依心循理,破立相济
——“归一应用题”还可以这样学
2022-04-21北京全景化教育科技发展中心南京赫贤学校张宏伟
北京全景化教育科技发展中心、南京赫贤学校 张宏伟
传统的“归一应用题”,现今一般编排在三年级,归属于“解决问题”。其主要任务是让学生用学过的知识、技能、方法等解决现实中的实际问题。它是培养学生的应用意识、理解数学和生活、学会分析问题和解决问题的基本方法,是发展学生思维的重要路径和载体。全景式数学教育团队对这节课做了新的尝试:以“认知心理学”为依据,科学利用“心理动力学”“认知心理平衡理论”,设计了独特的“4 破5 立”教学。在实现上述目标的同时,学生更多地把学习重心聚焦在“完整思维、学会思考、激发创新、开慧启智”上。
“4 破5 立”中的“破”是指学生突破自己现有的认知平衡状态,“立”是指学生原来已经有的或者重新建立起来的认知平衡状态。
认知平衡理论认为:人总是具有力图保持其内部认知系统平衡与和谐的心理倾向,当新场景中的认知因素与个体原来的认知不同或冲突时,他内部认知系统的平衡与和谐便会被打破,进入不平衡状态。而这种不平衡的认知状态具有较强的动机性,会促使人积极主动改变其认知系统的某些因素,或改变现存的认识,或添加一种新的认识,以达到平衡状态或校正不平衡,最终重新建立新的认知系统平衡……
全景式数学教育下归一问题的学习过程依据上述理论设计,构建了“平衡—打破—……—平衡—打破”如此不断扩展、循环攀升的认知心路历程和思考过程。教学中还利用心理动力学不断激发和强化学生的兴趣与探究欲,文中在相应的实录后进行了分析与说明。
实录和分析
一、1“立”——意料之中:知道……就可以……
1.教师从左向右依次板书如下3 个问题,同时,请学生独立静思:“只要知道……就可以求出……”。
(1)一辆汽车__________,__________,7 小时行多少千米?
(2)盐外附小三年级, ___________________,6 个班有多少人?
(3) ___________________,8 支铅笔一共多少钱?
2.学生踊跃反馈,教师根据学生反馈,构成完整题目,并解答。
第(1)题补:每小时行9 千米;第(2)题补:每班有32 人;第(3)题补:一支铅笔5 元钱。
师:请同学们比较一下这3 道题,虽然它们说的事不同,数量不同,但是它们有一个共同的特征——只要知道什么,就能求什么。
引出:
师:知“1”→求“几”,用乘法。
【学生从一年级就开始学习应用题的基本结构、基本思路和解答流程,低年级形成了分析应用的格式:要求什么,就必须知道谁和谁。到学习归一问题时,学生已经强化了近5 个学期。学生建立了相应的稳固的认知平衡,且这种平衡对学生而言已成定式,从所有的学生都使用了“必须”可以看出,学生把求多份量的前提更多单一地定向为“一份量”,对解决问题所需条件的多元化认识产生了负向迁移。第二个教学环节就是对学生这种已有认知平衡的打破。】
二、1“破”——意料之外:还可以……
师(发出挑战):求8 支笔一共多少钱,难道只有知道1 支笔的价钱才能求出来吗?(全班一时默然)
过了一会儿,几个学生突然大呼:噢……我知道了!
一个学生情不自禁站起来激动地自说自话:知道2支铅笔……
师:停!我知道你已经想通了,牛!下面的话不说了,给还没有想好的同学留一些独立思考的时间。
【思考的独立是心理独立的重要路径和标志,同时也是创新的核心。教师在教学中一定要给学生提供充分的独立思考的时间和空间,最大化地呵护和激励学生独立思考的积极性、主动性。】
教师又等了一会儿,学生纷纷举手示意自己也想到了,比如,知道2 支笔10 元钱,也能求出8 支笔一共多少钱。(学生解法和反馈略)
师:这道题是属于知道什么是多少,求什么是多少。
生:知道“几”是多少,求“几”是多少。
师:这两个“几”表示的数量一样吗?(生:不一样!)
教师用不同颜色的笔标出两个“几”,以示不同:这道题知道“几”是多少,求“几”是多少。
小结:求“几”是多少,可以寻找的条件有( )或者( )。
【上面教学环节中,有学生只说出一半的话“知道了2 支……”像一重锤,把其他学生保持了5 个学期的平衡破开了一个口,产生了“鲶鱼效应”,启发和激发了每一个同伴重新审视自己的认知,探寻另外一种可能。经过自己的思考和群体思维的碰撞,原来狭隘的认识得到矫正,添加了一种新的认识——知道“几”也可以求“几”。至此,寻找解决问题的方向从一个维度变为两个,应用题新的构成要素和框架重新建立平衡,但是,这个刚刚建立起的平衡还是比较弱的、不甚牢固的。】
三、2“立”——求“几”,先求“1”
师:刚才第一步用10÷2=5(元)的目的是什么?
生:把知道“几”是多少,变成已知“1”是多少。
师:这实际上是用转化的思想把“知道‘几’,求‘几’”简化为“知道‘1’,求‘几’”。
总结:知道“几”是多少,求“几”是多少的解答思路是什么?
生:知道“几”是多少,求“几”是多少,先求出“1”是多少,再求“几”是多少。
教师板书箭头和步骤序号,形成如下板书,建立知道“几”求“几”的第一种解决方案。
师:也就是说,要求几份是多少,既可以寻找相对应的1 份是多少,也可以寻找几份是多少。
补充板书如下:
【通过这个环节的跟进学习,不仅使刚才建立起的弱平衡(归一问题结构框架)得到强化,还打通了“知1 份”和“知几份”间的联系,形成了解决归一问题的基本方案和流程,使认知的新平衡更为丰富、完整和稳定。】
四、2“破”——还可以怎么样想?
教师指着黑板上的题目和解法问:“2 支笔10 元钱,8 支笔多少钱?”难道只能这样做吗?还有别的方法吗?你做做我看看。
学生独立思考,自行尝试各种办法。(教师巡视,不断激励和引导学生,并收集学生的作品。)
展示学生作品:
8÷2=4 10×4=40(元)
8÷2=4(个) 10×4=40(元)
8÷2=4(支) 10×4=40(元)
8÷2=4(份) 10×4=40(元)
师:最后的结果都等于40 元。这种做法极可能是对的。现在最重要的是,我们必须理解透它的每一步表达的意义。第一步“8÷2”是想先求什么?得数4 后的单位到底是支,是个,是份,还是什么都不是?(大多数学生都非常茫然)
【第1 次打破的是解决问题的前提和结构,这次打破的是解答归一问题的策略和方法。】
五、3“立”——先求“倍”,再求“几”
师:大部分同学都不会。画图可以帮助我们分析和理解。我们一起画:用1 根竖线代表1 支铅笔,2 根竖线就代表2 支笔。为了便于对比,我们在第二行对应着画出要求的8 支铅笔,这样便于对比和分析……
最后形成的板书如下:
【其实,这个学生此时处于认知的“次平衡”状态。她通过观察绝大多数同学和教师的反应知道这种解法是对的,但是自己又想不明白,经过短暂的挣扎与矛盾之后,不排斥但也不接受,处于一种中立状态,即认知的次平衡状态。】
教师指着学生一开始的反馈问:把已知的2 支看成一盒,8 支就相当于4 盒;把2 支看成……
学生:把2 支看成1 份,8 支就是4 份……
教师把原来的板书改为:
8÷2=4 倍 8÷2=4(对) 8÷2=4(组) 8÷2=4(份)
(这里的倍不需写,简写为8÷2=4)
师:知道“几”是多少,求“几”是多少的第二种解法是什么?
生:先求要求的那个“几”是知道的那个“几”的倍数,然后再求“几”是多少。
教师板书:
小结:知道“几”是多少,求“几”是多少。到目前为止,同学们思考出了两种解决路径:路径A 是先求“1”是多少,再求“几”是多少;路径B 是先求倍数,再求“几”是多少。
【“倍比”与“归一”是显著不同的两种思考,对三年级学生而言是很有挑战性的(教材上没有编排),而一切富于挑战性的事物或活动都有着深刻的心理动力学意义。课堂上学生积极投入的热情状态,以及解决问题后的兴奋都表明:学生是非常享受这种挑战带来的刺激的。】
六、3“破”——“倍”感不适
教师随手在黑板上写出一道题:24 支笔120 元,8 支笔多少钱?
第一步,学生判断出这道题属于知道“几”是多少,求“几”是多少。
师:这样的题,你有几种解决路径?试一试。(学生独立尝试练习)
学生作品1:120÷24=5(元) 5×8=40(元)。(教师让学生说自己的思路)
学生作品2:24÷8=3,3×(学生抓着头叙述完自己的思路:我先算24 支笔是8 支笔的几倍,求出来是3 倍。再算8 支笔的钱,我想用3×120,可是我一口算得360元,8 支笔不可能是360 元呀,我也不知道怎么回事,就没往下写。)
教师引导其他学生一起思考该学生的问题,找出问题到底出在哪里。
【学生刚刚建立的“先求倍数,再乘”的认知再次失衡,让学生“倍”感不适,又欲罢不能,再次平衡的渴望促使他们更为积极地思考和探索“问题到底出现在哪里”。】
七、4“立”——全景倍的关系和运算
学生作品3:24÷8=3,120÷3=40(元)。
师:她这个结果是40,奇怪,我们原来做的这些题算出了倍数后,不都是乘吗,她怎么除了呢?你自己琢磨琢磨,小组间也可以商量商量。
最后,所有学生都明白了,并做了如下讲解:
这道题知道的这个“几”是多的,求的那个“几”是少的。这里的3 倍,表示知道的这个钱是3 份,求的钱才是1 份。知道3 份是120,求1 份,用除法,不用乘法。(听课教师自发鼓掌)
教师让几个小组把这个思路阐释几遍后,问:那先求倍数,再求“几”的这种思路,什么时候用乘,什么时候用除,你们能总结一下其中的规律吗?
生:把知道的那个“几”和要求的那个“几”比,如果知道的“几”少,用乘法,如果知道的“几”更多,用除法。
【此时,归一应用题的“倍比”解法再次得到矫正、补充,倍比解法重新获得平衡。】
八、4“破”——倍之路“彻底不通”
师:数学和世界上所有的事情一样,总有出人意料的时候,3 支笔15 元,8 支笔多少钱?请问:知道什么,求什么?
师:请用你们探索出来的第二种方法解答。
生(议论纷纷):这怎么求啊?8除以3除不尽啊!……
师:是的,现在你除不尽的,未来你才能解决。回头再看你们总结的规律:知道“几”是多少,求“几”是多少的,先求倍数,再求“几”,有不同意见的或者补充说明吗?
生:补上“除得尽的,可以先求倍数,再求‘几’;除不尽的只能先求‘1’,再求‘几’”。
师:课上到这里,大家有什么感受?
生:用求倍的方法解题时,要看是否除得尽,看求的几比知道的几大还是小……
【学生看待问题、分析问题的角度更加全面和完整了。】
九、5“立”——柳暗花明又“两村”
师:再思考,3 支笔15 元,8 支笔多少钱?除不尽是不是用“倍”解也有可能?是不是还有第三种、第四种解决路径?
这时候,很多学生一脸惊呆了的表情,大呼:“什么!除不尽,还能?”
教师无比坚定地说:“能!绝对能!先独立思考,实在行不通,合伙解决!”
【学生此前历经了5 次的“行—不行—另辟蹊径—又不行—……”过程,这些学习经验会让他们坚定地认为一定有第三种、第四种,甚至更多的方法,而这些未知的方法对全班而言都是“空白”。当人对某事物全部或部分属性的认知处于空白时,会本能地想添加对此事物的属性的认知,这种心理本能就是好奇心,而好奇心是“一种不依赖外在报偿便能促成某种行为的强烈内在动机”,可以充分诱发学生自觉、积极、专注投入新属性的探究,果然不出所料,学生们的创造之火接连迸发了……】
小组1反馈:是不是可以这样求,8÷3=2倍……2支,先求2 倍的钱,15×2=30 元。再求剩下的2 支的钱,用15÷3 求1 支5 元,2×5=10 元。30+10=40 元。
教师组织学生配合作图以充分理解这个小组的思考过程。
其他小组提出自己的看法:太麻烦了,你已经求出了1 支5 元,为什么不直接乘8 支呢?
教师引导和激励:同学们,这种求法虽然麻烦,但是这个小组给我们提供了一种新的解决路径和方法,这比什么都可贵!我们有A 想法,先求“1”;B 想法,先求倍。而这个小组……
生1:又求“1”,又求倍。
生2:它们的想法是A+B。
师:太牛了。把A、B 两种方法结合起来,变成一种新的方法A+B,这就是整合、综合,也是创新!掌声鼓励!
生3(受此启发):我还有一种方法!把8 支笔看成9 支……
学生反馈:
师:天哪,你们不仅发现了A+B,还进行了假设。所以第四种解决方案就是……
生:A+B+假设。
【至此,学生经历了5 次突破和改变,经历了从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验了解决问题方法的多样性,掌握了多种分析问题和解决问题的基本方法,感受到了数学中更多的可能性,体会到了思维、创新和成功的快乐,达成了课前预设的“增强兴趣、开阔视野、完善思维、学会思考、激发创新、开慧启智”学习目标。】
十、全课盘点和总结
整堂课主要引导学生明确四种解决问题的方法和思考过程,感悟到每一道数学题都有很多解决的方法,感悟四种方法中蕴含的转化、假设等思想。
十一、4“破”5“立”
师:第三种“A+B”和第四种“A+B+假设”的解决方案,都是因为8÷3 不能得到整倍数,我们进行了转化和变通。其实,将来学了分数和小数之后,你们会有新的解答方法。比如,8÷3 就等于三分之八倍,这个不会没关系,因为要到六年级才学。当然,感兴趣的同学课后可以继续研究。【学生目前暂时不懂笔者为什么还要“拎”出来,教给学生呢?笔者的目的是给学生打开一扇窗,让他们再多“看见”另一种可能,为未来的学习(六年级)播下一粒认知的种子。这粒种子孕育于“破立”之间,终有一天,会在合适的季节发芽、破土、长大、开花、结果!笔者深信那一天一定会到来!】