一次同课异构教研活动的思考
——“等比数列的前n项和”教学点评
2022-04-18四川宜宾市叙州区第二中学校644600康中君
四川宜宾市叙州区第二中学校(644600) 康中君
一、课例呈现
第一位教师的教学简况:
1.复习回顾
(1)等比数列的定义;
(2)等比数列的通项公式。
2.情境引入
引入有关古印度舍罕王与宰相西萨·班·达依尔的国际象棋故事。
引导学生分析问题,发现问题:
由于棋盘每一格的麦粒数都是前一格的2 倍,共有64 格,则每一格所放的麦粒数依次为1,2,22,…,263,S64=1+2+22+…+263。这个算式的结果是多少呢?
3.知识讲解
探究等比数列的前n项和公式。
4.典例精讲
[例1](1)求下列等比数列的前8项和。
(2)欣赏诗词,解答问题。
远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,
共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
(3)求1+a+a2+…+an(a≠0)。
5.小结
等比数列的前n项和公式。
方法:错位相减法。
第一步,等式两边同乘公比。
第二步,错位、作差。
第三步,化简得结论。
6.作业布置
已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,求的值。
第二位教师的教学简况:
1.新课引入
(文字叙述同样的国际象棋故事)
问题1:国王能实现他的诺言吗?
追问:上述问题本质上是属于数列中的什么问题?(数列求和,等比数列的前n项和)
2.概念形成
问题2:在解决等差数列的前n项和问题时,通过什么方法来实现运算方式的转化?最后运算简化到什么程度?
问题3:求等比数列的前n项和时,你希望通过运算方式的转化后把运算简化到什么程度呢?
简化到只要给出首项a1,末项an或者公比q,以及项数n,即可求和。
问题4:求等比数列的前n项和时,你能否找到一种方法来转化运算方式,从而简化运算?
追问1:等式右边求和运算困难的原因是什么?(省略号的存在,项太多)
追问2:等式右边的项太多,怎样才能使其变少?(转化运算方式,消项)
追问3:观察等式右边,任意相邻两项之间有什么关系?(前一项乘以q得后一项)
追问4:只要找到相同的项作差就能消项,怎样才能找到相同的项?
3.概念深化
问题5:在消项的过程中,等式两边必须乘以公比q吗?(可同乘以
问题6:等比数列前n项和Sn与前n-1 项和Sn-1有什么关系?
等比数列的前n项和公式:
问题7:你能通过等比数列的前n项和公式求出国王应该赏赐的麦粒数吗?
注意:
(1)q=1与q≠1两种情况;
(2)公式Sn=有4个量;
(3)n是项数而非指数。
4.应用探索
[例1]同第一位教师应用的例1。
[例2]某商场今年销售计算机5000 台。如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30 000台?(结果保留到个位)
[例3]如图1,为了估计函数y=9-x2在第一象限的图像与x轴,y轴围成的区域的面积X,把x轴上的区域[ ]0,3 分成n等分,从各分点作y轴的平行线与函数图像相交,再从各交点向左作x轴的平行线,构成(n-1)个矩形,下面的程序用来计算这(n-1)个矩形的面积的和S。
图1
(1)程序中的AN,SUM 分别表示什么?为什么?
(AN 表示第k个矩形的面积;SUM 表示前k个矩形的面积的和。)
(2)请根据程序分别计算当n=6,11,16 时,各个矩形的面积的和。
5.小结
问题8:这节课主要学习了什么内容?
(1)“错位相减法”在简化运算时的操作方法;
(2)用“错位相减法”推导出等比数列的前n项和公式;
(3)等比数列的前n项和公式的两种形式;
(4)计算机循环结构可用于数列描述,也可用于数列求和;
(5)数学方程思想,无限逼近的思想。
二、课例对比
(一)课堂结构相同
两位教师都是采用“情境引入课题、推导公式、应用知识、课堂小结、布置作业”这样的教学流程。作为常规课例展示,这样的安排没有特别出彩,中规中矩。学生能在情境中抽象出数学概念,积累从具体到抽象的活动经验。情境引入后的问题分析,可以认为是发现问题,S64=1+2+22+…+263这个算式的结果是多少?是提出问题,推导结果的过程是分析问题,得到求和公式再回归问题本身是解决问题。这里展示了“四能”要求,对学生的数学学习是一种示范。用故事引入,可能是很多教师的首选。但是,从“能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题,感受数学模型的现实意义与应用”来看,也可以选择如储蓄方面的例子。
(二)内容大同小异
两位教师在教材内容选择上基本相同,只是对例题的使用思考不同。第一位教师只选择了例1,第二位教师选择了例1,一句话带过例2,重点探究例3。新课标要求“领会教材的编写意图及编写特点,体悟教材的呈现方式、教学价值及评价功能,在此基础上,根据不同的内容、学习任务和课型,结合自身特点和学生学习行为及现状的差异性,对教材进行有必要的重构”。结合学生实际,本节课在推导公式之后,注重求和公式的应用,结合等比数列通项公式,扎实进行基本量的计算才是重点要做的工作。例3 对数列求和有体现,但并非等比数列求和;例3 的呈现包含了程序,这是学生没有接触过的内容,因此对例3的使用要有变化;例3展示了求曲边三角形面积的一种思想——极限思想,高一学生理解有难度,需要教师想办法展现数学知识、方法和思想与实践应用的紧密联系。根据新课标“在教学中要充分体现数学来源于实际、应用于实际,突出数学的综合性和应用性”。如果不用例3,而用例2会更好。
(三)措施基本相同
两位教师都使用课件,都有学生动手、师生互动。在公式的推导过程中,第一位教师使用了视频,学生通过观看视频进行学习,有新奇性。为了直观展示例3 中n的变化发现面积特点,第二位教师用了一个图形程序。新课标强调,课堂要充分有效地运用图表、模型等教具、学具,增加直观性,根据学生的学习需要适度使用现代教育技术,提高课堂教学效率。在学法方面,引导学生主动思考、积极提问和实践探究,促进学生思维发展,激发学生的创新意识,两位教师都做得很好,都详细讲解了例1 的第②小题。笔者认为还是要求学生自己完成或合作完成比较好。
(四)教学过程有差别
两位教师的课堂结构、教学内容选择基本相同,教学过程有差别,主要反映在课堂推进方面,这里只对比公式的推导。第一位教师基本是教材的原装呈现,在树立“用教材教而不是教教材”观念方面做得不够。第二位教师通过问题2到问题6以及4 个追问使得概念的生成、公式的推导非常精彩。这样显然有利于促进学生善于观察、大胆猜想、严密思考,形成良好的数学学习习惯,有利于提升学生的数学关键能力和数学素养。
要提升学生的数学关键能力和数学素养,教师就要在教材的基础上,挖掘素材内涵,从多角度、多层次进行观察、思考,无论是解决问题的多种方法展示,还是展示解决问题的思维方式,都要精心设计。设问、追问也是培养学生数学学习方法、思维方式和思维习惯的好方式,第二位教师在这些方面做得比较好。
(五)目标达成有异
《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》对“等比数列”做了如下描述:
(1)通过生活实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义。
(2)探索并掌握等比数列前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系。
(3)能在具体的问题情境中发现数列的等比关系,并解决问题。
(4)体会等比数列与指数函数的关系。
从“探索并掌握等比数列前n项和公式”来看,两位教师都探索了公式的推导,学生掌握等比数列前n项和公式的应用,也有例题、练习和作业支撑。第一位教师用了“灯塔”一例,既应用了等比数列前n项和公式,又是对中华文化的一次展示,可以培养学生的文化自信,非常不错。但是第一位教师没有深层次展示等比数列的通项公式与前n项和公式的关系,第二位教师在这方面就做得很好。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现。第二位教师通过多种转化推导出等比数列前n项和公式,很好地突破了本节的难点,增加了思维量,对学生理性思维的培养有极大的帮助。相比较而言,第一位教师在数学学科核心素养的培养方面稍显不足。
三、教学反思
《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》中指出,情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养;数学文化应融入数学教学活动;既要重视教,又要重视学,促进学生学会学习;重视信息技术的运用,实现信息技术与数学课程的深度融合。《四川省普通高中数学学科课堂教学基本要求》明确要求融入思想方法。要做到这些,教师要深入领悟课程标准,积极积累数学素材,采众家之长为己所用。
认真备课是确保课堂教学成功的首要环节。备课要思考:预习什么内容?预习时做哪些题目?要达到什么预习效果?如何确定教学目标?采用什么样的学法和教法?如何有效实现教学目标?引入情境如何有效提出问题?如何体现数学来源于实际生活?如何包含数学文化?如何体现数学的核心价值?要开展什么教学活动,这些活动如何体现学生自主学习?要培养哪些核心素养,如何落实这些核心素养?如何组织语言精练表达?教学内容的选择怎样符合学生实际?如何实现知识应用?如何体现数学思想方法?采用什么方式检查学习效果?如何优化作业设计?如何进行学困生辅导?怎样实施课堂评价与课后评价?
总之,在育人方式改革的浪潮中,我们还在路上。