数学概念的形式化与教学思考——以初中数与代数的概念为例*

韩诗贵 (江苏省锡山高级中学实验学校 214177)

形式化是数学的基本特征，在数学中无处不在，它贯穿于数学的产生、发展、应用等过程中．所谓数学形式化是一种用符号或符号的方法或技术来改进数学表达，对数学语言、理论进行整理、修正、转化和组织的过程．简言之，数学形式化就是以符号为基础的一种数学表达．我们知道，一切方法性学科都是形式化的，只有暂时舍弃各种具体内容而专门研究其形式，才能使方法性学科获得独立发展，并走在应用前面．数学是工具性学科，也是方法性的学科，这决定了它必然也是形式化的学科．

在初中阶段的数与代数中，常见的数学形式化有概念形式化、公式(或法则)形式化、计算(或推理)形式化等．其中，概念形式化是其他形式化的基础．所谓概念形式化就是在自然语言符号化的基础上，舍弃概念包含的具体内容，抽象出的一种形式化的逻辑关系或结构．简而言之，概念形式化就是用符号语言表征概念的一种形式．本文结合初中数与代数中的具体实例，谈谈概念形式化的形成过程，以及如何帮助学生理解概念形式化等问题．

1 概念形式化的形成

在初中数与代数中，概念形式化通常是概念内容的一般化的结果．例如，2

n

,2

n

+1分别是偶数和奇数的形式化，也是具体偶数和奇数的一般化结果．又如，数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，用符号“| |”表示绝对值，“|

a

|”表示绝对值概念的形式化．像这样的形式化常常是先以自然语言定义概念，引进字母后才有一般化的结果．另外，还有一些概念的定义中包含了一般化的结果

.

如“式子叫做二次根式”“形如

y

=

kx

+

b

(

k

,

b

为常数，且

k

≠0)的函数叫做一次函数”，等等，在具体教学中，等形式从定义中逐渐分离，应用到与概念相关的问题中．

2 与概念形式化相关的内容及教学思考

概念形式化简约了概念，使数学表达更清晰、更流畅．概念形式化与符号密切相关，与概念的内容密切相关．而概念定义、概念性质、概念应用等相关知识的学习过程，是理解概念形式化的过程，也是概念形式化从理性抽象走向理性具体的过程．

2.1 概念形式化中的符号

由于概念形式化是基于符号的一种数学表达，所以理解相应的符号的意义及其运算关系成了理解概念形式化的基础．例如，理解一次函数的形式化

y

=

kx

+

b

，需要理解这里的

k

,

b

为实数，且

k

不等于零，

x

,

y

表示变量，还需要理解

kx

表示

k

与

x

相乘(省略了乘号)，甚至“+”“=”等运算符号．又如，二次根式的形式化中，需要理解

a

的适用范围，还需要理解符号的双重意义：一则是对象意义，即代表一个数的算术平方根，像表示4的算术平方根；二则是操作意义，代表一个操作过程，如代表求4的算术平方根的运算，即

2.2 概念的形式与内容

我们知道，任何事物都有内容，也有形式．概念的形式化可认为是概念的形式．例如，

ax

+

bx

+

c

=0是一元二次方程的形式，其内容包括

x

=2,

x

(19-2

x

)=24,5(1+

x

)=9

.

8,

x

+(

x

-1)=25等具体方程．从哲学的角度看，形式和内容是对立统一的．

首先，内容是易变的，而形式通常是稳定的．例如，上述例子中，具体的一元二次方程是不同的、可以变化的，但它的形式却是稳定的、不变的．

其次，同一内容可能不止一种形式．如和

y

=

kx

都可认为是反比例函数的形式．第三，内容决定形式，形式反作用于内容．譬如，

ax

+

bx

+

c

=0是概念形式化抽象的结果，也是由具体方程

x

=2,

x

(19-2

x

)=24,5(1+

x

)=9

.

8,

x

+(

x

-1)=25等高度概括的结果，所以说，一元二次方程的形式化依赖其具体内容．反过来，对一元二次方程形式化的理解和应用有助于进一步理解概念，有助于准确识别具体的一元二次方程．第四，形式与内容有时还会相互转化．例如，5(1+

x

)=9

.

8相对于具体问题是形式，但是对于

ax

+

bx

+

c

=0而言，它却是内容．又如，等分别是不同函数的形式，但它们又都是函数

y

=

f

(

x

)的内容，而

y

=

f

(

x

)是其形式．

可见，概念内容与其形式化相互影响，重视概念的内容有助于理解概念形式化．

2.3 概念形式化与概念定义

我们认为，概念形式化与概念定义都是概念的表征形式．在概念的教与学中，概念定义常常是概念学习的起点，而纵观概念形式化的形成过程，概念定义通常也是其形式化的起点．所以，重视定义的教学是概念学习的需要，也是理解概念形式化的需要．

首先，重视相关素材的选择

.

例如，在二次函数定义的教学中，选择具有典型性、代表性的函数有助于学生提炼、概括定义，同时，也有助于学生形成概念的形式化．其次，素材反映的内容应该贴近学生的实际，贴近学生的最近发展区

.

例如，二次函数定义的教学中，选择的实例最好取材于学生的生活或学生感兴趣的问题，另外，问题的类型最好也是学生熟悉的、容易理解的，这样才有更充裕的时间突出重点、突破难点，提高定义教学的效率，加深概念形式化的理解．第三，重视概念定义的形成过程

.

教学中，结合具体的实例概括定义的过程是发展学生抽象能力的过程，通常也伴随着概念形式化的抽象过程．因此，避免直接讲授定义，避免机械背诵定义，重视学生对概念定义的个性化理解，是定义教学的需要，也是学生理解概念形式化的基础．

2.4 概念形式化与概念性质

概念性质的学习常常离不开概念的形式化．

首先，形式化简化概念性质的表征．例如，绝对值的性质：(1)正数的绝对值是它本身；(2)负数的绝对值是它的相反数；(3)0的绝对值是0．我们常常用概念的形式化简化性质，即：(1)当

a

>0时，|

a

|=

a

；(2)当

a

<0时，|

a

|=-

a

；③当

a

=0时，|

a

|=0．其次，形式化优化概念性质的证明与探索．例如，一次函数的性质：在一次函数

y

=

kx

+

b

中，如果

k

>0，那么函数值

y

随自变量

x

增大而增大；如果

k

<0，那么函数值

y

随自变量

x

增大而减小．又如，一元二次方程求根公式、根与系数的关系等知识的证明与探索均是以一元二次方程的形式化为起点．

2.5 概念形式化与概念应用

学习者理解概念的形式化，感悟形式化的力量，以及对形式化的认识从理性抽象到理性具体等过程，主要是在应用中完成的，或者说是在不同情景、不同层次中应用多次才能完成的．从心理学的角度看，概念形式化的应用有低层次和高层次的区别．概念形式化的低层次应用主要体现在知觉和记忆等方面，表现为概念形式化的简单辨析、识别等．

例如，下列函数中，有哪些符合

y

是

x

的反比例函数？

(4)

这样的判断是对概念形式化结构和内涵的辨析，较少会涉及其他概念或命题．而概念形式化的高层次应用体现在思维和创新能力等方面，表现为概念形式化在问题解决中的应用．由于问题解决涉及的概念、命题较多，所以这样的应用通常是一个比较复杂的过程，需要学习者根据实际问题提供的信息去激活、提取和筛选与之相关的知识和方法，并将其与当前问题联系起来．

图1

例如，一次函数的应用问题：某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费

y

(元)与行李质量

x

(kg)之间的函数图象如图1所示．求旅客最多可免费携带行李的质量．解决问题时，通常设

y

=

kx

+

b

，可得求得函数表达式为当

y

=0时，

x

=10．问题解决的过程应用了一次函数的形式化，也应用了一次函数图象、二元一次方程组等知识

.

当然，也可能会有学生这样求解析式进而求解．也就是说，高层次应用常常是一个个性化的过程，也是与其他已有知识或结构建立联系的 过程．可以说，概念应用是概念形式化从理性抽象走向理性具体的必经过程，它具有无法替代的作用．

3 结语

在初中数与代数的教学中，随着学生符号意识和符号应用能力的增强，形式化逐渐成为数学学习与研究的主要内容．形式化优化了思维过程，提高了思维效率．其中，概念形式化是基础，常常也是概念教与学中无法回避的过程．因此，概念形式化是概念学习的需要，也是数学学习的需要，更是发展学生数学素养、为未来发展奠基的需要．