结构化：让学生的数学学习走向深度

王洪涛

[摘  要] 小学生的数学学习，不应看成是知识“点”的堆砌、排列，而应当看成是一个层次化、结构化、逻辑化、整体化的学习过程。在小学数学教学中，教师应当立足于“高观点”视角，对数学知识进行梳理和整合;应当促进学生数学学习的正向迁移，引导学生认知心理的同化与顺应;应当引领学生对认知结构进行重构，促进学生认知结构的勾连与突破。结构化学习，能让学生的数学思维认知从低阶走向高阶，让学生的数学学习走向深度。

[关键词] 结构化学习;深度学习;小学数学

美国著名数学教育家斯蒂恩说得好，“数学应被看成是一种结构性科学”。所谓“结构”，是指“一个系统、一个整体、一个集合”（皮亚杰定义，转引自《结构主义》）。小学生的数学学习，同样不应看成是知识“点”的堆砌、排列，而应当看成是一个层次化、结构化、逻辑化、整体化的学习过程。在小学数学教学中，教师应当站在“高观点”视角，去看待数学学科知识。在此基础上，对数学知识进行梳理和整合，引导学生认知心理的同化與顺应，帮助学生进行数学知识勾连，从而寻求对学生数学认知的突破。结构化学习，能让学生的数学思维认知从低阶走向高阶，让学生的数学学习走向深度。在这个过程中，自然能提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

[⇩] 一、立足“高观点”：数学知识的“梳理与整合”

“高观点”是现代著名数学教育家克莱因的观点。在克莱因看来，理解初等数学问题，一定要观点高，因为只有观点高了，知识才能显得明了而简单。克莱因认为，一个称职的数学教师应当掌握数学基本概念、思想和方法，了解数学基本知识的演化过程。同时克莱因认为，许多初等数学知识只有在非初等的理论结构中，才能获得更为深刻的理解。立足高观点，就是要求学生形成“数学的眼光”和“数学的大脑”，以便学生从数学的视角来看待诸多事物。

立足“高观点”，教师要对数学知识进行“梳理和整合”。梳理和整合需要从两个方面入手：其一是溯源，也就是从数学知识的发生、发展视角来研究数学，这是一种纵向梳理，纵向梳理有助于学生掌握数学知识的本质，感悟数学知识的思想、方法，领悟数学知识蕴含的文化与精神;其二是求联，也就是从数学知识之间的关系视角来研究数学，这是一种横向整合，横向整合有助于学生把握数学知识的关联，建构数学知识结构，完善自身的认知结构。比如“小数除法”，从整体上说，是建立在“整数除法”基础之上的。深入分析小数除法我们就会发现，“小数除法”这部分内容主要包括“除数是整数的小数除法”“除数是整数，需要补0的小数除法”以及“除数是小数的小数除法”“小数四则混合运算”。其中，“转化”是贯穿始终的数学思想。立足“高观点”，我们在教学中对相关数学知识进行梳理和整合，形成了这样两个教学板块：其一是“除数是整数的小数除法（包含需要补0 的情况）”，其二是“除数是小数的小数除法”。通过整合，将一个个孤立的、碎片化的数学知识集结起来，进而连点成线、连线成面、勾面成体。

立足“高观点”，对数学知识进行梳理和整合，能让学生形成数学核心观念与认知。结构化地研究数学课程，能对学生的数学学习发挥一种“四两拨千斤”的功效。立足“高观点”，能引导学生进行一种整体性、结构性、系统性学习，使学生对数学知识能形成整体性把握，进而助推学生建立一种完善的认知结构。

[⇩] 二、促进“正迁移”：认知心理的“同化与顺应”

学生学习数学知识过程可以分为两个阶段：其一是“教结构”“学结构”阶段，其二是“用结构”阶段。“学结构—用结构”是结构化教学的核心策略。在这个过程中，教师要有效地引导学生，促进学生数学学习“正迁移”，对相关内容发生积极的心理同化与顺应。“同化与顺应”是学生学习数学知识重要的心理机制。通过“同化与顺应”，学生的认知心理从“不平衡”走向“平衡”，又从“平衡”走向新的“不平衡”。学生的数学认知心理就是在这样的“平衡—不平衡”过程中螺旋上升式发展。

促进学生数学学习的“正迁移”，还要坚持“结构性”与“灵活性”并重、“生成性”与“延伸性”并存的策略。比如“运算律”教学结构就是“猜想—验证”，教师对这部分内容实施结构化教学时，可以“交换律”作为种子课，引导学生从具体问题中提出相应的猜想。比如“28个男生跳绳，17个女生跳绳，一共有多少个学生跳绳？”这样的问题，学生可能这样列式“28+17”，也可能这样列式“17+28”，进而提出交换律猜想。对于“a+b=b+a”这样的形式猜想，有学生理所当然地认为正确。面对学生这样的想法，教师不应呵斥学生，而应当引导学生举例验证，从而让学生树立科学的态度、实证的态度、实事求是的态度。由此，有学生举出不同的整数加法交换律的例子，有学生举出一位小数加法交换律的例子，还有学生举出同分母分数相加减的交换律的例子，等等。在此基础上，学生还将猜想的触角延伸：减法有没有交换律？乘法、除法呢？学生认知心理一次次失衡，又通过“猜想—验证”一次次走向平衡。在此基础上，引导学生积极主动地迁移，从而让学生自主建构“结合律”“分配律”等相关内容。通过“学结构—用结构”，进一步巩固了学生对“猜想—验证”等数学学习方法的认知。显然，结构化教学视野下的“教”是为了后续的“少教”，甚至“不教”。在结构化教学中，教师应坚持“学生已会的内容坚决不教”“学生能够自主学会的要少教”“学生难以学会的要精教”。具体而言，在“运算律”教学中，教师要着力引导学生学习“交换律”，重点引导学生掌握“猜想—验证”的学习方法，这是一种科学、有效的学习方法，对于学生数学学习的可持续性发展具有重要作用。

[⇩] 三、引领“重建构”：认知结构的“勾连与突破”

美国著名结构主义教育心理学家布鲁纳深刻地指出，“学习任何学科知识，归根结底就是掌握该学科的基本知识结构”。实施结构化教学，不仅要注重对数学知识的“梳理与整合”，注重促进学生认知心理的“同化与顺应”，还要对学生的认知结构进行“重建构（重构）”，从而让学生的认知结构得以勾连和突破。作为教师，要从数学教学内容和学生的具体学情出发，通过沟通、关联，突破学生的原有认知结构。在这个过程中，教师既要瞻前顾后，又要左顾右盼;既要谋划全局，又要抓实重点。结构化教学，能让学生的数学学习事半功倍。

小学数学学科内容包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”这几个板块，这些板块内容之间联系是非常紧密的。因此，在小学数学教学中，教师一方面要对数学知识进行“溯源”，帮助学生厘清数学知识的来龙去脉、前世今生，这是一种纵向维度的结构化方法;另一方面，要从数学知识的“关系视角”来研究数学，帮助学生理清数学知识间千丝万缕的联系，这是一种横向维度的结构化方法。通过纵横交错的勾连，引领学生对数学知识重组、重构、重塑，从而帮助学生实现对自我认知结构的勾连与突破。以“数与代数”版块中的“量与计量”知识教学为例，在小学阶段，“量与度量”贯穿于低中高年级各个学段，其中主要内容有长度、面积、体积、角度、时间、质量等。如果我们采用“就知识点论知识点”的方式进行教学，学生的数学学习就会“见木不见林”。而如果对这部分知识进行梳理、重构，我们就会发现，贯穿“量与计量”教学始终的有三个内容：其一是“度量要有统一的度量单位”;其二是“度量的本质是看度量对象中包含有多少个度量单位”;其三是“认识到度量单位本身也可能是度量对象”。为让学生更好地掌握以上三个内容，教师在实践中可以实施结构化教学。在教学每一个度量单位时，教师要让学生充分经历“度量”的过程。具体而言，就是要让学生创造“度量单位”，创造“度量工具”。经历这样的两个创造过程，学生就能深刻认识到度量的本质，即“度量就是看度量对象中包含有多少个度量单位”，一言以蔽之就是两个字——“包含”。通过这样的结构化教学，就能帮助学生建构、巩固、夯实认知结构。

结构化教学，要求教师在教学中树立“结构化教学观”。实践中，教师要纵横拓展，对数学知识进行网状勾连，从而促进学生结构化思维、认知的形成;要立足课堂，注重数学知识形成过程，充分调动学生的已有知识经验，不断完善学生的认知结构。结构化教学，不仅要求教师从数学学科学理层面来把握，而且要立足于学生的具体学情，从学生的具体学情层面探明学生的认知结构。结构化教学，提升了学生的数学学习效率，让他们的数学学习更深入、更全面、更清晰、更合理。