精心设计例题探究，提升初三复习效果

费华

[摘  要] 例题复习是巩固数学知识，提升初三复习效果的重要形式. 教师要精心设计例题，追本溯源，引领学生发现学习方法，拓展思维方式，跳脱“题海”模式，进而提高学习效率，提升学习能力.

[关键词] 例题;复习;探究

初三数学复习课的主要形式之一就是例题教学，因此例题教学的成功与否很大程度上决定了数学复习课的效果. 但是目前仍然有较多的例题复习课是就题讲题的形式，课堂效率低，复习效果不明显，大大降低了学生的学习兴趣. 存在复习课之后学生仍然表现出难题不会做，简单题解法单一烦琐，综合题害怕做的情况. 因此，例题教学应该对学生起到示范和引领作用，使学生通过复习能掌握解题方法，拓展思维，学会触类旁通，脱离“题海”战术. 笔者在教学实践中针对例题教学进行了一些探究，归纳总结了关于例题教学的一些做法，供大家参考！

“将错就错”，培养规范的答题

习惯

数学解题讲究规范严谨的思维习惯，思维不严谨，论证不严密，答题不规范，都可能功亏一篑，前功尽弃. 而学生表现出来的不规范的答题方式，不严谨的思维，深究其原因，其实是对概念的理解不清，推理逻辑的混乱等，因此学生的错答有时是一而再，再而三地出现，并不会错了一次之后就能马上得到纠正. 那么教师可以有意识地关注学生的错答，将错误原因呈现出来，请学生去发现错误，并引导学生通过反思，纠正思维偏差，培养严谨的解题逻辑思维.

案例1  复习“一元二次方程”.

问题：（1）一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

（2）已知一元二次方程x2-（m-1）x+m+2=0的两个实数根之积等于m2-9m+2，求m的值.

以下是小明同学的解题过程，请同学们判断他的答案是否正确，如果错误，请改正.

解：（1）因为方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，所以（-1）2-4·k·1>0，解得k<.

（2）设方程的两个根分别为x，x，根据根与系数的关系得x·x=m+2，所以m2-9m+2=m+2，解得m=0，m=10.

学生讨论过后，出现不同的观点.

生1：老师，我觉得这个解法是对的，没有问题.

生2：老师，不对，第（1）题小明的答案有问题，因为二次项系数不能为0，所以要把k≠0写上去，答案才是完全正确的.

生3：老师，第（2）题小明的答案也有问题，因为有两个实数根，所以根的判别式要大于或等于零. 所以要排除m=0.

本例是通过学生判断和纠错的方式，让学生反思自己在解题过程中的错误，这样往往能形成比较深刻的印象，加强思维的严谨性. 上述试题中的错误看起来不起眼，实际反映了学生思维的不严密. 通常学生思维的错误具有典型性和重复性的特点，教学中可以利用大部分学生经常犯的错误，进行错误反思，并集中纠错，这样既可以节约时间，提高效率，也能通过旁观者的角度加深印象，加强答题规范.

一题多解，选择最佳路径

一题多解是数学题中经常出现的类型，多种解法往往体现了多个角度和多种思考方法，但是试题在设计过程中其实往往都会有一种最佳的解法，也就是最简便的路径，但是学生一般较难发现. 教学中在引导学生采用多种解法的同时，要帮助学生寻找到最佳路径，这样可以节约解题时间，训练思维的灵活性，也能增强学习的自信心.

案例2  如图1所示，在平面直角坐标系中，函数y=（x>0）的图像与直线y=6-x交于点A和点B，设A（x，y），求长为x，宽为y的矩形的周长和面积.

师：這道题不止一种解法，同学们可以多尝试一下然后分组向大家展示.

第一小组：首先解方程组y=6-x，

y=， 求出点A的坐标为（3+，3-），接着计算矩形的周长和面积.

第二小组：我们组是直接将函数关系式y=6-x和y=（x>0）进行变形，分别得x+y=6，xy=4. 因此矩形的周长为2（x+y）=12，面积为xy=4.

师：两组的解法都能算出正确答案，那么考试时，你更愿意采取哪种方法呢？

生2：我愿意用第二种，我觉得第一种求坐标比较复杂，容易算错，第二种更简便，做起来更节约时间.

师：相信同学们都知道选择便捷的方法对我们更有利，但同时我们也鼓励同学们多角度地思考问题.

学生通过本例不同解法的对比，明确了哪种方法更简便易做，思维更加灵活，明确了如何选择最佳的解题方法. 一题多解并不是要求教师直接告诉学生哪种方法最优，而是应该让学生讨论比较之后进行选择，只有通过多种解法比较才能训练学生的思维，达到一题多解型试题的解题训练效果.

分解例题，增强学习信心

教学中不难发现，特别是初三学生在面对试卷最后的综合性试题时，畏难情绪严重，真正做出来的学生也不多. 一方面是综合性试题难度较高，另一方面是有些学生觉得无从下手，不愿意“啃难啃的骨头”，往往就导致在综合性试题上失分较多. 如何帮助学生突破这一难点是初三数学复习不可逃避的一项课题，综合性试题是由多个知识点组成的，要进行突破，就需要带领学生理清其中的知识构造，分解题型，逐个突破，化繁为简.

案例3  如图2所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（-2，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）若点M为抛物线上的一个动点，且在第一象限，求△AMB面积的最大值.

本题在班级中作答情况非常不好，特别是第2问，只有屈指可数的几位学生答出来了，其解法还非常烦琐，说明学生在面对函数与几何相结合的试题时，解答比较困难，因此笔者对这道题进行了改编.

改编  已知抛物线y=-x2+x+4.

（1）求抛物线与x轴的交点A和C的坐标与y轴的交点B的坐标、顶点D的坐标.

（2）在（1）的条件下，AC和OB的长度分别是多少？点D到x轴和y轴的距离分别是多少？并求△OBD的面积.

上述改编，笔者依次精心设计了阶梯式的问题，帮助学生搭建了解决问题的平台. 看似将原来的题目进行了扩充，问题增多了，实则学生做起来会觉得条理更加清晰，这就是因为教师在学生难以跨越的知识难点中搭建了桥梁，使思维得以沟通，学生反而觉得问题变得更加清晰和简单. 同时教师要注意进行解题方法的引导，在遇到复杂的综合性试题时，使学生学会进行拆解，熟练使用数形结合的思想，构建完整的知识体系，进而提升解决问题的能力，增强学习数学的信心.

变式训练，拓展学生思维

数学题的变化多端常常让学生觉得无所适从，虽然做过很多常规习题，但是题目稍微发生变化还是不会解决，打击了学生继续学习的信心. 其实这反映出学生的思维定式，他们只关注于题目的外在条件，而没有抓住本质规律. 为此教学中教师可以通过变式训练引导学生透过现象抓住本质，突破不同情镜的影响，为学生在求答问题和已会知识之间构建起桥梁.

案例4  如图3①所示，A，B两点在直线a的不同侧;如图3②所示，A，B两点在直线b的同侧，请根据问题正确作图.

（1）请分别在直线a和直线b上找到一点P，使点P到A，B两点的距离之和最小;

（2）请分别在直线a和直线b上找到一点Q，使点Q到A，B两点的距离之差最大.

本例题看似两个不同的变式问题，但在解題时有一个共通之处就是都要通过转化思想，借助三角形的三边关系进行求解. 同时又利用了三角形三边的两个不同的知识点，两边之和大于第三边和两边之差小于第三边，通过这样的变式训练使学生感受到同样的知识点不同的问题变式如何突破.

变式训练的种类非常多，可以变问题，也可以变条件，变解法等等，在几何问题当中，还会涉及变图形，但不管如何变化，其目的都是为了让学生体会不同的试题采用同样的解题思路，认识到如何把握本质，举一反三，“万变不离其宗”的道理，达到减轻学生的学习负担，增强学生学习的信心的目的.

总之，例题教学在数学课堂中的重要性无须多言，因此更要提高例题教学的精度和准度，以提升教学效果. 选择例题时，教师要把握典型性和适切性的原则，不能随意敷衍，浪费学生的时间. 例题的讲解也要课前精心设计，预设学生的难点，课堂精准把控，通过不同类型的例题来不断提高学生的解题能力，提升初三数学复习课的效果.