Volta's混沌系统同步控制

2022-04-15王东晓李自强

安阳工学院学报 2022年2期

王东晓，李自强

(郑州航空工业管理学院数学学院，郑州 450046)

0 引言

混沌现象是指发生在确定性系统中的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的，在现实生活和实际工程技术问题中，非线性系统普遍存在，混沌是无处不在的。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。

随着研究的深入，混沌系统的广泛存在，混沌同步一直是非线性科学研究的热点。混沌系统的同步有着广泛的应用前景，同步问题备受关注，新的系统新的方法层出不穷。毛北行等[1]研究了非线性复杂网络混沌系统的有限时间同步问题；较早出现的自适应方法也常常用于整数阶或分数阶混沌系统同步[2-3]；张燕兰采用自适应方法实现分数阶Rayleigh-Duffling-like系统的广义投影同步[4]；近年滑模同步方法常被用以混沌同步[5-6]，余明哲等[7]表明滑模自适应同步了一类不确定分数阶系统；钟启龙[8]等采用主动滑模研究了分数阶混沌系统同步问题；也可用类似的方法研究整数阶、分数阶同步问题[9]；两个不同系统的同步也可以利用自适应滑模控制来实现[10]; Volta's混沌系统[11-12]在物理、通讯等方面有着广泛的应用，张振等[13]研究了分数阶Volta's系统同步问题；李娇研究了Volta's系统的混合投影同步[14]；张志明等[15]对Volta's混沌系统添加一个新的状态变量，得到一个四维的自治超混沌系统。在上述研究的基础上，本文研究了三维和四维Volta's混沌系统同步问题，给出了系统取得同步的充分性条件，最后的数值仿真结果表明该方案的有效性和可行性。

1 主要结果

此时系统呈现混沌态，如图1。在系统（1）中添加一个新的变量，并令=x+r，当r∈[-40,-32]∪[32,40]，得到一个四维超混沌系统[15]：

图1 三阶Volta's系统的混沌吸引子

考虑如下三阶Volta's混沌系统[11-12]：

取值 20，混沌吸引子如图2。

图2 四阶Volta's系统的混沌吸引子

以系统（1）作为驱动系统，其对应的响应系统设计为：

其中ui，(i=1,2,3)为控制器,令误差变量ei=yi-xi，(i=1,2,34)，从而误差系统如下：

系统（1）与（3）同步。

在定理1中，构造的控制器含有非线性项，我们尝试线性控制器来实现混沌系统同步。系统（1）呈混沌态，系统变量有界，存在常数Q,M,N ＞ 0，满足。得到如下定理。

下面考虑四维Volta's混沌系统的同步控题。考虑如下的响应系统：

误差系统如下：

定理3：系统（5）在如下控制器作用下：

主从系统（2）与（5）是同步。

证明：选择Lyapunov函数，则Lyapunov函数关于时间的导数为：

系统（2）与（5）同步。

从上述推导过程当中可以看出，该控制方法非常灵活，控制器的第二部分可以任意构造，只要满足矩阵A为负定矩阵，满足李雅普诺夫稳定性理论的条件，就可以保证误差系统在零点渐进稳定。当然，所构造控制器越简单，实现同步所用时间越短，控制方案也就越好。

2 数值仿真

以matlab为工具,对各种方案分别做出数值仿真。系统（1）状态变量初始值（8，2，1），系统（3）状态变量初始值（1，4，8）。图3为在定理1所设计方案控制下的误差系统曲线,图4为在定理2所设计控制方案控制下的误差系统曲线，从误差曲线可以看出，两种方案都可以很好地实现系统同步，定理2方案中的控制器为线性控制器，相较于定理1的方案更加简单，在实际操作中更加容易操作，在加入控制器后主从系统状态很快趋近一致，实现同步；且实现同步的时间更短，更具有优势，并且在做仿真的过程当中，控制器不满足定理条件时，也有可能实现同步，原因是我们给出的条件仅仅是充分条件，而非必要条件。系统（2）状态变量初始值（8，2，1，1），系统（5）状态变量初始值（1，1，2，8），图5 为在定理3设计方案控制下系统误差曲线，图6为系统（2）和系统（5）的状态变量曲线。