类比法在数学教学中的应用研究

刘勤凤

[摘  要] 类比作为思考之源、思维之火，在如今的初中数学教学中应用得较为广泛. 它可将教授内容与学生原有的认知经验建立有效的连接，使学生深层次地理解新知. 文章就类比法在新授课、复习以及解题教学中的应用谈一些认识.

[关键词] 类比;教学;复习;解题

亚里士多德提出：“类比表示的是平行者之間的关系，而非部分对整体或整体对部分的关系. ”可见，类比是一种平行式的思维方式，主要通过对事物某些相同或相似面的比较，来推理某事物也具有另一事物相同或相似的特性. 类比结论的可靠度与类比对象之间的共通点的数量有关，共通点数量越多，说明两者之间的关联度越大，结论的可靠性就越高.

数学是一门逻辑性较强的学科，可通过类比法使知识“由此及彼”，让知识在归纳与演绎中更加深刻化、系统化.

类比法在新授课中的应用

古往今来，人们在遇到新的问题时，常会习惯性地将自身已有的认知经验与现在遇到的问题进行对比，希望从已有的认知范畴中对新事物产生更多的认识. 对比后会出现两种情况：一是通过粗浅的类比，将新事物完全归纳到原有认知范畴中，导致原有认知范畴发生一定的改变或扩大;二是在原有认知基础上对新事物产生新的概念，获得新的认知，这是思维发展的重要体现[1]. 教学新知时，我们的目标就是实现第二种情况，让学生通过类比获得新的定义或概念，实现思维的成长.

案例1 “立方根”的教学.

从字面上来看，“立方根”与我们学过的“平方根”有着一定的联系. 教学时，教师可以引导学生从平方根的概念和性质着手，通过类比的运用，开发学生的潜能，让学生在自主类比与分析中获得新知.

平方根的概念：若一个数的平方为a，我们可称此数为a的平方根，即±（a≥0）.

平方根的性质：①每个正数都有两个互为相反数的平方根;②0的平方根有且只有一个，即0;③负数没有平方根.

教师可以要求学生根据以上学习过的内容，通过合作学习的方式来自主探讨立方根的概念与性质.

探讨过程中，有学生根据平方根的概念推导出了立方根的概念：若一个数的立方为a，则称该数为a的立方根，即，读作三次根号a. 虽然这种说法不够标准与完善，但从中可以看出学生类比方法的应用程度.

在教师的引导与学生的积极交流之后，立方根的概念与性质也悄然浮出了水面.

立方根的概念：若一个数的立方为a，则称该数为a的立方根，写作.

立方根的性质：①正数只有一个正数立方根;②0只有一个立方根，且为0;③负数只有一个负数立方根.

学生在上述类比中，深化了对立方根的认识，同时，类比思想也在类比法的应用中生根、发芽.

建立原有经验与新信息的联系是学习的本质，要让数学学习内容丰富、学法灵活，避免出现“堆砌知识积木”的弊端，教师就该应用一些方法将学生的思维串联起来，让学生从中深刻体会知识的发生、发展动态. 而类比法就是联系新知与旧知的重要纽带[2]. 通过类比不仅能加强知识的联系，还能帮助学生理清知识脉络，将新知很好地内化到原有认知结构中.

类比法在复习教学中的应用

根据艾宾浩斯遗忘曲线，新知只有在一定的时间内及时温习，才能达到记忆的恒久. 数学学习亦如此，每隔一段时间，我们都要对所学知识进行复习，从而达到巩固与提高的目的，为更好地解题奠定基础. 在复习教学中使用类比法，可让知识在纵横交融与拓展中达到以点串线、以点连线与点线成网的良好效果.

案例2 “中心对称和中心对称图形”的复习教学.

本章节的内容相对抽象，学生在初学时就感到困难重重. 在复习阶段，教师最大的任务就是帮助学生缕清其中的关系，并让学生对相关概念产生深刻、形象的认识. 笔者教学本章节复习课时，将它与“轴对称和轴对称图形”进行类比，具体过程如下.

师：哪位同学能简单地描述一下轴对称与轴对称图形之间的关系？

生1：如图1所示，轴对称主要是指两幅图之间的位置关系. 轴对称图形则是一个具备一条轴线的两边完全对称的图形（如图2所示）.

师：生1讲得很清楚. 那么中心对称和中心对称图形又各自具备怎样的特点呢？请分组讨论.

组1：将中心对称与轴对称进行类比，可得出表1所示的结论.

组2：中心对称与中心对称图形的区别与联系如表2所示.

学生通过纵横交错的对比，不仅起到了温故而知新的复习效果，还通过列表的方式将点状的知识串联成线、编织成网，在大脑中建构了一个完整的知识体系. 这样的方式不仅能让学生深化理解知识，还能有效地促进学生数学思维的发展. 并在知识的迁移中通过不断的补充、改造与完善，使认知实现质的飞跃.

心理学研究发现，学习者容易遗忘孤立的知识点，但系统化的知识在认知中则呈现出稳固的状态. 从上述教学案例不难看出，类比法的应用能有效地将知识进行融会贯通，形成知识网络，能帮助学生更好地建构认知体系.

类比法在解题教学中的应用

知识水平的评价大多是采用考试来进行，所以从某种程度上来说，解题能力能反映一个人的实际认知水平. 那么类比法的应用对提高学生的解题能力具有显著的促进作用，学生通过一般例题的学习，根据其解题思想类比推导出新的解题思路，获得举一反三的解题能力.

案例3 用类比法解题.

问题：求代数式+的最小值.

不少学生看到这道题时不知从何处下手. 为此，教师可引导学生从数形结合的角度进行思考，将本题巧妙地转化成图形题：

如图3所示，C为BD上一个动点，现分别过B，D两点作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC. 已知AB=1，DE=5，BD=8. 假设BC=x，那么CD=8-x，AC=，CE=. 此时问题转化为求AC+CE的最小值.

显然，当A，C，E三点在一条直线上时，AC+CE的值最小. 由此，我们就可以顺利地求得+的最小值.

解完本题后，教师又提出问题：请大家参照上述解题方法，通过构图获得代数式+的最小值.

数形结合思想在数学中的应用频率相当高. 本题将“数”与“形”的关系进行类比与分析：从“数”的角度来看，我们看到的是代数式，但从“形”的角度来分析，我们看到的是点与点之间的距离. 因此，数形结合的构造方法会让问题变得简单、形象、直接，更符合学生的思维模式与认知发展特征. 本题若只从代数的角度分析，不借助图形，很难求出答案. 但从图形的角度去思考，则很容易想到“两点之间，线段最短”.

教师在学生顺利解题的基础上，又提出一道类似的问题供学生思考，这其实是让学生巩固新知. 学生通过例题的解决过程，掌握了一定的解题技巧，但那是在教师引导的基础上进行的. 此时，新问题的提出就是为了检验学生的掌握程度，让学生在自主应用中熟练解题流程，并将这种解题思路内化为自己的认知架构，下次再遇到类似的问题，便可以融会贯通，自主解题.

将类比法应用到解题教学中，不仅能有效地提高学生的解题能力，还能帮助学生实现知识的正迁移，对学生创新能力的形成与发展有深远的影响[3].

总之，在数学教学中，突破教学重点与难点的方法有很多，究竟要选择哪种方法，可根据学生的实际情况和待解决问题的性质来决定. 用类比法将知识进行归纳、比较与分析，不仅能提高学生的探究热情，还能优化学生的认知结构，发展学生的数学核心素养.