥1b+4b=5b，2t≥b+5b≥25，当且仅当a=b=5时取等号.

综上，当t≥5，当且仅当a=b=5时取等号，即minmaxa，b，1a+4b=5.

点评对于多元函数最值问题，有时需将题目条件中包含的全体对象分成若干类，再分类讨论.

6 待定系数法

例5解法2设t=maxa，b，1a+4b，t≥a，t≥b，则λt≥λa，μt≥μa，且t≥1a+4b.故21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E

（λt+μt）t≥（λa+μb）（1a+4b）=λ+4μ+4λab+μba≥λ+4μ+

24λμ，

所以t2≥λ+4μ+24λμλ+μ，当且仅当a=b=t且4λab=μba时取等号.即a=b=5，μ=4λ时， t≥5.即minmaxa，b，1a+4b=5.

点评当运用不等式性质较难达到目标时，有时可引入参数作为待定系数，再根据题意解决问题.

7 构造函数

例6设a，b，c∈R，f（x）=x3+ax2+bx+c（-1≤x≤1），求minmaxf（x）.

解析因为f（x）为三次函数且x∈-1，1，联想到三倍角公式cos3θ=4cos3θ-3cosθ，所以构造特殊函数f（x）=x3-34x，x∈-1，1.

设x=cosθ，θ∈-π，π，则

f（x）=14（4cos3θ-3cosθ）=14cos3θ.

从而maxf（x）=14，当且仅当3θ=0，±π，±2π，±3π，即x=±1或x=±12时取等号.

故猜测minmaxf（x）=14.

设t=maxf（x），注意到|f（1）-f（-1）-2f（12）+2f（-12）|=32，故

6t≥f（1）+f（-1）+2f（12）+2f（-12）

≥f（1）-f（-1）-2f（12）+2f（-12）=32.

所以t≥14，考虑到f（x）=x3-34x，x∈-1，1时，故minmaxf（x）=14.

点评根据题设或所具有的特征构造出满足条件或结论的函数，借助于函数性质解决问题.

8 利用韦达定理

例7若a，b，c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求minmaxa，b，c.

解析注意到a，b，c的对称性，故可设a=

maxa，b，c.又b+c=12-a，bc=45-a（12-a），

所以方程x2+（a-12）x+45-a（12-a）=0有两个不大于a的实根.故f（a）≥0，12-a2≤05≤a≤6，Δ≥0.当a=b=5，c=2时，minmaxa，b，c=5.

点评一定条件下求某些代数式的最大值、最小值，如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来，将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.

9 数形结合

例8设f（x）=min2x，16-x，x2-8x+16（x≥0），其中mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，则f（x）的最大值为（）.

A.6B.7C.8D.9图1

解析画出y=2x，y=16-x，y=x2-8x+16的图象，观察图1可知，

当x≤2时，f（x）=2x;当27时，f（x）=16-x，

f（x）的最大值在x=7取得為9，故选D.

点评数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与图形巧妙地结合.

通过以上多元最值问题的剖析，最基本的处理策略就是减元，研究一元函数的思想方法是研究多元函数的基础，在任何情况下，学生都要扎实抓好基础知识、基本技能、基本思想方法的落实，在教学中做到“点点”落实，否则“欲速则不达”.

参考文献：

[1] 王小国，李敏.浅谈多元最值问题中元的处理技术[J].中学生理科应试，2021（Z1）：20-22.

[责任编辑：李璟]21B61FEF-5BE1-417A-BA74-8BCF5C05736E