回望探索之旅 反思改进之路——由一道梯形面积计算习题想起的

山东省菏泽市东明县马头镇中心小学 赵守旗

一、缘起

这是五年级学生学习完“梯形的面积计算”之后发生的一件尴尬的事。在一次练习中，出现了这样一道习题：“一个直角梯形，高10厘米，下底长度是上底长度的3倍。如果把下底减少6厘米，上底增加4厘米，就变成了一个长方形。求原来梯形的面积是多少平方厘米。”结果学生“全军覆没”。面对这一现象，教师研读习题构成，把脉问题解决的症结，既感到无奈，为学生不能融会贯通地研究问题，不能用好、用活数学活动经验以及所学过的数学思想等深感不解，又深感数学教学的压力巨大。如何在教学中有机地渗透数学思想方法，让学生研究问题更加智慧，引导学生灵动地分析、创新地思考等，就成为教师必须精心谋划的命题了。

二、调查分析

对于“梯形的面积计算”学习，笔者认为学生的基础还算是比较扎实的：一是因为面积公式推导学习几乎都是在学生自主学习、合作学习以及操作实验基础上进行的，学生的积累较为丰富，理解也是比较深刻的；二是当堂学习反馈也比较理想，组织学生回忆或背诵等情况都是不错的。

然而，通过对学生的观察和解答问题过程的仔细甄别，发现还是有些问题存在的，主要体现在：

（1）对练习题研读不深刻，导致解答思考没有条理，也几乎没有依据。学生感觉到困难，就天马行空，胡乱作答。如学生中有这样的作答情况：（6+4）×10÷2=50（平方厘米），（6×3+4）×10÷2=110（平方厘米）等。

（2）对已有的数学思想方法运用等也不理想，甚至是用画图策略来解决问题的意识一点儿也没有，就是凭想象、凭感觉作答，导致不知所云、无法言表等现象发生。

结合习题的研读，笔者认为，这样的练习对五年级学生是具有很大挑战性的。所以，教师要在平常的教学中科学地给予“学习引导”，让学生逐步养成全方位思考、多策略并用的学习习惯和分析问题、研究问题的思考习惯，否则是很难达成理想状态的教学愿景的。

三、实践尝试

为帮助学生较好地理解这道练习题的解题思路和方法，笔者决定通过必要的学习与联想等活动，引领学生“驻足四顾”，寻找与这个问题的相关联的知识、经验和数学方法等，从而为他们较为精准地理解数量关系、把握数量之间的本质联系等提供思维活力、经验支持和基本数学知识保障。

师：这是一个梯形，要计算它的面积，应该知道哪些条件？

生：（上底+下底）×高÷2=梯形的面积，所以要知道上底、下底和高的长度。而习题中只有高10厘米是已知条件。上、下底仅是倍数关系和一些变化，看不懂。

师：那我们有没有办法，让那些看不懂的关系、隐蔽的关系用非常好的方式展现出来呢？

生：有的，画出示意图，就直观得多了。

生：画图来表示各种数量，会简单些。

师：很好的策略，那就试试这题的图该如何画好。

学生尝试用示意图表示出习题所提供的数学信息。

师：可以把自己的示意图展示出来，并说说你对图例的分析吗？

这个问题让部分学生比较局促，他们很担心难以表述好图画中的数量特征。

生：我只会画出这样的示意图，下底是上底的3倍。

图1

师：行！继续思考，再听听别人的分析。

生：我比他画的又多了些，是这样的。把上底增加4厘米，用虚线表示；下底减少6厘米，用虚线表示。细的虚线就构成了左边的长方形。

图2

生：还是看不出啥意思呀！

学生们大多数只能画出这样的示意图，却难以找到问题的关键所在，不知道3倍关系和这一个增加、一个减少之间的内在联系。

……

生：因为上底是一份量，我就沿着这一份量又画出了一条与高平行的虚线，这样就发现了其中的秘密。你们看，所画虚线高的右边是不是就是上底的3-1倍，它的长度正好是上底的4厘米虚线与下底的6厘米虚线的和，是4+6=10（厘米）。这样上底的长度是10÷2=5（厘米），下底的长度是5×3=15（厘米），梯形的面积计算就简单得多了。

图3

生：哎呀！原来还有这多的学问，那个减少与增加的，实际就是下底比上底多出的2倍，这样就容易了。

生：画图很重要，图能把关系变得更简单，变得更直接。

生：画图是重要，但是要把图读懂、读清楚很难很难，我画出了增加和减少的，但没有看出它们之间的秘密，所以还是没有做出习题。

生：看来图要画好，读懂图、读透图更重要。

……

师：那你们先前做这道练习时有没有画图呢？画了图有没有认真地读图、悟图呢？

……

四、教学反思

（一）关注回望，让学习有根基

案例中，面对上次练习的“惨淡格局”，笔者进行了自我反思，决定引导学生进行必要的学习回望，引导他们再度回忆梯形面积计算方法，使学习记忆、经验以及思维等得到唤醒，从而为新一轮的学习研究提供强劲的支持。

我们深知，教学时教师对学生不能一味灌输，要引导学生自主融入探究之旅。所以，笔者为让学生更好地解决学习困难，首先让学生回忆面积公式，其次让学生进行探讨，让学生明白计算梯形的面积并非只看公式就能解题，而是需要借助诸如画图等“拐杖”，也只有用好“拐杖”，才能在思考的路上坚实地走下去，才会形成难以磨灭的记忆。

（二）细化引领，让理解更深刻

“那我们有没有办法，让那些看不懂的关系、隐蔽的关系用非常好的方式展现出来呢？”提示语不仅让学生的数学学习不再“唐突”，而且能诱发学生的学习思考。“用什么方法能把隐形的东西显露出来呢？”一问激发了学生的学习活力，也让学生的思维变得活跃起来。“画示意图”来揭示数量之间的秘密，就成为学生的共识，那么引导画图就成为必然的学习活动。

凸显画图策略的重要性，这就为学生深入解读图画等活动埋下了悬念的种子。在学生“愤悱”之际，教师话锋一转，“可以把自己的示意图展示出来，并说说你对图例的分析。”让学生的注意力聚焦到读图、悟图上，这样必定会引发学生的二次甚至是三次的学习探究，为降低读图难度、理解图意等提供支持，学生学习思考变得更加深刻。

回望案例，我们可以看出，没有争议学生就很难找到问题的源头，寻找到问题研究的关键。同样，没有教师的精准引领，学生也许就在为如何画图、怎样画好图等徘徊不前。也正因为教师的有效引导，才让学生把学习思考的交点聚集到看图、说图和理解图的层面上，从图形构造和变化中找到问题的关键之处，找到解决问题的核心元素，从而助推学习，让他们的学习务实、有效。

（三）引发争议，让积累更丰满

引发学习争议，能够活跃课堂氛围，又能开阔视野。因为争议是学生学习思考的一种展示，学生不仅要把自己的思考表述出来，而且还要对他人的思考成果给予肯定或否定，所以教师组织争议学习活动，能够开启学生新的学习征程。

案例中，教师引导学生阐述自己对图例的研读与研判，使得学习争议成为一种必然。回顾案例中学生的表现，我们也许会为之一振，也会感慨：学生不是一张白纸任由教师来涂画的，他们是一个个具有个性和拥有不同生活积累和数学学习活动经验的鲜活生命。

试看学生对画图策略的分析：画图很重要，图能把数量关系变得更简单、变得更直接。从中不难看出，学生对画图策略是认可的，而且还能意识到它的优势，这就为他们愿意运用画图策略去研究问题、解决问题提供心理支持和兴趣保证。

又如，一个学生说道：“画图是重要，但是要把图读懂、读清楚很难很难，我画出了增加和减少的，但没有看出它们之间的秘密，所以还是没有做出习题。”这就是我们通常所说的反思，也就是自我判断，既没有遮掩学习上的不足，又没有顾左右而言他，而是坦然面对不足，给自己一个最清晰的画像。这也许就是他学习的动力。

再如，一个学生的分析：看来图要画好，读懂图、读透图更重要。从学生的分析中我们感到很欣慰，因为学生的总结已经有了高度，他们对问题的理解和把握已经有了深度。这样的体验活动一定能助推学生数学思维的发展，促进他们数学综合素养的不断提升。

笔者认为，这就是学习回望的体现，也正因为有这样的回望学习，才使得数学知识内在的逻辑性、严谨性更为凸显，从而助力学生更科学地领悟图形中所蕴含的规律以及数学奥秘，使得学生认知识建构变得更合理、更科学。

反思此次回望学习，笔者认为，有针对性地学习回望，不仅有助于学生较好地研究出解决问题的方法，而且还有助于学生较好地感悟数形集合思想的价值，进而学会用数形结合等数学思想方法去研究问题、解决问题，让探索和思考变得更加积极、更加主动，也更有成效，从而打造出精彩的数学教学课堂。