增强学生空间感知能力的几种途径

广东肇庆市高要区第二中学（526000） 吴 丹

空间感知是人对客观物体的空间特性与空间关系的认识，包括对物体的大小、形状、方位、距离等的知觉。在人教版教材（2019 年版）高中数学第二册第96 页第八章“立体几何初步”的前言中提到：“立体图形是由现实物体抽象形成的。直观感知、操作确认、推理论证、度量计算，是认识立体图形的基本方法。”加强空间感知教学，有助于提高学生的想象能力，也为其建立空间概念奠定基础。在立体几何的教学中，笔者归纳了增强学生空间感知能力的几种途径。

一、建立立体几何基础模型库

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。“数学建模”是数学六大核心素养之一。立体几何模型是对立体几何知识的集中概括，是凝结在学生头脑中的一系列的加工和认识对象，立体几何就是跟各色各样几何模型“打交道”的学科。学生学习数学知识、解题方法的过程，其实就是在建立一个个数学基础模型，再用这些模型去解决一个个或抽象或有具体情境的数学问题的过程。要解决更为复杂的立体几何问题，就要先帮助学生建立好立体几何基础模型库，增强他们的空间感知能力，让他们有将空间问题平面化的本领，有将立体几何问题化归为平面几何问题来处理的能力。

帮助学生建立立体几何基础模型库是一个积累的过程，积累的形式可以多样化。比如，可以借助熟悉的实物来让学生学习空间几何体，让学生在实物观察中培养空间感知能力。例如，在对“棱柱”的认知教学中，我们可以设计如下例题。

［例1］下面命题中正确的是（ ）。

A.有一个侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱

B.有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

D.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱

分析：此题需要用到的是直棱柱、斜棱柱的模型，当教师列举出一个符合选项中题设条件却是斜棱柱的反例后，部分学生懵了。当教师画出斜棱柱的直观图后，还有部分空间感知能力比较弱的学生仍然无法理解。而反例中涉及的实物很难直接找得到，此时我们可以拿出一沓大小一致的作业本，将竖直立起来，由此就构建出直棱柱模型；再把这叠作业本倾斜成斜棱柱，它的侧面是2 个相对的矩形与2 个相对的平行四边形，这样学生就很容易理解了。

反思：通过斜棱柱的实物立体模型，学生对棱柱有了清晰的感知，他们能完成由抽象到具体的转变。在立体几何的学习中，不妨让学生多储备一些立体几何基础模型，让学生在脑海中建立属于他们自己的模型库。

二、制作立体几何基础模型

传统的高中数学教学，几乎没有数学活动与数学实验。开展恰当的数学活动，能加快学生感知、理解、转化空间几何体中线线、线面、面面间位置关系的速度。

例如，在教学“简单几何体的表面积和体积”时，不妨开设一节数学模型制作活动课，把学生分成几个活动小组，让他们用硬卡纸制作常见的立体几何模型，比如圆柱、圆锥、圆台。小组成员先商议出合理的方案，教师对学生强调要确保自己裁剪出的矩形、扇形、扇环与剪出的底面圆粘贴时能做到严丝合缝。这就要求学生对圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图有充分的认识，且能较为精准地度量与计算底面圆和侧面展开图间的关联数据。模型制作完成后，让学生回顾整个制作过程，填写“立体几何模型制作小组活动研究报告”表格，并派代表谈谈制作过程中小组遇到的困难、解决方案和收获，让他们厘清立体图和展开图之间的关系。

表1 立体几何模型制作小组活动研究报告

［例2］如图1 是底面半径为3 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕顶点S滚动，当圆锥转回原位置时，其本身恰好滚动了3 周，则（ ）。

图1

A.圆锥的母线长为18

B.圆锥的表面积为27π

C.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为60°

分析：此题考查了圆锥的表面积和体积公式、扇形弧长和面积公式、圆锥与其侧面展开图的联系。空间感知能力不佳的学生难以转化“圆锥在此平面内绕顶点S滚动，当圆锥转回原位置时，其本身恰好滚动了3 周”这一已知条件，而用硬卡纸制作过圆锥的学生再做一下滚动实验，就容易得到圆锥在平面内绕顶点S滚动转回到原位置时平面内留下的轨迹是以S为圆心，SA为半径的圆，这个圆的面积等于圆锥侧面积的3 倍，即πl2=3 × 3πl，解得l=9。用硬卡纸制作过圆锥的学生更能理解圆锥与其侧面展开图间的联系，其他选项就不难判断了。

反思：通过用硬卡纸制作几何模型，激发了学生学习立体几何的兴趣，提升了学生的动手能力，增强了学生的空间感知能力，提高了学生对圆柱、圆锥、圆台和其侧面展开图关联性的认知水平，也提升了解决此类问题的能力。

通过用硬卡纸制作正方体、长方体模型，还可以让学生进一步理解正方体、长方体的展开图，这对解答“蚂蚁爬行最短路线”问题有很大帮助。

［例3］如图2 所示，长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，一只蚂蚁从A点沿着表面爬行到C1点的最短路程是多少？

图2

分析：此题涉及的是长方体的展开图，考查学生对长方体的空间感知能力和将空间问题平面化处理的能力。如果学生用硬卡纸亲手做过长方体，那么对于长方体的三种展开方式，学生漏掉其中一种或两种的概率将大大降低。依题意，长方体ABCD-A1B1C1D1有如图3所示的三种展开图。

图3

学生自制实物模型并展开后，可算得A，C1两点间的距离（cm）。三者进行比较得为蚂蚁从A点沿着表面爬行到C1点的最短路程。

反思：通过用卡硬纸制作立体几何模型，增强学生的空间感知能力和将空间问题平面化处理的能力。

还可以让学生用细木棍制作正方体、长方体、正四面体、正四棱锥等常见的多面体的模型，从中让学生直观感受四棱锥的高与斜高的区别与联系；在正方体的模型上加上细线可以分割出正四面体，从而促使学生产生联想，求正四面体的外接球可以化归为求正方体的外接球。这些模型还有利于学生理解线线、线面、面面间的位置关系。例如，有学生较难感知直观图中的异面直线，总认为它们是相交的，这时拿出数学活动中制作好的模型，在上面缠两条细线就可让学生感知两线的位置关系。通过制作立体几何模型可以训练、增强学生的形象思维和逻辑思维，提高学生的空间感知能力。

三、训练学生画直观图

虽然学生亲手制作了常见的立体实物模型，也具备了一定的空间感知能力，但是做题时还是需要将模型从实物中抽象出来，所以要培养学生的作图能力。以实物为依据，以问题为驱动，教师做引导，学生来模仿，在激发学生作图热情的同时，不断纠正其错误，规范其作图。提高学生画直观图的能力，是增强学生空间感知能力的有效方法。

［例4］画出一个三棱台ABC-A′B′C′，再用两个平面把它分成3个三棱锥。

分析：此题考查学生的作图能力和空间感知能力。空间感知能力较差的学生对此手足无措，而对三棱台、三棱锥、四棱锥有一定空间感知的学生则能顺利解答此题。三棱台可分割为一个三棱锥和一个四棱锥，此四棱锥又可分割为两个三棱锥（如图4）。引导学生画出对应的两个截面的过程，就是提高学生空间感知能力的过程。

图4

反思：训练学生画直观图，比照实物图和直观图来想象，让学生在头脑中建立起点、线、面的位置关系，从而增强学生的空间感知能力。

四、利用数学软件制作动态立体图形

学生通过手工制作常见的立体几何基础模型，就容易在头脑中形成此模型的空间构造，而对于一些结构复杂的几何体，大部分学生很难光靠自己储备的模型和逻辑推理来完成模型构建。利用动态数学软件（如3D MAX、GeoGebra 等）可帮助学生建立复杂立体几何模型的直观形象。在课堂上，教师可以用数学软件将动态模型展示给学生，通过平移、旋转指令，让学生多视角观察和感知，这比单纯地去想象更能培养学生的空间感知能力。

［例5］已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°。以D1为球心为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______。

图5

分析：此题容易画出直四棱柱的直观图，但不易画出球，更难以让学生领悟出球面与侧面BCC1B1的交线是什么形状。我们需要借助数学软件制作空间动态图来让学生观察、感知。

通过GeoGebra 图让学生意识到球面与侧面BCC1B1的交线其实就是小圆的圆弧（本质上就是用平面BCC1B1去截球），用化归思想来处理即可。我们要找到球面和侧面BCC1B1的两个公共点（侧面上与点D1距离为的两点J和L）和小圆的圆心（点D1在侧面BCC1B1上的射影K），求出圆弧的半径和圆心角就可算出弧长。

反思：利用数学软件帮助学生打开空间感知的新视角后，他们会有豁然开朗之感，学生的空间感知能力和逻辑推理能力会得到进一步的提高，从而打破限制他们空间思维发展的“天花板”。

增强学生空间感知能力的途径还有很多，教师在教学中要巧妙融合立体几何知识，融入数学实验和借助信息技术，活跃课堂气氛，启发学生的空间思维，有效增强学生的空间感知能力，构建高效、有魅力的立体几何课堂。