引导学生学会编题 构建深度学习课堂
2022-04-21201106上海外国语大学闵行外国语中学叶慧勤
中学数学 2022年4期
201106 上海外国语大学闵行外国语中学 叶慧勤
高中新课程、新教材的改革坚持“以学生发展为本”的教育理念，该理念强调学生在教学中的主体性、参与性.
数学家波利亚说：“问题是数学的心脏.
”问题的研究就是数学研究的核心内容，正如康托尔所说：“‘提出问题’的重要性远比‘解答问题’的重要性高.
”根据建构主义理论，学习的主动性是掌握知识的一个重要的前提条件，可见，激发学生的数学学习动机是非常重要的.
充分利用数学问题让学生参与到数学习题的编制过程中，能够调动学生学习数学的积极性、主动性，从而激发学生高质量完成学习任务的动机，可以让学生从学习准备到学习过程再到学习反馈各个环节都能积极能动地进行，使学生在数学学习过程中真正达到高效学习的状态.
引导学生进行编题也可以培养他们深度学习的习惯.
深度学习是一个动态的学习过程，需要不断总结规律，发现关键特征，由此发现问题的本源，把握问题的本质.
引导学生发掘编题的乐趣，与学生一起探究编题策略是培养学生创新意识和创造力的有效做法.
学生参与编题就是在数学学习过程中，根据所学的概念、公式、法则、方法的理解，在给出某个数学对象(如数字、图表等)的基础上，进行再加工、再创造，用文字语言进行数学建模，编拟数学问题.
在这样的学习过程中，教师引导学生善于把握数学问题本质，实现知识的有效建构，学会从数学角度思考问题，这种深度学习让学生感受数学魅力，教师与学生一起合作探究，在编题策略视角下，构建数学深度学习课堂.
笔者在高三教学中尝试设计了引导学生编题的两节单元系列课，遵循“以学生为主体，教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，教师在教学中采用启发式教学法，学生采用探究式学习法，在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与，体验探究之旅.
一、 创设导学情境，促进自主发展
创设质疑的问题情境，引导学生在模仿中编题.
笔者在一节数列复习课上进行了探究式编题教学的初探，学生思维的广度和创造力超出笔者的想象.
在复习完等差数列的通项和性质后，笔者引导学生根据等差数列的定义和递推关系，变差为和，即“若在一个数列中，如果从第二项开始，每项与它前一项的和都为同一个常数”，学生将其自定义为“等和数列”.
这样的“等和数列”具备怎样的性质？提出质疑后，学生模仿等差数列，自编了如下一道题.
编题1.1
已知在探究等差数列时，学生通过枚举的方法发现等差数列的规律，同理，学生枚举出这个“等和数列”的规律2,3,2,3,…,猜想此数列周期为2.
接着学生模仿周期函数的证明来证明这个数列的周期性，即n
≥3时，a
+a
-1=a
-1+a
-2=5,得a
=a
-2,即周期为2.
又a
+a
=5,a
=2，可得a
=3，从而通项学生模仿等差数列的概念变差为和，自定义出“等和数列”，用研究等差数列的方法研究出“等和数列”的规律，还有学生自发将“求通项a
”改为“求前n
项和S
”.
在笔者的引导下，学生自编自解，参与课堂教学的主动性和积极性被调动了起来.
课堂进行到这里，笔者预设会有学生主动类比等比数列的特征，变比为积，自定义“等积数列”，果然有学生自编了如下题目.
编题1.2
已知该生模仿以上研究方法得到
在这节课中，有三个小组的创造力超出笔者的想象.
小组1
学生的总结如下.
编题1.3
类似为常数(a
、c
为常数)的数列都是周期为2的数列.
小组1成员从特殊解题方法推广到一般规律，学生边思考边归纳，探究问题的本质.
小组2
生1：若满足递推关系a
-1+a
=a
+1(n
≥2,n
∈N
), 即a
+a
-1不是常数，如何解决？生2：这是一个二阶递推关系，需要已知前两项的值才能将这个数列确定下来，以如下题目为例.
编题1.4
已知著名的斐波那契数列求a
.
可用特征根法或数学归纳法求这个数列的通项a
, 用数学归纳法证明就是先求出此数列的前几项值为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…, 归纳出通项公式再证明得生2的推导过程让笔者感叹学生思维的深度，但更让笔者叹服的是生2知识面的宽广.
斐波那契数列又称“兔子数列”，这是因为斐波那契以兔子繁殖数为例子引入此数列.
数列中，当n
趋向无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金比例0.
618，所以也称黄金分割数列.
此数列在自然界有很广泛的体现，有许多花的花瓣数就遵循斐波那契数列规律，譬如雏菊、百合花、蝴蝶花等.
为什么这些花朵的花瓣数会与此数列如此巧合呢？或许这既是自然界长期进化的结果，也是植物排列种子的“优化方式”，它可以令种子排列疏密得当，不至于圆心处挤太多种子，而在圆周处却又稀稀拉拉.
此时已有很多学生对斐波那契数列产生兴趣，笔者马上布置了一项探究性作业，请学生探究斐波那契数列在金融、艺术、美学、生物、科技等领域的运用，以小组为单位整理成调查报告.
学习小组2的成员不仅将所学内容进行迁移，同时学以致用，在生活中体会数学思维之美.
小组3
小组3在生1提出的递推关系上进行改编.
编题
马上有学生用“等和数列”的研究方法枚举并证明a
是周期为6的数列，其中前6项为1,1,0,-1,-1,0.
这节课进行到此，学生的学习热情和积极性已达到饱和.
学生在模仿中编题，不仅填补了对数学知识的理解漏洞，也在改编过程中体悟到研究问题的一般方法，获得成长与成功的体验，增强数学学习的信心与兴趣.
这种自主教育是以“生趣”为导向的自主发展，笔者引领学生开始感受数学深度学习的乐趣.
二、创设乐学情境，促进深度学习
创设真实情境，以优质主问题驱动，让学生乐学善思、悟学省思.
笔者在复习数列章节时尝试了探究式编题教学后，又进行了第二次尝试，设计的数学学习活动从“解题”走向“解决问题”.
高中数学教学中有许多可以运用类比法进行变式的知识点，如由等差数列类比到等比数列、由椭圆类比到双曲线、由特殊类比到一般、由平面图形类比到立体图形等.
教师可以引领学生通过类比现有问题进行整理归纳，从而推广出合理的新问题.
相对于解题而言，学生参与编题实际操作难度更大一些，更需要举一反三、模拟创新的能力.
教师可引导学生运用类比法、等价变换法、只换条件、只换结论、条件结论都换、条件结论互换、弱化条件、强化条件等方法进行编题.
笔者在第一课时结束时罗列了涉及函数、数列、解析几何、向量、立体几何等章节的适合改编的五道例题，让学生利用小组合作的学习方式，对选中的例题进行改编，学生亦可自己选择合适的题目进行改编.
在第二课时，学生从“解题”走向“解决问题”，解决问题的过程就是主动探究事物本质、体会数学建模的过程.
笔者从小组提出的改编方案中选出一个作为第二课时教学内容，真正实现教学内容从学生中来回到学生中进行探究解决的教学路径.
笔者通过不同章节的课堂让学生体验编题的乐趣，体会探究问题本质的成功感，学生通过变式让同一事物呈现多样性，进而找出事物的本质特征.
原题由笔者提供，课前笔者与学习小组的五位学生一起讨论，迸发思维的火花，学生通过改变叙述角度、改变解题视角、改变设问方向、创设变静为动的问题情境等策略对例题进行改编.
原题
已知函数f
(x
)=x
+ax
+b
, 存在实数x
, 且有|x
|≥3, 使得f
(x
)=0, 则a
+b
的最小值是________.
生3的解法不同于常规的直接法，他的解题视角是分析转换法，将关于x
的一元二次方程转换成关于变量(a
,b
)的直线l.
生3通过此转换，换一个角度解决问题，另辟蹊径，将繁复冗长的解题思路变得简洁明了，具体思路如下.
将一元二次方程f
(x
)=x
+ax
+b
=0转换成经过点A
(a
,b
)的直线l
:x
·a
+1·b
+x
=0，此时原问题转换成原点到这条直线l
上的距离的平方的最小值问题.
即令在t
∈[10,+∞)严格单调递增,t
=10时,故a
+b
的最小值是在笔者的引导下，生4小试牛刀，改变叙述角度编题，尽管阐述方式不同，但本质不变，所以此类改编对解题过程没有影响.
编题2.1
已知函数f
(x
)=x
+ax
+b
，函数f
(x
)在(-∞,-3]∪[3,+∞)上存在零点，则a
+b
的最小值是________.
生4改编的此题只要从函数零点的概念入手，就可以得到原题的条件，答案不变，这是用等价变换法编题.
生5的改编幅度更大一些，改变了设问方向，他改编的题目如下.
编题2.2
已知条件不变，则a
+4b
的最小值是________.
设z
=a
+(2b
), 点A
(a
,2b
), 此时将方程f
(x
)=x
+ax
+b
=0, 转换成变量为(a
,2b
)的直线解题思路类似生3求最值的方法.
生5改编的编题2.
2的解题思路与原题中生3解题思路涉及的方法都是分析转化法，即将方程看成关于过点(a
,b
)的直线l
或过点(a
,2b
)的直线l
的方程，所求问题转化为原点到直线l
或l
距离的平方的最值问题，从而达到消元的目的.
编题2.
2改变问题的设问方向，只是将原题中变量为(a
,b
)的直线l
转化成变量为(a
,2b
)的直线l
.
教师总结1：
正因生3、生5发现了此类题解法的本质，才能通过解题思路和规律来建构编题2.
2的条件，这展现出他们思维的广阔性和深刻性.
生6和生7的改编方向是创设变静为动的问题情境.
生6改编得到的题目如下.
编题2.3
已知条件不变，则a
+(b
-3)的最小值是________.
生7改编得到的题目如下.
编题2.4
已知函数f
(x
)=x
+ax
+(b
-3), 存在实数x
, 且有|x
|≥3, 使得f
(x
)=0, 则a
+(b
-3)的最小值是________.
生6是将结论“求a
+b
”改编成“求a
+(b
-3)”,若设点A
(a
,b
),生6在生3解题思路基础上将原点O
(0,0)向上平移至P
(0,3),则问题转换为P
(0,3)到直线l
:x
·a
+1·b
+x
=0的距离的平方,接下来的解法类似于生3.
与原题相比，生7的改编在条件中将方程f
(x
)=0, 转换成直线在结论中原问题转换成点P
(0,3)到直线l
的距离的平方，这里同条件中的平移方向一样，原点尽管条件与结论都创设了变静为动的情境，但已知与所求的几何图形都在原题基础上同时向上平移了3个单位，所以答案与生3一样.
生7是从几何图形平移的角度化归，亦可以从代数方法化归，可设b
-3=B
，则此题即为“已知函数f
(x
)=x
+ax
+B
，存在实数x
，且有|x
|≥3，使得f
(x
)=0，则a
+B
的最小值是________.
”转化为原题，得答案为教师总结2：
生6、生7用“形”改编好题目后，不仅能用“形”来解决，亦可用“数”来解决，变静态为动态，以基本图像为“基准点”，通过基本图形的运动将问题转换成更一般的问题，开阔解决问题的视野，发现问题的本质.
在原题基础上，生6、生7化静为动进行自编自答的过程，已经从繁复的具体事物中抽象出事物的本质.
同学们运用编题策略进行改编的学习状态远远超出预设教学目标，这才是真正的学以致用、活学活用.
笔者设计的上述两节课，第一节课是设计好教学流程，通过类比等手段使学生在熟悉的等差、等比数列上进行模仿编题.
第二节课是学生小组成员从笔者上节课结束时所给的例题中选出一题进行改编，通过交流的方式展示不同学生的想法.
等价变换法、只换结论、条件结论都换、变静为动这四种改编形式的运用体现学生由浅入深、由静态到动态的探究过程.
学生深度学习的效果远远超出笔者的想象，学生亲历探究过程，自编自答，通过弱化条件实现由具体到抽象，由特殊到一般，从而归纳出问题的一般解决规律.
学生积极主动地进行有效思考，探究问题的本质，真正实现从“解题”到“解决问题”的转变.
这两节课是以“生趣”为导向的自主发展系列课程，实践证明，笔者设计合理有效、层层推进的教学情境，运用小组合作的方式既调动学生的好奇心和探究积极性，又促进学生形成良好的数学思维能力，表达自身的见解和看法.
笔者将整个学习内容、学习进程都置于情境之中，引发学生思考和探究的欲望，率先激活学生的学习主动性，逐步培育学生的抽象思维和逻辑思维，达到深度学习的效果.
以往教师习惯呈现给学生的数学问题往往是封闭式的结构良好问题，条件不多也不少，答案唯一且确定，这样会让学生囿于定向思维，囿于解决常规的、程式化的数学问题，不善于解决复杂的、开放性的真实问题.
这两节编题课让学生完整经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题—通过改编发现新思维—解决更广泛的一类问题—发现一般规律和问题本质”，这样的深度探究学习过程适当引入具有开放性的结构不良问题，引导学生全面、客观、辩证地分析解决问题，不断发展学生的实践性反思、批判性思维、创造性思维等高阶思维能力.
孔子曰：“举一隅不以三隅反，则不变也.
”这句话强调的就是深度探究、深刻理解的重要性.
越是上位的思维越贴近问题的本质，迁移性越宽广.
更重要的是学生的潜力是巨大的，例如第二节课中学生小组成员的创造力远远超乎想象.
通过引导学生编拟数学问题，这种动态生成的课堂把问题引向深入的研究过程，这是从一个简单的问题出发逐步演绎、深化的过程，是学生主动探究创新的过程.
学生通过小组合作编题讲题，不仅在曼妙的演变中体会学习数学的快乐，促进知识理解，同时深度探究数学问题本质，发掘其隐含的数学思想.
教师通过探究式编题教学构建数学深度学习课堂，在学生自编、自解、自讲的过程中，其数学核心素养也得到培养和提高，这样的课堂才是学生自我生长、指向深度学习的课堂.
