基于GeoGebra 的初中数学二次函数动点问题探究*——以广州中考压轴题为例

广东省广州市第四中学(510176) 伍慧懿

1 核心素养与深度学习

2016 年《中国学生发展核心素养》总体框架正式发布.为了实现立德树人的教育目标,学科教学提出了学科核心素养的概念,对于数学学科而言,包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析在内的六个要素,支撑起了数学学科核心素养的体系.当中的直观想象素养应该是教师重点培养的数学核心素养之一.它是一种借助几何直观和空间想象,从而感知事物形态变化的一种能力.在初中数学教学中,具备直观想象素养的学生往往可以更快地对抽象的数学问题建立空间思维模型,从而高效、快速地解决数学问题[1].

深度学习是核心素养培育的一个重要途径.它是指学习者在理解和学习的基础上,能够批判性地学习新的思想和事实,并将它们融入到学习者原有的认知结构中,并将新旧认知进行联结,在对现有知识在新的情境中的创造性应用,实现策略的提出和解决问题的学习.就初中数学教学而言,深度学习应当具有这样的几个基本特征:主动理解与批判接受、激活经验与建构新知、知识整合与深层加工、把握本质与渗透思想、有效迁移与问题解决[2].而具有上述特征的学习过程,均需要学习者带着批判性的思维积极主动地投入思考和学习,从而使过往已学的旧知识与新内容进行系统性连接,使自身认知上升到新的水平.

2 二次函数与动点问题

本文选取初中考试中的常见的压轴题型“二次函数的动点问题”作为研究的切入点.它既能考查二次函数的性质,也需要学生根据动点运动情况,准确地分类讨论解决问题.学生在面对此类难题时,在静态的图形中想象部分元素的动态变化,本来就需要一定的抽象思维.要做到在复杂的动态问题中做到分类讨论不重不漏,更使难度再上一个台阶.初中生的抽象思维能力仍然不成熟,这让他们在解决二次函数的动点问题时,面对动态变化中的无数种情况,经常无法找到具有代表性的若干种,进而无法画出相应的图形和解决每种情况[3].2019 年11 月教育部颁发文件,要求取消初中学业水平考试大纲,严格依照义务教育课程标准科学进行命题,提高探究性、开放性、综合性的试题比例.这也意味着学生日后遇到这种问题的机会将会越来越多.

要解决此类问题的教学难点,初中数学教师借助软硬件工具进行动态演示是关键.动态演示将可使原本非常抽象、复杂且难以理解和思考的问题变得非常直观、有层次、简单,有利于动态问题的最终解决[4].传统课堂上,数学教师分析问题时往往用到三角板、圆规等工具.手工作出二次函数图像,误差大耗时长.在如今信息化技术发展迅速的时代,计算机、可触控屏幕等设备已逐渐普及进入课堂.若教师能与时俱进借助信息化技术展示二次函数动点问题的动态画面,给予学生认识此类问题清晰的印象和形成解题思路深刻的启发,也能帮助学生更好地解决二次函数动态问题.

3 GeoGebra 的特点优势

GeoGebra 是由geometry(几何)与algebra(代数)组成的一个合成词.GeoGebra 软件有强大的代数与几何功能,它的工具栏将七十多个简单易用的工具分类排列.以点、直线、多边形、圆和角等元素为基础,操作区域中的代数区、绘图区、表格区可以动态结合.各个窗口有它各自的功能,一方面可以在代数区输入坐标、方程的同时,绘图区可在直角坐标系中自动显示出点、直线、曲线等图像;另一方面可直接在绘图区描点、作图,代数区也会同步生成点的坐标与图像所对应的方程[5].

《义务教育课程标准》提出:把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具,有效地改进教与学的方式,使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去.GeoGebra 可以为初中数学教学提供具体的图形工具,也为发展学生数形结合的数学思想提供有力的支持.与以往较多数学老师使用的“几何画板”软件相比,GeoGebra 软件的使用过程更简便易操作.例如新建函数或点,就只需在输入框中键入其解析式或坐标,而且可以在属性区很方便地更改某个对象的各方面属性,令课件视觉效果更美观.工具条中包含工具种类丰富,鼠标指向某个工具时更会出现其“使用说明”,使用户对其功能和操作方式一目了然.如能希望演示图中某个元素的动态变化过程,用鼠标右键单击再选择“启动动画”即可实现.

在核心素养培养目标的引领下实施深度教学,初中数学教师应在课堂中带领学生对图形问题开展深度学习,逐步形成直观想象素养.在此过程中,GeoGebra 作为一种简单易操作的数形结合软件,可成为初中二次函数动点问题教学中的一种重要辅助工具.

4 广州中考的压轴大题

下文中笔者将结合实际教学经验,以近年广州中考压轴题中出现的二次函数动点问题为例,谈谈在此类题型探索过程中如何结合GeoGebra 软件,使抽象问题变得具体,零散的思维变得有序.

4.1 点在曲线上,求轨迹函数

2019 年广州市中考第25 题.已知抛物线G:y=mx2-2mx-3 有最低点.

(1)求二次函数y=mx2-2mx-3 的最小值(用含m的式子表示);

(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图像交于点P,结合图像,求点P的纵坐标的取值范围.

4.1.1 审题,思路浅析

此题的第(2)问是求动点轨迹的问题.在第(1)问的求解过程中得m ＞0,并用配方法或公式法求出了抛物线G的顶点式y=m(x-1)2-m-3,进而可再求平移后的抛物线G1:y=m(x-m-1)2-m-3 顶点的横纵坐标之间的函数关系.

4.1.2 探究,软件辅助

在GeoGebra 软件工具栏设置滑动条控制变化的m值,注意限制条件:m ＞0.在“输入”框中用英文输入法键入y=m(x-m-1)2-m-3,设置顶点(m+1,-m-3).追踪顶点轨迹,并利用滑动条改变m的取值(如图1).

图1

如果是教师提前制作课件,教师课堂上应引导学生观察猜想动点轨迹图形特征,并注意m的取值范围对轨迹的影响,师生共同归纳特征并求解.

如果是学生独立制作课件,教师可提醒学生在设置滑动条时限制m ＞0,用追踪顶点轨迹的方法更易发现动点轨迹图形特征,由学生自行归纳特征并求解.

4.1.3 解题,步骤疏理

通过GeoGebra 课件中图形的动态变化,得出顶点的轨迹是一条除去端点的射线,设其横、纵坐标分别为x、y,则其满足其中m ＞0.再利用“消参”思想可得函数关系式:y=-x-2,其自变量取值范围为x ＞1.

4.1.4 小结,融会贯通

在直观想象素养中,直观指的是学生通过简单直接的观察,感性认知事物的表象.想象则是把直观得到的感性认识结合过往所学,大致猜想当前问题的解决策略.正是有了GeoGebra 软件辅助,学生可以比较方便地从动态变化的图形中获得直观感知,提炼规律,从而获得理性思考的方向.有了这种深度加工知识信息的过程,学生才能建构情景化知识体系,解决复杂问题,真正实现深度学习.

4.2 点为两线交,求面积最值

2016 年广州市中考第24 题.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B,

(1)求m的取值范围;

(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;

4.2.1 审题,思路浅析

在第(1)问中,根据二次函数的定义和根的判别式,可得0且m.

在第(2)问中求函数经过的定点,按字母m合并同类项,得y=m(x2-2x-3)+x+1,即y=m(x-3)(x+1)+x+1.所以抛物线恒过定点(-1,0)与(3,4).所以函数经过x轴上的点A(-1,0)与不在坐标轴上的定点P(3,4).

在第(3)问中,点A、P均为抛物线上的定点.要通过研究当＜m≤8 时点B的位置变化规律,才可求ΔABP的面积的最值.这需要学生有一定的抽象思维和分析能力.

4.2.2 探究,软件辅助

按题中条件利用GeoGebra 的滑动条建立变量m(＜m≤8),在“输入”框中用英文输入法键入y=mx2+(1-2m)x+1-3m,标出定点A(-1,0),P(3,4),利用交点工具取抛物线与x轴另一交点B.用多边形工具标示ΔABP.拖动滑块改变m值,观察ΔABP形状和面积的变化(如图2).

图2

在拖动滑块使得m值变化的过程中,学生容易观察出随着m值变大,点B的横坐标也随着变大.即点P到x轴距离不变的情况下,线段AB距离越来越大,从而得到一个直观的认识:m越大,ΔABP的面积越大.

4.2.3 解题,步骤疏理

4.2.4 小结,融会贯通

“不识庐山真面目,只缘身在此山中.”学生在解题中身陷困境,只因搞不清图形变化过程中不变的本质.在此题的探究过程中,再一次体现利用GeoGebra 软件进行动态问题探索的优势:直观清晰.学生在多次经历这种探索过程后,会逐步形成动态的观念.在动态变化的图形中,找出规律,解决问题.在教学过程中,教师基于直观想象核心素养的培育需要,利用信息技术辅助引领学生,探究问题变化的实质,也让深度学习有了更明确的方向.

4.3 点随曲线移,求周长最值

2014 年广州市中考第24 题.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx-2(0)过点A,B,顶点为C,点为抛物线P(m,n)(n ＜0)上一点.

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;

(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;

(3)若m ＞,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0＜t ＜)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′,是否存在t,使得首尾依次连接所构成的多边形的周长最短? 若存在,求A,B,P′,C′的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.

4.3.1 审题,思路浅析

此题多边形周长求最值涉及两个动点,目标线段AC′与BP′也没有公共顶点,从而为分析求解加大了难度.

4.3.2 探究,软件辅助

图3

图4

在初步感性认识四边形ABP′C′在抛物线平移过程中AC′+BP′的变化情况后,教师可进一步引导学生理性思考:在AC′+BP′的求解问题上,最大的难点便是AC′与BP′没有公共顶点.我们能否通过线段的平移,使其有共同顶点呢?

4.3.3 解题,步骤疏理

图5

在求解之后,不妨把如下的开放性问题抛给学生思考:通过线段的平移,使AC′与BP′有公共顶点,只有一种方案吗? 在思维碰撞过程中可以发现,平移的方案总共有8 种.那除了上述这种平移方案之外,其他7 种可行吗? 原因是什么?可让学生结合GeoGebra 软件分小组进行探索,并总结此类问题的一般做法.

4.3.4 小结,融会贯通

由这个例子可以看出,当一个问题中含有多个运动的元素时,就容易在解题中造成干扰,使学生难以得到思路.当教师利用GeoGebra 进行题目情景的动态展示后,学生可以通过图形探索先猜到问题的解决方向,之后求解或证明的思路也更容易凸显.通过这样培养直观想象能力,可有效提升学生的解题想象力和思维创新力.学生经历这一过程,对知识内容有了本质的理解,便能形成自身的认知能力,并可以在日后解决其他问题时将能力进行迁移,真正完成深度学习.

5 总结反思与未来展望

5.1 跳出定式,生机盎然

一线教师经过多年教学实践,积累了丰富的经验,也容易习惯于以往单一的教学手段.在传统课堂中,若要提高学生的直观想象素养,对如上的动态问题探究过程就只能徒手画出函数图象中某些特殊情况,再想象其动态变化过程中的一般情况.而以上几个例子作为中考压轴题,题目思维难度较大,形式抽象,在对其探索的过程中,也难免存在教师难以点清讲透,学生无法思考动笔的尴尬.在笔者以往用传统手段教学的课堂中,无不例外的使大部分学生热情低、思维参与度低.能在探索过程中获得知识能力提高的,仅为少部分数学基础和思维较好的学生.在加入了教师在电子教学平台上展示GeoGebra 的动态课件过程后,普遍学生的兴趣比传统课堂更浓厚,投入度与热情度均大大提高.

5.2 抽象问题,化为直观

通过以上例子不难发现,在中考压轴题:二次函数中的动点问题上,很适合借助简单易操作的GeoGebra 软件进行探索.基于GeoGebra 的辅助,师生较易获得准确的图形和精确的数据,也能通过拉滑动条或拖动点,直观感受图形连续动态变化过程中的各种性质.如能满足学生人手一机的条件,学生甚至可以在机器上独立制作关于这些问题的GeoGebra课件.通过在软件中作图的过程使其进一步领会题中条件,思考作图步骤使其数学素养得到提升,独立探索图形的变化也能使其在潜移默化中形成动态思维,并在日后同类型问题探究过程中发挥作用.让图形动起来,能让学生感受在各种情况下图形不同的变化规律,这样也有助于培养学生分类讨论的思维习惯.

5.3 传统为主,信息作辅

但教师也要控制在课堂上使用GeoGebra 进行动态问题展示的频率.如次数过多,除了会使学生厌烦以外,还容易造成学生在解题思考过程中对动态课件的心理依赖.在对数学问题的探索过程中,传统手段还是占重要地位.信息技术辅助教学的手段则应该在合适的时机,使用在学生的最近发展区中.当我们遇到学生难以想象的变化情况,或教师不易讲透解题思路的地方,都适合用GeoGebra 进行动态展示.随着信息化与教育的深度结合,注重发展学生的个性化需求与特征的课堂是教育发展的必然需求.

5.4 不断尝试,开拓创新

由于GeoGebra 软件简单易上手,笔者与教育集团的部分数学老师经过一年的学习,已熟悉软件的基本操作步骤,足以应对日常教学中遇到的问题.笔者通过访谈了解与测试检验发现,运用这种手段使学生多次经历动态变化问题的深度学习,能帮助他们逐渐缓解对压轴题型的畏难情绪.与没接触GeoGebra 软件的学生相比,他们更容易由数形结合与分类讨论思想得到解题思路,解决二次函数中的动点问题能力明显提高.

在前期研究中,笔者所采用的方式主要是教师制作GeoGebra 课件,在课堂上给学生作动态演示.所教的学生经过一段时间耳濡目染,对软件兴趣较浓厚.有的学生通过自学摸索,已经可以在家的电脑上独立制作GeoGebra 课件,帮助自己探索数学动态问题.在后续研究中,笔者会尝试增加机会,让学生在课堂上每小组一机或人手一机,设计学生自行利用GeoGebra 重现问题情景并探索解决思路的课堂.教师为辅,引导学生用软件探究,并从旁点拨协助.这样以生为主、以学定教的探究式课堂,将更进一步地实现深度学习.

信息技术辅助下的深度教学在问题探究过程中,变抽象为具体,变特殊为一般,促使学生的思维从广度和深度都不断得到拓展和延伸.让学生学的深刻,理解的自然,也使其理性思维、勇于探究等核心素养得到提升.对于中学一线数学教师来说,持开放的态度多了解信息技术手段,合理利用如GeoGebra 的工具培养学生分析动态问题的能力,将使学生受益无穷.希望未来有更多的教师个人与群体投入到GeoGebra 软件与中学数学课堂的深度探索与实践中,让更多学生能提高核心素养,实现真正的深度学习.