材料力学中内力教学思考

摘  要：材料力学中内力是一个非常重要的概念，分析和计算内力是研究构件变形的基础。截面法是计算内力最基本的方法。由于计算过程中涉及到内力正负号的规定与理论力学上外力正负号的规定不一致，导致学生在利用截面法计算内力时经常出错。文章在分析截面法计算内力基础上，提出求和法计算内力方法，经案例计算验证，可有效避免材料力学上内力正负号和理论力学上外力正负号的问题，为材料力学中内力计算教学提供参考。

关键词：材料力学;内力计算;截面法;求和法

中图分类号：G642 文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2022）08-0106-04

Abstract： The internal force is a very important concept in the mechanics of materials. The analysis and calculation of internal force is the basis of studying the deformation of components. Section method is the most basic method to calculate internal force. Due to the inconsistency between the internal force sign and the external force sign in theoretical mechanics， students often make mistakes when using the section method to calculate the internal force. Based on the analysis of internal force calculation by section method， this paper puts forward the method of internal force calculation by summation method， which can effectively avoid the problems of internal force sign in material mechanics and external force sign in theoretical mechanics， and provide reference for the teaching of internal force calculation in material mechanics.

Keywords： Mechanics of Materials; internal Force calculation; section method; summation method

材料力學的任务就是在满足强度、刚度和稳定性要求下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法[1]。材料力学涉及诸多新知识和新概念、理论性较强且繁琐，对初学者来说，是比较难学的课程[2]。内力是材料力学中一个非常重要的概念，分析和计算内力是研究构件变形的基础。构件因外力作用而在内部固有内力基础上又附加了相互作用力，这部分附加的作用力就是材料力学上研究的内力。从分析构件的内力出发，引出应力和应变，进而再研究构件的承载能力，即构件应满足足够的强度、刚度和稳定性，因此对内力的分析和计算是材料力学分析变形的基础。内力在构件内部，无法直接计算。在材料力学中计算内力的方法通常用截面法。它是计算内力最基本的方法。该方法原理是利用假想截面将构件假想截开，任取其中一部分，使得内力可见，然后再研究取出部分的力平衡，从而求出内力。在学习应用截面法计算内力过程中，学生往往困惑于材料力学上内力正负号和理论力学上外力正负号的问题，导致计算内力时结果出错[3-4]。应用截面法计算内力又是材料力学开篇内容，因此学不好会直接影响后续内容的学习，而且在一定程度上还会影响学生学习材料力学的兴趣。因此，有必要对内力计算的教学方法进行研究，避免在计算内力过程中出现不必要的错误，提高教学的效率，调动学生的学习积极性。文章在分析截面法计算内力基础上，提出求和法计算内力方法，经基本变形典型案例计算验证，可有效避免材料力学上内力正负号和理论力学上外力正负号的问题。

一、内力教学中的思考——求和法

材料力学中求内力的基本方法是截面法。下面先以典型杆件为例，阐述利用截面法计算杆件各段内力，然后再分析内力计算结果，进而提炼出求和法。

如图1所示，一等直杆，在A点、B点和C点分别受集中力F、F和2F，杆件处于平衡状态。下面用截面法分析该杆各段内力情况。

截面法计算内力分为三个步骤：假想截开、任意留取和平衡求力。如图2（a）所示，AC杆分为两段，计算时分别用两个假想截面1和2去假想截开AC杆。由于AC杆上的外力均作用在杆件轴线上，因此杆件变形为轴向拉伸或压缩变形，其内力为轴力，用符号FN表示。

图2 截面法取截面左侧示意图

这里先求AB段杆的内力。用截面1假想截开AC杆，取截面1左段，如图2（b）所示。移走截面1的右段对截面1左段的作用力就是内力，即轴力。根据材料力学对轴力正负符号规定与设正法要求，截面1上未知轴力假设为离开此截面，为正轴力，用符号FN1表示。因为AC杆整体平衡，那么取出的截面1左段也平衡。根据理论力学平衡求力方法，研究截面1左段平衡。取坐标轴x沿杆件轴线，正向向右，则x轴上合外力为零，平衡方程：

特别要注意的是方程（1）中作用力的正负号是根据所取参考坐标轴x的正向来规定的，与坐标轴正向一致为正，反之为负。如果坐标轴正向发生改变，那么作用力的正负号也要改变。这种理论力学上正负号规定与材料力学上根据构件变形方向来确定内力正负号有本质上的区别。构件变形是与坐标轴无关。刚刚结束理论力学学习，就进入材料力学学习，这种在力正负号规定不同，才导致了材料力学学习上的困惑。从方程（1）可以求得截面1上轴力：

式（2）结果表明：截面1上轴力大小为F，与外力相等，方向与假设方向相同，为拉力，正轴力。由于取出截面1左侧的杆件上只有一个外力F，根据力的平衡关系，内力与外力必须相等，且方向相反，作用线共线。它们是一对平衡力，即它们要么是一对拉力，要么是一对压力。换句话来说，如按照材料力学关于内力正负号规定，它们有相同正负号。因此针对截面1上内力的结果，还可以这样理解：一个外力在所求截面上会产生一个等值，同正负号的一个内力。这里的“正负号”由材料力学关于内力正负号规定来确定。

同理，利用截面法可以求得AC杆上BC段截面2上的轴力FN2，如图2（c）所示。截面2上的轴力：

由（3）式结果可知截面2上轴力分为两部分： A点外力F（拉力）在截面2上产生一个等值，正分轴力和B点外力F（拉力）在截面2上产生一个等值，正分轴力。所以，可以得到一个结论：截面2上轴力就是这两个分轴力的代数和。

不妨再用截面法验证一下取截面1和截面2右侧的结果，看是否也可以得出这个结论。如图3所示的截面法取截面右侧示意图。设截面1和截面2上轴力离开截面为正号，取坐标轴x沿杆件轴线，正向向右。

图3 截面法取截面右侧示意图

如图3（b）所示，对于AB段杆列平衡方程：

不难求得AB段杆截面1上轴力为：

由（5）式结果可知截面1上轴力分为两部分：C点外力2F（拉力）在截面1上产生一个等值，正分轴力和B点外力F（压力）在截面1上产生一个等值，负分轴力。所以，也可以得到一个结论：截面1上轴力就是这两个分轴力的代数和。由（5）式结果还可以知道截面1上轴力大小为F，方向与假设方向相同，为正号。这个结果与取截面1左側轴力相同。这说明对于同一个假想截面无论取左侧还是右侧，求得的轴力结果大小相等，方向相反，互为作用力与反作用力，但轴力正负号相同。

同理，如图3（c）所示，利用截面法可以求得BC段截面2上的轴力：

式（6）结果显然也满足：截面2上轴力就是C点外力2F（拉力）在截面2上产生一个等值，正分轴力。因此，综上截面法取左侧或右侧计算轴力过程，可以得出如下结论：任意截面上的内力（轴力）等于取此截面左侧或右侧构件上所有外力在此截面上产生分内力（分轴力）的代数和。这种利用外力在所求截面上产生分内力的代数和求内力的方法就是求和法。求轴力时，求和法计算轴力的公式可表示：

式（7）中：FN为所求截面上轴力;FNi为第i个外力在所求截面上产生的分轴力。特别当i=0，表示构件没有外力作用，此时分轴力FN0=0，因为材料力学上所讲的内力就是因为外力作用所带来的附加内力，没有外力就不产生内力。

下面将利用求和法计算基本变形的内力，并阐述求和法求内力的解题步骤。

二、求和法在内力教学中的应用

利用求和法求内力，关键要确定外力的正负号，很显然在材料力学上仅规定了各种基本变形的内力正负号，没有规定外力正负号。根据外力与内力平衡关系，可以应用内力正负号的规定来确定外力正负号，因为它们的正负号是一致的。求和法求内力的解题步骤：

（1）任取截面确定外力正负号

在所求内力位置标注假想截面，任意选择一侧（左侧或右侧）来计算内力。首先根据内力正负号的规定来判别该侧构件端部外力的正负号，然后再判别构件中间外力的正负号。中间外力正负号看该侧构件端部外力，方向相同，则同号;反之异号。

（2）确定分内力正负号

外力在所求截面上产生等值、同正负号的分内力。

（3）代数和求内力

任意截面上内力等于一侧（左侧或右侧）所有外力在此截面上产生分内力的代数和。

下面应用求和法求解扭转和弯曲基本变形的内力。

如图4所示，一等直圆轴，在截面A、B、C和D分别作用外力偶矩，且这些力偶作用面与轴线垂直，圆轴平衡。下面应用求和法分析圆轴1、2和3截面上的内力。

如图4，根据题意可知AD轴为扭转变形，所求截面上的内力为扭矩，用符号T表示。扭矩为矢量，用右手螺旋法则来判别其正负号。当扭矩的矢量方向与截面外法线的方向一致时，T为正;反之为负。扭转时，求和法计算扭矩的公式可表示：

式（8）中：T为所求截面上扭矩;Ti为第i个外力偶矩在所求截面上产生的分扭矩。特别当i=0，表示构件没有外力偶矩作用，此时分扭矩T0=0。

计算圆轴1截面的扭矩，如图4所示。从截面1假想截开取左侧，圆轴上只有外力偶矩m1作用。应用右手螺旋法则判别圆轴左端的外力偶矩m1的正负号，确定为正。外力偶矩m1在截面1上产生一个等值、正的分扭矩。截面1左侧圆轴上只有一个分扭矩，所以截面1上的扭矩：T=+m1。如果从截面1假想截开取右侧，圆轴上作用的外力偶矩有m2、m3和m4。应用右手螺旋法则首先判别圆轴右端的外力偶矩m4的正负号，确定为正。然后再判别作用在圆轴中间的外力偶矩m2和m3。它们的转向与右端的外力偶矩m4的转向相反，因此确定为负。外力偶矩m2、m3和m4在截面1上分别产生一个等值、同号的分扭矩。截面1右侧圆轴上有三个分扭矩，所以截面1上的扭矩就等于这三个分扭矩的代数和，即：

同理应用求和法可得截面2和截面3的扭矩（从截面截开取右侧）：

如图5所示，一外伸梁，在A、B和C点分别作用集中力， E点作用一个外力偶矩m，梁DG段作用均布载荷，载荷集度为q，且这些载荷均作用在梁纵向对称面内，梁平衡。下面应用求和法分析梁1、2和3截面上的内力。

如图5所示，根据题意可知外伸梁为弯曲变形，所求截面上的内力有剪力FS和弯矩M。剪力正负号规定：截面截开取左段，向上的外力在截面上产生向下的剪力为正;反之为负。取右段，向下的外力在截面上产生向上的剪力为正;反之为负。弯矩正负号规定：无论取截面左侧还是右侧只要对截面形心产生向上趋势的弯矩的外力或外力偶矩为正，此时梁变形为向下凸;反之为负。根据弯曲内力的不同，弯曲变形求和法计算内力的公式可表示：

（12）式中：FS为所求截面上剪力;FSi为第i个外力在所求截面上产生的分剪力。特别当i=0，表示构件没有外力作用，此时分剪力FS0=0。（13）式中：M为所求截面上弯矩;Mi为第i个载荷在所求截面上产生的分弯矩。特别当i=0，表示构件没有载荷作用，此时分弯矩M0=0。

计算梁截面1的扭矩，如图5所示。从截面1假想截开取左段，梁上只有一个向下的外力F作用。求剪力：应用剪力正负号规定判别梁左端A点的外力F的正负号。在左段，规定向上的外力产生向下的剪力为正，反之为负。这里，外力F向下，确定为负。外力F在截面1上产生一个等值、负的分剪力。截面1左段梁上只有一个分剪力，所以截面1上的剪力：FS=-F。求弯矩：由于截面1在A点偏右，外力F到截面1的力臂为零，所以截面1上的弯矩M=0。

如果从截面1假想截开取右段，梁在B和C点分别作用向上外力FB和FC， E点作用一个顺时针的外力偶矩m，梁DG段作用向下均布载荷，载荷集度为q，如图5所示。

求剪力：应用剪力正负号规定判别梁右端D点的外力正负号。在右段，规定向下的外力产生向上的剪力为正，反之为负。这里，均布载荷作用方向向下，确定为正;B和C点作用力向上，与均布载荷作用方向相反，确定为负;E点作用的外力偶矩m与剪力无关，因为力偶矩只能与力偶矩平衡。均布载荷在截面1上产生一个等值、正的分剪力;B和C点作用力在截面1上分别产生一个等值、负的分剪力。截面1右段梁上有三个分剪力，所以截面1上的剪力就等于这三个分剪力的代数和，即：

求弯矩：应用弯矩正负号规定判别梁右端D点的外力正负号。规定无论取截面左侧还是右侧只要对截面形心产生向上趋势的弯矩的外力或外力偶矩为正，反之为负。这里，均布载荷作用方向向下，在截面1上产生一个向下趋势的弯矩，确定为负;B和C点作用力向上，与均布载荷作用方向相反，确定为正;E点作用一个顺时针的外力偶矩m，在截面1上产生一个向下趋势的弯矩，确定为负。均布载荷在截面1上产生一个等值、负的分弯矩;B和C点作用力在截面1上分别产生一个等值、正的分弯矩;E点的外力偶矩m在截面1上产生一个等值、负的分弯矩。截面1右段梁上有四个分弯矩，所以截面1上的弯矩就等于这四个分弯矩的代数和，即：

同理应用求和法可得截面2和截面3的剪力和弯矩（从截面截开取右段）：

本节利用求和法对扭转和弯曲两种变形的内力进行计算。计算过程中核心的问题是确定外力正负号，这里是利用材料力学中关于内力正负号的规定来判别。求和法在计算内力过程中没有出现令学生困惑的理论力学与材料力学对外力符号的规定，也没有出现截面法要重复画受力图和列平衡方程繁琐的操作，因此求和法计算过程简洁易懂，且不容易出错。

三、结束语

求内力贯穿整个材料力学教学过程，如何让学生在有限课时内，更快更好地掌握内力计算方法，是老师们在内力教学过程中经常思考的问题之一。文章在分析截面法求内力的基础上提出了求和法，利用基本变形典型案例进行求和法计算内力。计算过程表明求和法可以有效规避材料力学中内力正负号与理论力学外力正负号之间的区别问题，使得学生求内力不易出错，且解题快速。作者在多年材料力学教学过程中，应用了求和法求内力，深受学生欢迎。

参考文献：

[1]刘鸿文.材料力学I（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]李金权，王茂廷.内力设正法在《材料力学》课程中的应用[J].大学教育，2014（11）：164-165.

[3]朱维伟，冯国建，杜俊，等.材料力学课程中内力求解的改进设正法及其教学实践[J].西南师范大学学报（自然科学版），2019，44（6）：127-131.

[4]張玉芬.基础力学课程中力正负号问题的整合求解思路[J].高教学刊，2016（6）：70-73.

作者简介：李立兵（1968-），男，汉族，江苏射阳人，硕士，副教授，研究方向为复合材料力学性能表征与超声无损检测技术。