构建探索空间 让深度学习真实发生——以“圆柱的表面积”教学为例

江苏省无锡市东绛第二实验学校 俞 瑜

“图形与几何”是小学数学课程的四个领域之一。在这一板块的学习中，通常需要学生通过观察、操作、实验等具体活动来获得感性认识和理性思维。本文以“圆柱的表面积”教学为例，谈一谈如何在几何教学中为学生创建探索的空间，促进学生真正意义上的深度学习，提升数学核心素养。

一、逆向思维，化难为易，突破知识难点

学生接触的长方体和正方体都是由平面图形围成的几何体，而圆柱作为旋转体，表面既有平面又有曲面。因此，在教学圆柱的表面积计算时，如何突破曲面的面积计算成了教学难点。按照教材的编排，从圆柱的侧面这个曲面入手进行探究，提出“圆柱形罐头侧面的商标纸的面积大约是多少平方厘米”这样一个问题，引发学生思考。教材引导学生沿着接缝把商标纸剪开，看展开后的图形与圆柱之间的关系，并提示学生思考两个问题：①这个长方形的长和宽与圆柱有什么关系？②怎样计算圆柱的侧面积？通常这一环节并不具有普遍的操作性，学生根据教材的示意图，直观建立商标纸剪开后是一个长方形这样的表象，并没有实际操作，经历知识生成的过程，建立长方形的长和宽与圆柱的底面周长和高之间的对应关系，因此曲面面积计算这一难点没有得到很好的突破。同时，思路也将根据教材的安排被局限在“化曲为直”这一数学思想方法上。

那么，探索圆柱的侧面积是否只能“化曲为直”呢？学生在课堂中能否人人操作探究，完成“化曲为直”的过程并进行比较和思考呢？如果换一个角度，逆向思维，“化直为曲”操作的可能性就大了许多。

教学片段：

1.创建立体图形，初步感知联系

活动一：用一张长方形纸做出一个立体图形

学生小组合作，积极思维，创建出多种几何体（如图1），并进行交流展示。其中有圆柱、长方体、三棱柱、八棱柱等多种立体图形的侧面。

图1

师：不管你们怎么做，得到的都是立体图形的侧面。仔细观察你折出的立体图形，它们与长方形的长和宽有什么联系？

（此时学生展开立体图形，又合拢，通过这一操作，直观感受长方形的长和宽与立体图形之间的联系。）

生1：我发现长方形纸片的长就是这个长方体底面上长方形的周长，长方形纸片的宽就是我折的这个长方体的高。

生2：我的发现和他的差不多，长方形的长就是这个三角形的周长，长方形的宽是这个立体图形的高。

生3：长方形纸片的长就是这个多边形的周长（边演示边说），长方形的宽就是这个立体图形的高。

生4：我发现长方形的长是圆柱底面这个圆的周长，长方形的宽是这个圆柱的高。

师：不管你折的立体图形的底面是一个什么图形，我们都发现了长方形的长就是这个图形的周长，长方形的宽就是这个立体图形的高。其他同学也有这样的发现吗？

在此活动过程中，学生折出了更多样的立体图形。其中折出长方体是学生已有的经验积累，其他的立体图形都是课堂中的生成性问题。不管折出的是怎样的直棱柱，长方形纸片所代表的都是立体图形的侧面。通过展开、合拢地操作和直观地观察、比较，便能够轻易得出底面周长和高与长方形长、宽之间的关系。教学难点在此得到第一次突破。

2.创造不同圆柱，完成模型建构

活动二：用长方形纸创建出一个圆柱

师：刚才有同学用长方形纸围出了圆柱，你也能用手中的纸围出一个圆柱吗？围好后观察你的圆柱和长方形之间有什么联系。

生1：我围的圆柱的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽。

生2：我的围法和她的不同。我围的圆柱的底面周长是长方形的宽，而圆柱的高是长方形的长。

师：通过围一围，再展开观察，我们发现一种围法是将长方形的长作为圆柱底面周长，长方形的宽作为圆柱的高；另一种围法是将长方形的宽作为圆柱的底面周长，长方形的长作为圆柱的高。

第一次“化直为曲”，学生初步建立了立体图形侧面与长方形长和宽之间的联系，第二次活动则让全体学生参与创造圆柱、探究圆柱侧面与长方形之间的联系。

3.沟通新旧联系，形成知识迁移

出示图2

师：同学们，通过刚才的两次操作，我们成功地用一张长方形纸片创建出了长方体和圆柱。看，用长方形的长或宽作为底面周长，能够得到这两种不同的长方体，这是我们已经学过的知识。同样，用长方形的长或宽作为底面周长，也能够得到两种不同的圆柱。不管是哪一种折法，长方形纸都围出了它们的侧面。

图2

这幅图的呈现，将两次活动串联在一起，形成知识体系，使学生清晰地认识到圆柱侧面与长方形之间的关系。两次操作，既突破了难点，又沟通了新旧知识之间的联系。

二、多维建构，形成认知，强化知识重点

深度学习是理解性的学习，是将新知识整合进原有的知识结构的过程学习，从本质上讲就是由经验引起的学习者原有观念的转变。这就需要在课堂中结合学生原有知识，多次进行新知的模型建构。圆柱表面积模型的建构，可以从“做—画—比—思”入手。

1.第一次建构——做一个圆柱

活动二中，用长方形纸片折出圆柱体（实为圆柱的侧面），学生完成了对圆柱侧面积的模型建构。因此，圆柱侧面积的计算方法水到渠成。在此基础上，让学生思考圆柱完整的表面积的计算方法。

教学片段：

师：要补齐这个圆柱体，还需要补什么面？

生1：还需要补两个底面。

师：你能计算出这两个圆的面积吗？怎样计算？

师：在一个圆中量它的直径，需要找到……（圆心），在测量之前，我们还要先想办法找到圆的圆心。

（与学生达成共识，这个方法在测量时有难度。）

师：有更好的办法吗？你能联系长方形的长和宽来进行思考吗？

生2：可以量长方形的一条边，根据底面周长反过来推算出圆的半径，这样就能算出圆的面积了。

师：你们认为这个方法怎么样？

生3：比直接测量圆的直径简单。

师：是的，同学们，这一次你们化曲为直，找到了便捷的方法。

学生通过自主性地思考，发现圆柱的表面积需由三个面组成，并通过比较、讨论达成共识：需要量长方形的一条边，根据周长算出半径，再一次巩固了对圆柱底面周长和长方形边之间关系的认识。通过这次操作，学生完整建立起圆柱表面积的整体模型，找到求圆柱底面积的关键所在，抓住了知识重点。

2.第二次建构——画一个圆柱

马克思主义哲学是马克思主义全部学说的基础，是所有各门科学的指导思想。科学的研究往往都离不开理论思维，离不开一定哲学的指导，马克思主义哲学也是思想政治教育方法论的理论基础，只有坚持马克思主义哲学理论为导向，党的思想政治教育方法论创新才能做到真正的随之变化。

活动要求：在方格纸上画一个圆柱

通过画圆柱展开图，将立体图形转化到平面，完成对圆柱表面积模型的整体认知。由整体到部分，再由部分组成整体，符合立体图形认知的一般规律。

3.第三次建构——比较相同点

比较圆柱表面积和长方体的表面积在计算方法上有什么共同点。学生发现表面积都等于侧面积+两个底面积。从实物直观（纸折圆柱）到模型直观（平面图）到语言直观（比较相同点），从具象到抽象，完成了圆柱表面积模型的三次建构，同时完善了学生的认知体系，培养了思维素养和空间观念。

4.第四次建构——回顾本节课的收获

让学生在课的尾声谈一谈本节课的收获，学生通过表达彰显了思维过程，也对自我进行了审视。通过总结、反思，才能检验学生是否真正地理解了所学知识，深度学习是否真正发生。

三、前延后展，提升素养，关注知识生长点

“圆柱的表面积”是学生在直观地认识圆柱和球、认识圆、圆的周长和面积，以及学习了长方体和正方体的特征、表面积及体积的基础上进行学习的。学生在之前的学习中积累了丰富的图形与几何的学习经验。因此，在探索圆柱表面积计算方法时，充分利用之前知识来进行切入。圆柱表面积的计算方法适用于所有直柱体。在设计两次探究活动时，由特殊性到普遍性，通过联系旧知，学生的已有经验进行了迁移，激发了学生探究的热情，主动拓展到三棱柱的侧面积=三角形的周长×高，八棱柱的侧面积=八边形的周长×高……即都是用底面周长×高，学生找到了解决这一类型题目的方法，进行知识的延展，形成了基本的逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养。

深度学习倡导学生深入知识的内核，获取知识之外重要的思维价值，促进知识与思维的协同发展。当教材以规范化的形式进行内容编排、知识固定时，学习活动可以打破传统模式，逆向而上，通过多维建构，为学生创造探索的空间，帮助学生构建模型，提升几何直观，积累数学经验，完善认知结构，实现深度的理解。