基于知识形成脉络 经历定理生成过程

谢德顺

摘  要：让学生经历定理生成过程是学生掌握定理的有效方法. 本节课设计了从一维线段提出问题到二维三角形发现问题、从特殊的三角形（等边三角形、等腰直角三角形）验证问题到一般三角形论证中位线定理的过程. 以知识的形成规律构思设计定理教学，引导学生经历定理的生成过程，感受思考问题、研究问题的策略与方法，深度引导学生思考，理解数学的核心价值.

关键词：中位线定理;经历过程;探究生成;知识脉络

数学教学中定理教学占据着重要的地位. 定理教学时，许多时候教师不重视定理的形成过程，结论产生突兀，让学生失去了探索的乐趣，既没有达到定理学习的目的，又影响学生追求数学真、善、美的愿景.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程. 除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式. 学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程. 定理教学应遵循知识的形成脉络，化解学习中的难点，遵从问题探索的一般方法，经历定理研究的过程，发现定理产生的本源. 定理研究的过程中激发了学生学习的积极性，引发学生积极思考，掌握恰当的数学方法，学会分析问题、解决问题.

定理教学设计需要教师在遵从学生已有经验的基础上，从学生的认知理解出发，模拟科学研究的一般规律和方法设计定理教学. 笔者就人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册“三角形的中位线”一节课为例深入研究，与大家交流.

一、经历过程，探究发现

一个新定理的产生有其形成规律，有其知识背景、文化背景. 在数学定理教学活动中，要让学生了解定理的来龙去脉，知其然，知其所以然;要打破碎片化的定理认知，经历定理的形成过程，帮助学生构建知识，发展学科关键能力，落实学科核心素养. 定理的学习不能仅仅让学生记住、会用，经历定理的形成过程，让学生学会思考、学会探索解决问题的方法更为重要.

1. 从特殊到一般，经历定理的生成过程

（1）设计思考1.

线上提出问题：如图1，线段上任意一点分得的两条线段中点间的距离等于这条线段长度的一半.

面上发现问题：如图2，把点A从线段BC中提取出来，形成三角形，猜想DE =[12]BC.

（2）教学活动.

问题思考：

① 如图3，线段BC = 10，BC上有一点A，且BA = 4，点D是线段BA的中点，点E是线段AC的中点，则DE的长度是______.

教师追问：线段DE和线段BC有怎样的数量关系？

学生活动：思考并回答，线段DE是线段BC的一半.

② 若取消①中各线段的长度值，将点A改为线段BC上的任意一点（不与端点重合），其他条件不变，则①中的数量关系是否仍然成立呢？为什么？

学生活动：思考并得出结论：①中的数量关系仍然成立.

教师归纳：我们不难发现，当点A是线段BC上任意一点时，两个中点D，E所连成的线段是整条线段BC的一半.

教师引导：我们知道，点和线段的位置关系，除了“点”在线段上，还有“点”在线段外. 同學们观察并思考，若将点A移至线段BC外，此时的图形由线段变化为平面上的三角形，仍然取线段AB的中点D，取线段AC的中点E，连接DE. 当在几何画板软件上移动点A，改变△ABC的形状，观察线段DE，你发现了什么？如图4，线段DE和线段BC的数量关系是否仍然是图3中的DE =[12]BC？

教师活动：操作几何画板软件动态演示，将点A从线段BC上剥离至线段BC外.

学生活动：观察几何画板软件动态演示，猜想线段DE的长度不变，仍然是线段BC的一半.

师：这是一条有意义的线段，我们有必要探索一下这条线段. 为此我们需要给出它的定义：在△ABC中，若点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点，则线段DE就是△ABC的中位线. 你能用自己的语言总结出三角形中位线的定义吗？

学生活动：归纳概念，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

（3）教学反思.

利用学生思维的惯性引导学生猜想结论，从线段的特性到图形的特性，从一维线到二维面，从低阶思维到高阶思维，追根溯源，从问题的本源出发，为生成定义、定理做好铺垫.

2. 从特殊到一般，经历定理的论证猜想

（1）设计思考2.

特殊验证问题：① 如图5，探究等边三角形的中位线与第三边的关系;

② 如图6，探究等腰直角三角形的中位线与第三边的关系.

（2）教学活动.

探究：当点A在线段BC外时，线段DE，即△ABC的中位线，是否仍然是线段BC的一半呢？

教师引导：刚才的结论是由具体的线段计算得出的，对于现在的问题我们是否也能用这样的方式处理呢？我们可以尝试先将三角形特殊化，常见的特殊三角形有哪些？

预设回答：等边三角形、等腰直角三角形.

教师引导：我们可以先用等边三角形进行研究验证：如图7，若△ABC是等边三角形，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE. 则线段DE和线段BC有怎样的数量关系？

学生活动：学生思考，并口答思路.

教师追问：你还发现了什么？线段DE和线段BC还存在着怎样的关系？

学生活动：思考并发现，DE是BC的一半. 除了有这个数量关系外，还存在位置关系——平行，且可验证.

教师引导：若将中位线放置到等腰直角三角形中，刚才的结论是否依然成立呢？

如图8，在等腰直角三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接线段DE. 则线段DE和线段BC有怎样的数量关系与位置关系？

学生活动：学生思考并口述思路.

（3）教学反思.

完备的知识学习、能力的建构需要有一个过程，需要找出知识的生长点. 利用特殊问题带动一般问题的生成，从特殊问题入手，是一种方法，也是研究问题的一种途径.

3. 一般图形探究定理的论证过程

（1）设计思考3.

一般证明问题：如图9，探究一般的三角形的中位线与第三边的关系.

（2）教学活动.

教师引导：我们已经验证了在特殊的三角形中，中位线和三角形的第三边之间存在一定的关系，若将中位线放到一般的三角形当中，刚才的结论是否仍然成立呢？

归纳结论：如图10，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点. 求证：DE∥BC，且DE =[12]BC.

学生活动：思考后作答，然后以小组为单位讨论交流.

教师活动：巡察并适时点拨，鼓励学生用多种方法加以证明. 让学生在黑板上展示，并讲解.

总结结论：三角形中位线定理.

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

在△ABC中，因为点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，所以DE∥BC，且DE =[12]BC.

（3）教学反思.

依据教材内容，以定理的形成脉络为思路（如图11），从特殊的等腰直角三角形、等边三角形到一般的三角形，从简单的线段到复杂的三角形，再从具体问题的解决到形成抽象的定理，让学生经历知识的发生、发展过程，由知识的发展规律自然演变出定义、定理，充分认识知识的价值，体会研究问题的方式、方法（如图12）. 平行只是一个“副产品”，从论证数量关系上自然地引出中位线平行于第三边的位置关系. 从特殊图形归结出它们的关系时，可利用几何画板软件的动态演示使学生更清晰、更直观地发现线段之间的数量和位置关系，体会猜想，引发深入讨论.

二、教学后记

1. 实践探究，丰富学生的知识内涵

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行. 弗兰克林在雷雨天中放飞风筝发现了雷电的性质，爱迪生经数千次的实验发明了白炽灯，李时珍尝遍百草写下流传百世的《本草纲目》……“三角形中位线定理”的探究从解决“线段上任意一点分得的两条线段中点间的距离与这条线段长度的关系”这个旧问题入手，拓展到平面上“连接三角形两边中点的线段与第三条边的数量关系”，再到研究特殊三角形的中位线与第三边的数量关系，从解决这些具体问题的实践中，不断生成新的问题、新的猜想，构想新的论证. 实践证明，知识的形成来自实践，让学生经历知识的形成过程，充分运用已有知识去解决新的问题，让新、旧知识结合起来，灵活运用知识，知识才会灵动起来，才会丰富知识的内涵. 经历知识的生成过程是《标准》“四基”中的一基，是学生完善知识结构的重要环节.

2. 经历体验，发展学生的思维品质

1936年，爱因斯坦在美国高等教育三百年纪念会上的演讲中指出：有时，人们把学校简单地看作把尽量多的知识传授给成长中的一代的一种工具，但这种看法是不正确的……学校的目标应当是培养能独立工作和独立思考、把为社会服务作为人生最高追求的人.“探究—发现—论证”定理的过程中，充分发挥学生的主体作用，自主思考中探求“线段的数量关系与位置关系”，合作碰撞中形成自我观点和认知，充分调动了学生的思维. 例如，在讨论猜想时，可以设计一个开放的问题：你认为一个结论是否正确，应该先从哪里着手思考解决？把问题解决的方案交给学生，给学生较大的思维空间，使不同学生的思维能力获得不同的提升. 数学的“立德树人”应渗透在思维教学活动中. 数学的简、真、美可以陶冶学生的情操;在探求知识的过程、方法中发展学生的数学学科核心素养;在自主合作中使学生体验学习的乐趣，丰富经验，增长见识，开阔视野;在探索研究中培养学生思维的深刻性、广阔性、创造性、敏捷性和批判性;在教学中关注学生的成长，引导学生梳理知识形成脉络，内化迁移所学知识，推动深度学习，发展学生良好的思维品质.

3. 问题导向，迁移内化思想方法

纲举目张，执本末从. 学生的年龄特点决定了学生喜欢具体化的数学问题，通过不断分析问题、解决问题，让学生学会发现问题、提出问题. 好的问题就是给学生搭建引发思考的平台，课堂上从解決系列问题串的过程中，抽丝剥茧地揭示问题的本质特征，抽象形成定理. 在经历问题解决过程中完善学生的知识结构，构建形成知识体系，以此为支架促使学生的思维正向迁移. 从解决一个个问题这条显形线形成“背景探究—定理产生—定理论证—定理应用”这条方法隐形线，渗透数学思想方法第三条线. 在定理探究过程中，让学生经历“独立思考—归纳概括—猜想验证”，培育学生的创造性思维意识.

4. 研究定理，创新定理教学方法

定理教学，教师大都按照教材设置、从命题本身出发学习定理，依照“阅读理解—翻译画图—论证形成—解析应用”这一环节、步骤，教学按图索骥、就事论事，导致学生对定理的认识肤浅，教学功能单一，不能充分发挥定理教学培养学生思维品质、培育数学素养的作用. 重新创设定理教学，教师需要认真挖掘教材，充分研究定理，理解定理内涵，认识定理本质去构思定理教学，让学生经历定理“生成—发现—论证—应用”的过程.

定理的产生有其内在的规律.

案例1：如图13，在等边三角形的学习中，对半切等边三角形可以生成“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”.

应用上述定理的研究方法同样可以研究“三角形的中位线定理”. 如图14，对半切平行四边形可生成“三角形的中位线定理”.

问题1：如图14（1），在[▱ABCD]中，点E为AB的中点，连接EO并延长交DC于点F，点F是否为DC的中点？EF与BC的大小关系与位置关系是_______.

问题2：如图14（2），把图14（1）中的平行四边形的右上部分及OB隐去，则OE与BC的大小关系与位置关系是________.

从三个问题的演变规律自然生成“三角形的中位线定理”.

案例2：学习“三角形的内角和定理”可以从三条线段在一条直线上出发生成“三角形内角和等于180°”的猜想.

问题1：图15（2）中，点C是AB外一点，若把∠CAB，∠CBA分别看作线段AC与AB，BC与BA的夹角，那么∠CAB + ∠ACB + ∠CBA的度数为________.

问题2：图15中，拉动点C离开AB，逐渐变化到图15（3），观察∠CAB，∠CBA，∠ACB三个角的大小变化，猜测∠CAB + ∠ACB + ∠CBA的大小是多少.

图15中的结论明显是180°. 图形从图15（1）到15（3）的变化过程中，学生会观察到∠CAB，∠CBA在变大，∠ACB在变小，三个角的和是180°会自然猜想生成.

定理教学可以结合深度教学，以大单元教学为抓手，教学中要舍得花时间，让学生经历定理生成探索的过程，给教学活动赋予更多的功能，把数学思想方法、数学核心价值、数学的“立德树人”渗透到定理教学的过程中去，定理教学才显得更有意义和价值.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]李海东. 基于发展学生核心素养的初中数学教学[J]. 中国数学教育（初中版），2019（4）：3-8，13.

[3]曹建军. 让学生经历概念抽象的深度思考过程：锐角三角函数概念“真探索”的教学设计改进与思考[J]. 中国数学教育（初中版），2021（7 / 8）：7-12.

[4]吴增生，纪宪禹. 以教学实践问题为导向，进行复习教学策略的系统创新[J]. 中国数学教育（初中版），2021（6）：61-64.