以项目式学习促进学生数学核心素养发展

王连国 傅海伦

[摘  要] 當前基础教育改革已经从“以学科为中心”转向“以学生为中心”，从“知识技能获得”转向“核心素养发展”，从“信息工具使用”转向“学习方式变革”，而数学项目式学习对三个转向的实现有无与伦比的独特作用，是促进学生创新能力发展，促进核心素养落地的重要途径.

[关键词] 项目式学习;数学核心素养;无盖长方体

提出研究问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程目标中明确提出，通过义务教育阶段的学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，能有发现、提出问题的能力及分析、解决问题的能力. 数学课程应符合学生的认知规律和心理特征，引导学生经历构建模型、寻求结果、解决问题的过程. 如何能更好地实现新时代的育人目标，促进核心素养的落地呢？基于以上思考，笔者尝试进行了数学项目式学习的探索.

为了让项目式学习的内容更贴近学生的生活，同时也为了充分利用教材内容做延伸和拓展，笔者在初一学生学完“展开与折叠”内容之后，向他们提出贴近生活的一个问题：如何利用一张正方形纸片，制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒（不允许拼补）？通过该项目研究，我们发现一张纸片中蕴藏了哪些数学秘密？

项目目标与方案设计

对各小组（每组6人，共6个小组）预案进行展示和讨论，逐步筛选辨析，在此基础上，对各小组的方案进行优化整合，形成项目式学习的研究方案（如表1）.

笔者将项目下放给全体学生，让学生在真实的情境中体验方案策划、数据分析、实践论证、反思改进，再将学生生成的不同信息和资源收集起来作为项目式学习的互动性资源. 从对学生解决方案的调整中，笔者欣喜地发现学生学会了如何在团队协作中切实提高分析问题和解决问题的能力.

项目方案的实施与评价

第一阶段：制作无盖长方体纸盒汇报

小组A展示：在正方形的四个角分别画一个相等的小正方形，然后沿着裁剪线把小正方形剪掉，从而折成一个无盖长方体纸盒（如图1）.

笔者发现在纸盒制作中，有些学生的小正方形裁剪得很不标准，导致组装的纸盒很不协调，这些学生非常急切地向裁剪得精致美观的学生请教. 本阶段，学生的学习是主动而快乐的，通过动手操作，进一步激发了学生学习数学的兴趣.

第二阶段：求纸盒容积的代数表达式，建立数学模型

如果大正方形的边长为a，剪掉的小正方形的边长为h，你能用a和h来表示这个无盖长方体纸盒的容积V吗？

（1）折成的无盖长方体纸盒的高是______;

（2）折成的无盖长方体纸盒的底面积是_______;

（3）折成的无盖长方体纸盒的容积V= _______.

本阶段，学生对项目任务非常感兴趣，他们借助图形的展开和折叠（如图2），一起经历确定目标、设计图纸、测量数据、制作模型、交流展示的过程，培养了动手操作能力. 学生在积极主动、活泼的氛围下用字母表示数将实际问题转化为数学问题，用代数式的值去推断“容积变化与剪掉的小正方形的边长变化之间的联系”，发展空间观念，感受函数思想以及数学符号在实际问题中的应用，体验数学活动充满着探索与创造.

本阶段让学生体会将实际问题转化为数学问题的过程，在动手实践过程中体会建模的方法，培养了学生的直观想象素养和数学建模素养，为下一步分割逼近寻找最大值做好准备.

第三阶段：合作探究，分割逼近

各小组展示完成果后，笔者追问：为什么你们剪裁粘贴后的长方体形状是不一样的呢？造成区别的源头在哪里？如何判断容积最大？最大值是多少？因为初一学生还没形成科学的研究方法，所以笔者引导他们从一般到特殊再到一般地进行探究. 小组讨论确定先通过代入具体数值计算纸盒容积，把原有方案进一步细化与完善.

小组B展示：（如表2）.

当a=20时，随着h的变化，容积V如何变化？怎样才能直观形象地表达这种关系？

师：当剪去的小正方形的边长等于3时，得到的无盖长方体纸盒的容积是最大的吗？

生：通过折线统计图（如图3）发现，当小正方形的边长为3 cm时，长方体纸盒的容积并不一定是最大的，而应该是当小正方形的边长在3与4 cm之间时，长方体纸盒的容积最大.

师：那么当小正方形的边长在3与4 cm之间取何值时，长方体纸盒的容积最大呢？我们可以在3与4 cm之间，按0.1 cm的间隔取值，然后代入计算.

小组合作，明确分工，完成统计表和统计图的制作.

小组C展示：（借助Excel完成探究过程）

师：通过这些数据的变化，你发现了什么？当小正方形的边长取什么值时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大？最大值是多少？

生：结合统计图表（如表3和表4）可以看出，当剪去的小正方形的边长等于3.3 cm时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大，此时纸盒的容积是592.548 cm3.

本阶段让学生经历实验、想象、猜测的过程，感悟正确的探究方向. 通过小组合作，归纳出结论，体会分割逼近的思想，体会探究学习的方法，培养了学生数学运算素养和数据分析素养.

第四阶段：问题升级，探求本质

师：当剪去的小正方形的边长等于3.3 cm时，所得到的无盖长方体纸盒的容积是592.548 cm3. 这时得到的容积是最大的吗？

我们继续可以在3.3与3.4 cm之间，按0.01 cm的间隔取值，然后代入计算.

（借助Excel完成探究过程，运用分割逼近的思想方法. ）

生：结合统计图表（如表4）可以看出，当剪去的小正方形的边长等于3.33 cm时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大.

师：在方案一中，当小正方形边长在3与4 cm之间容积达到最大;在方案二中，当小正方形边长在3.3与3.4 cm之间容积达到最大. 以此类推，在3.3与3.4 cm之间分别以0.01 cm，0.001 cm，…为间隔计算无盖长方体纸盒的容积，即可得到小正方形边长为3.333333333…时，无盖长方体纸盒的容积最大.

师：事实上，运用分割逼近的数学方法，在h=3的周围不断地缩小间距取值，可以发现纸盒中蕴含着这样一个秘密：当h=a时，纸盒的容积最大，最大值为V=a3，此时V=592.

另外，如果我们改变a的值，重复上面的探索过程，那么经过比较、归纳、猜想也可以发现该结论.

有了上一个问题的基础，对这个问题的解决学生驾轻就熟，运用图像法、分割逼近思想找到了h的精确值. 但是学生不容易发现变量h与常量a的一般规律，因此笔者将原来的问题调整为：设正方形的边长为a，当h与a之间满足什么关系时，折得的无盖长方体纸盒的容积有最大值呢？

通过前面两个阶段的活动，引导学生讨论、反思，从而引发学生继续对问题进行研究. 在这一过程中，学生运用学过的统计知识对数字信息进行处理，从特殊到一般，抽象思维与形象思维不断转换，从而发现本质，培养了数据分析素养与数学抽象素养.

感悟与思考

1. 开展项目式学习，关注学习过程，培养学生的创新能力. 因为制作无盖长方体纸盒项目设计的问题具有开放性，让学生在真实的情境中体验方案策划、数据分析、实践论证、反思改进等，较好地激发了学生的好奇心和创造力. 在项目式学习中，学生不再是对书本知识进行机械认知，而是在丰富的、充分的实践中获取知识，用学到的知识解决实际问题，同时不断建构知识体系，不断延伸、拓宽、创新思维，提升能力.

2. 项目式学习促进学生用数学的语言表达世界，提升数学核心素养. 在项目式学习中，学生既可以通过数学语言来描述问题情境，将其抽象成数学问题;又可以利用数学语言解释结果的合理性. 比如，在该项目方案的实施过程中，学生不仅要独立思考问题，还要向同伴清晰有条理地表述自己的思考过程与结果. 这就要求学生用动作、口语或书面（图像、符号、文字等）的形式描述展示知识技能、思维过程、思想方法，很好地发展了学生的数学语言表达能力.

3. 项目式学习促进学生用数学的眼光观察世界，提升数学核心素养. 要探究何时无盖长方体纸盒容积最大，需要学生综合运用图形的展开与折叠、字母表示数、画统计图等知识解决问题，让学生体验数学知识之间的内在联系，初步体验部分数学知识的融合运用，学会用数学的眼光去观察世界，将生活问题数学化. 学生通过借助已有的代数式、收集有关数据去推断无盖长方体纸盒容积变化的规律，到建立函数模型揭示纸盒的秘密项目活动， 进一步强化了学生的符号意识、运算能力、推理能力、数据统计观念、模型思想等数学素养.

4. 项目式学习促进学生用数学的思维思考世界，提升数学核心素养. 该项目从学生熟悉的折纸活动开始，进而通过动手操作、交流讨论和抽象概括，形成数学问题. 在发现一般规律过程中，不是所有的学生都能考虑到用折线图来统计数据以及分割逼近的思想研究变量之间的关系，有的学生根据直观感受得出结论，也有的学生根据具体数值猜测，不能否认学生方法的多样性，这时笔者追问学生：你的猜测准确吗？这时的容积真的最大了吗？还有可能再大一点吗？你有更合理的方式来表达自己的观点吗？鼓励学生小组之间进行交流，让学生的思维碰撞出火花，促进学生用数学的思维去解决生活中的数学问题.

总之，本项目式学习让学生获得一种科学探究问题的思想方法，即我们的研究目的不是找一个确切的最大值，而是找一个能解决问题的方法. 在后面的学习中我们会遇到，这一种“逼近”的方法，早在三国时期就有了，称为“二分法”. 在这样的情境下，学生的问题得到了实实在在的解决，而解决过程中的数学思想方法也达到了润物细无声的效果，发展学生的数学核心素养得以落实.

拓展与延伸

在学生探究完利用一张正方形纸片，制作一个尽可能大的无盖长方体纸盒后，可以向学生提出这样几个问题：（1）如果允许拼接，你还能用同样的正方形纸片制作容积更大的无盖长方体纸盒吗？（2）用长是80 cm、宽是50 cm的長方形的纸做一个无盖长方体纸盒，做出的纸盒的最大容积是多少？（3）如果把正方形纸片改为长方形纸片，结论又如何呢？以小组为单位，撰写一份课题研究报告.

经过项目式学习的探索和实施，学生在逐步形成解决方案的过程中，提高了他们的动手操作能力以及思考问题的能力. 在尝试“项目任务”的活动中又会产生新的问题，如此螺旋式的上升过程极大地调动了学生的积极性和求知欲，激活他们的思维，同时也培养他们在活动中团结协作的精神，以此充分还原学生的主体思维和主体能动性.

项目学习是数学核心素养落地的有效途径，可以作为传统课堂教学的有益补充. 在教学实践中，可以精选项目主题，每学期做一至两个项目，有效地将两种教学方式进行融合，发挥各自所长，共同提升学生的数学素养和综合素养，落实立德树人的根本任务.