“高观点”视域下优化小学计算教学浅谈——以苏教版“分数乘整数”一课教学为例

石 艳

所谓“高观点”教学，是指教师在实施学科教学时，依据大概念统整、思想性包摄、结构化关联等原则，处理教学内容的一种十分前卫的教学理念。德国数学教育家克莱因认为，数学教师的职责是：“使学生了解数学并不是互相孤立的各个知识点的组合，而是一个有机整体”；教师在教学中应该站在更高的视角，来理解数学教学问题。［1］教师在进行数学教学时的视角足够高，在研究和教授数学相关知识时才能更加从容。在这样的教学思想引导下，小学计算教学应当是在夯实学生计算技能基础的同时，发展学生的计算素养。下文笔者将以苏教版《义务教育教科书·数学》“分数乘整数”一课为例，浅谈高观点视域下优化小学计算教学的基本策略。

一、基于学生认知经验，使之生成计算意义

著名数学特级教师许卫兵指出，从教学经验的角度来看，数学是一门研究“关系”的学科。［2］认知心理学家布鲁纳（J.S.Bruner）认为：“学习就是认知结构的组织和重新组织，组织和重新组织认知结构就是学习如何把握事物之间的联系。”［3］换言之，小学数学计算教学中教师只有抓住知识与计算之间的联系，才能更好地把握小学计算概念的结构，理解数学计算方法和技能结构，促使小学生在学习中自我生成计算意义和计算方法。比如，教师可以通过考察学生的“前拥经验”，理清学生在学习分数乘法计算时会与他们所具有的哪些已有知识建立联系，它们之间又有什么样的结构等问题。教师基于学生的“前拥经验”进行教学设计。学生理解分数乘法计算原理的前提在于其对整数乘法意义的准确理解和掌握，也即乘法是求几个相同加数之和的简便运算。笔者基于学生已有的经验基础，在教学分数乘整数的新授例题环节中，安排了一项学生自主探究实践活动；在实践活动开始前给予学生启发和提示，引导学生按照下列“学习单”（图1）的具体要求展开学习活动：

图1

笔者首先引导学生画图，用直条图（图2）或者线段图（图3）在一米长度的绸带上标示出制作每朵绸花所用绸带长度。

图2

图3

对于问题“求做3朵绸花一共需用绸带几分之几米？”，多数学生根据画图表达的意义，用加法列式计算：也有学生列出乘法算式：

分数连加和分数乘整数这两种列式表达，有助于学生发现和理解加法和乘法间的关系，并引发深入的思考，进而理解分数乘整数就是求多个“几分之几”之和的意义。

笔者所采用的教学方式是首先让学生基于自身已有知识，用加法或乘法计算制作3朵绸花一共需要用几分之几米的绸带，进而理解求几个相同的几分之几之和可用连续加法，也可用乘法来表达出计算的意义，最后理解加法与乘法之间的关系。在此基础上，笔者在后续的课堂教学中就可以顺势引导学生进入新知的学习，学习和掌握分数乘整数的计算方法，并理解其中蕴含的计算意义。笔者通过上述的引导教学方式，能较为顺利地将新知识同化到学生原有的认知结构中，促进学生能够对分数乘整数的意义自我生成新的理解，并初步形成相关的知识认知结构。

二、运用数形结合表征，让学生感悟计算算理

教师要在计算教学中提升学生的思维能力，就需要以“算理直观、算法抽象”的理念为指导组织教学。一些学生计算思维品质不高的原因，就在于其没有深刻地理解相关算理。在本节课上多数学生在课堂学习初始阶段就已经顺利计算出结果，那么在提升计算思维能力上，教师又应该怎么做呢？英国数学教育家茱莉亚·安吉莱瑞在《如何培养学生的数感》（北京师范大学出版社，2012年9月第1版）一书中指出：“教会学生如何找出数字之间的联系，应该是数学教学的当务之急。”因此笔者在这节课的新授环节设计了相应的探究活动，让学生自己画一画，通过结合画图直观地理解算式的算理：

图4

《小学数学课程标准研究与实践》［4］一书指出，算理是计算的原理和依据，算法是计算的基本程序和方法。学生的算法不明，计算技能难以形成，算理不清，算法难以牢固。因此学生理解算理、掌握算法是形成运算能力的两翼。教师在分数乘整数的教学中，让学生理解算理、掌握算法的本质，就是要求学生不仅知道该怎么计算，而且还要明白为什么要这样计算，做到能够在理解算理的基础上掌握算法。根据儿童认知规律，教师通过数形结合的方式表征教学信息，能帮助学生更直观地发现数与数之间的联系，从而达到理解分数乘整数计算中所蕴含算理的目的。

三、勾通不同类型数的联系，建构计算的模型

美国加州大学的吴仲和教授强调指出：教师提高学生熟练解题能力固然重要，然而懂得如何对学生进行数学思维及数学能力的培养，对发展学生的终生学习能力，使之终生受益有更重要的意义。如果学生能够在对数学原理有了正确理解的基础上，自主建立起合理的数学模型图式，并从这个数学模型图式得出正确的数学答案，学生才真正地懂得了相关数学概念。

在分数乘整数的教学过程中，教师可以通过打通其与整数乘法、小数乘法的联系的方式，有效提高学生对相关数学概念的理解。在实际教学中笔者就让学生举出三种乘法类型的例子，笔者为其板书如下图（图5）所示：

图5 “分数乘整数”课堂板书图

在此基础上，笔者让学生通过观察教师的上述板书，领会同学所举例子，然后引导学生思考：上述三道乘法算式有没有共同的地方？在学生思考的过程中，笔者提示学生分数乘整数和整数乘整数、小数乘整数都是运用了转化的原理，三者之间可以进行相互转化，进而引导学生通过观察发现乘法的基本原理就是求有多少个计数单位。此时，笔者再引导学生将三个算式中的计数单位，用圈统一标出来，并归纳整合进行比较，引导学生联想感悟，这样学生就能够发现分数乘整数的乘法、整数乘整数的乘法、整数乘小数的乘法之间的相通之处。上述的教学过程说明不论整数、小数或者分数，这些不同类型形态的数乘一个整数，其算法有着相通之处，即不论计数单位是整数中的“个（一）”，还是如0.1、0.01等小数计数单位，亦或是“1/10”“1/4”这样的分数计数单位，其乘法都是求出扩大若干倍之后一共有多少个相同的计数单位。这样学生在面对不同类型形态的数乘一个整数的计算问题时，就能够借助于（整数、小数和分数）计数单位的概念解答问题，实现了理解上的融会贯通，形成了一个乘法计算的理解模型。

教师在例题教学中联系情境，引导学生分析问题，同列对比整数乘法、小数乘法与分数乘法，可以丰富学生的感知材料，帮助学生初步建立计算模型，构建新知与旧知之间的联系，进而帮助学生内化对整数乘法、小数乘法和分数乘整数乘法中计算单位意义的理解，并能够进一步发展出相关数学模型，促进了学生对分数乘整数新知实质的深层理解。

四、迁移情境举一反三，提升应用计算的素养

学生在能够熟练掌握解题方法后，教师应引导学生持续提升抽象概括程度，以培养学生的数学一般性能力和素养，最终使学生真正懂得数学原理和数学本身，这种教学方式才能满足学生实现终生发展的需求。为了让学生能够更好地理解分数乘整数数学列式的意义，教师可以结合例题引导学生合理地创造与生活实际紧密联系的情境，自编具有实际意义的相关应用问题，这样学生才能真正将所学数学模式，演绎迁移至实际生活，能够举一反三地解决实际问题，以使学生的数学认知发生内在的实质性知识迁移，学会灵活应用相关数学知识，从而有效提升数学素养。

在小学计算教学高观点的视角下，教师在课堂上要重视引导学生审视知识的来龙去脉，理清知识演绎的脉络；要带领学生准确掌握相关数学知识间的内在联系，找准学习起点和认识发展的方向。课堂上，教师结合图形进行教学，使学生对算理的理解由浅入深、由表及里，进而抓住计算教学的本质，使学生在加深理解的基础上，将相关数学知识灵活应用于实际生活中。教师通过上述多种方式优化计算教学，可以有效促进学生计算素养的发展，为学生的终身学习和发展打下坚实基础。