马克思主义哲学指导小学数学教学改革的成功案例——MM教育方式演绎

唐志华，段志贵，徐沥泉

(南京晓庄学院 教学督导组，江苏 南京 211171)

一、 引论

习近平总书记多次号召并推动全党学习辩证唯物主义和历史唯物主义基本原理和方法论。在革命、建设、改革各个历史时期，马克思主义哲学都是我们的看家本领。当然教育领域中也不例外。有一项数学教学改革，正是以辩证唯物论的认识论和反映论观点为指导的，它就是《贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质》数学教育实验(下称MM实验，它所确证的数学方法论的教育方式简称MM教育方式，MM取自数学方法论英文“Mathematical Methodology”的两个首写字母)。

引论1 马克思主义哲学的指导作用

马克思主义哲学即辩证唯物主义和历史唯物主义。它是关于自然界、人类社会和思维发展最一般规律的科学，它既是世界观又是方法论。任何学科的发展都应当以马克思主义哲学为指导思想，在认识世界和改造世界的任何活动中都应当自觉运用马克思主义哲学相关原理。马克思主义哲学对数学科学和数学教育实施方法论指导，则集中体现在数学方法论这一新的学科分支上。

钱学森认为现代科学技术的顶层是马克思主义哲学，马克思主义哲学是科学的哲学。每一部类在通往马克思主义哲学层面都有一个“桥梁”(1)冯亚，孟云飞：《钱学森的文艺观：利用最新的科学技术成果发扬文艺传统》，《光明日报》2020年12月18日，第13版。。按照钱学森的观点，我们认为数学通往马克思主义哲学的桥梁是数学哲学，具体就是数学方法论。

引论2 数学方法论是辩证唯物论的认识论与反映论观点在数学上的表现与运用

恩格斯对数学有着根本的看法。他在《反杜林论》中指出：“纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义，……，但是在纯数学中悟性绝不能只处理自己的创造物和想象物。数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。……纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。但是为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系，必须使它们完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边；这样，我们就得到没有长宽高的点、没有厚度和宽度的线、……常数和变数等等。”(2)恩格斯：《反杜林论》，载《马克思恩格斯全集》第20卷，人民出版社2006年版，第40-42页。

“反映论”这一术语是由列宁最终确立和使用的。(3)陈中立等著：《反映论新论:马克思主义反映论及其在现时代的发展》，中国社会科学出版社1997年版。它的基本点就是把人的认识看作是客观现实而存在的东西，而不是脱离客观现实而存在的东西，从而否定了一切形式的先验论。这正是唯物主义认识论的根本观点，即物质第一性，意识第二性，人的认识就是客观物质世界的反映。把辩证法的认识论与反映论观点应用于数学就产生了数学方法论。

引论3 辩证思维方法与数学哲学的研究内容

恩格斯有一句名言：“数学：辩证的辅助工具和表现方式。”马克思把数学作为丰富唯物辩证法的一个源泉。他通过自己对数学的多年钻研，在高等数学中他找到了最符合逻辑的，同时也是形式最简单的辩证运动。辩证法作为认识论和方法论就成为辩证思维方法，它是人们把握客观事物的一种认识工具。辩证思维方法是人们正确认识世界的中介，是人们正确进行理性思维的根本方法。辩证思维方法是一个整体，它是由一系列既相区别又相联系的方法所组成的，主要有归纳演绎、分析综合、抽象具体、逻辑和历史的统一等等。

把它们作用与应用到数学，便构成了数学方法论中的微观方法论因子。演绎(逻辑)推理方法：抽象分析法、数学模型法、公理化方法；合情推理方法：观察、实验、类比、联想、猜测、经验归纳法；一般解题方法：分析、综合、一般化、特殊化、关系映射反演原则等等。

把马克思和恩格斯的自然科学辩证法研究(《反杜林论》哲学篇和《自然辩证法》)应用于数学，就产生了一个新的马克思主义的哲学分支——数学哲学。数学哲学是哲学与数学相互联系和渗透的交叉学科，是对数学的哲学概括和总结，是研究数学理论、概念及数学发展中哲学问题的学科，着重研究数学的对象、性质、特点、地位与作用，数学新分支、新课题提出的重要概念的哲学意义，数学本体论的研究，数学真理性的研究，著名数学家和数学流派的数学和哲学思想，数学方法和数学基础等问题；探讨数学的研究对象是否为客观的真实的存在等。数学哲学的这些研究内容，也正是宏观的数学方法论所要研究与探讨的对象，由它们可以构成宏观方法论因子：数学哲学问题、数学美学问题、数学心理学问题、数学家成长规律的一般分析、数学史与数学教育史研究等等。

现代科学研究高度分化和高度综合相统一的时代特征，使辩证思维与科学研究的相互依赖性更加密切。习近平总书记非常强调和注重运用辩证思维能力，他曾说过：“在任何工作中，我们既要讲两点论，又要讲重点论。”他强调，“我们的事业越是向纵深发展，就越要不断增强辩证思维能力”。他认为，增强辩证思维能力，才能提高驾驭复杂局面、处理复杂问题的本领，才能把各项工作做得更好。(4)岳小乔，左潇：《习近平为什么这样重视“辩证思维”》，《人民日报》客户端2019年1月4日，http:∥www.chinanews.com.cn/gn/2019/01-25/8739169.shtml.

如今，在数学科学的核心范围内已经进一步分化出将近一百种可以辨认的分科，与这一分化过程相反，数学科目之间也在进行着互相渗透的统一的过程。无论是纯数学还是应用数学，都有一个共同的逻辑基础，集合论的思想成了统一的思想，这种统一的基础又是所谓的“基本结构”，任何数学结构不过是不多的几条公理的各种不同的组合而已。现代数学以其特有的思维方式证实和丰富了马克思主义哲学辩证思维的观点，并进一步促使辩证思维方法具体化、精确化。如果说数学通往马克思主义哲学的桥梁是数学哲学，那么数学方法论则是数学思维通往马克思主义哲学辩证思维的桥梁。其中凝聚在数学方法论之中的看不见摸不着的数学思想方法将在学生全面素质与核心素养的培育与提高上，扮演着尤为重要的角色。

引论4 马克思主义关于人的全面发展学说与全面发展教育

马克思主义关于人的全面发展理论具有丰富的思想内涵，主要体现在以下几个方面：一是人的活动的全面发展；二是人的社会关系的全面发展；三是人的素质的全面提高；四是人的个性的全面发展；五是人类的全面发展。其中，人的素质的全面提高表现为人的身体素质、心理素质、思想道德素质和科学文化素质等的发展和完善，以及各种素质之间的均衡协调发展。

所谓全面发展教育，是对含有各方面素质培养功能的整体教育的一种概括，是使受教育者多方面得到发展而实施培养的教育活动的总称，是由多种相互联系而又各具特点的教育所组成，以德育、智育、体育、美育、劳动技术教育作为全面发展教育的构成主体。马克思主义关于人的全面发展学说，正是我们党制订教育方针的理论基础。它必须贯彻落实到各级各类学校的教育教学工作中去，贯彻落实到每一门学科的课堂教学中去，小学数学教育更不能例外，因为“数学是自然科学的皇冠，是其他科学研究的主要工具”。

二、 数学观和数学方法论

辩证唯物主义认为，世界观是人们对世界总体的看法，诸如自然观、社会历史观、伦理观、科学观等都是对世界的根本看法。哲学是世界观的理论形式。方法论是关于认识世界和改造世界的方法的理论。方法论在不同层次上有哲学方法论、一般科学方法论和具体科学方法论。不同层次方法论的关系是互相依存、互相影响、互相补充的对立统一关系。

哲学方法论与世界观具有一致性。因为一定的世界观原则在认识和实践过程中的运用表现为方法，方法论则是有关这些方法的理论。所以说，没有脱离世界观的孤立的方法论，也没有不具备方法论意义的纯粹的世界观，即世界观决定方法论，方法论包含或反映世界观。

(一) 数学观与数学方法论的界定

数学哲学作为哲学的分支学科，辩证唯物主义的上述原理同样适用，即数学观是对数学总体的看法，例如，数学发展观、数学性质观、数学真理观、数学文化观、数学美学观等都是对数学的看法。数学哲学则是数学观的理论形态。数学方法论是人类认识和研究数学方法的理论，它在方法论的三个层次中属于具体科学方法论。

20世纪下叶，国内外一些著名数学家都致力于对数学哲学的研究，在某种程度上把数学观和数学方法论明确化具体化了。他们从本体论(数学对象及存在方式)与认识论的角度提出了“数学是一种模式真理”的数学观。按照这种观点，数学模式在本体上具有两重性。就其内容而言具有明确的客观意义，它是思维对于客观实在的能动反应，任何数学模型都有它的现实原型；就其形式结构而言，数学并非客观世界中的真实存在，而只是创造性思维。从前者而言，数学是人们所发现的；从后者而论，数学又是人们所发明的。而数学的每一次重大的发现和发明，都是以决定数学向本质上的崭新状态过渡的杰出成就为标志的。这中间伴随着认识论与方法论上的突破，伴随着数学思想方法的革命性的变革。有一门学问就是专门以数学的思想方法作为研究对象的，它就是数学方法论。

徐利治指出：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。”“它是辩证法的认识论与反映论观点在数学上的表现与运用。”(5)徐利治：《数学方法论选讲》序言，华中工学院出版社1983年版。数学方法论与数学观具有一致性，数学观决定数学方法论，数学方法论蕴含和反映着数学观。

(二) 数学方法论研究的重要性及其研究内容与分划

就数学发展的内外因素而言，数学方法论又可以分划为宏观与微观两个范畴。如果抛开数学发展的社会因素，数学方法论的研究对象和内容大体可划分如下(表1)：

表1 数学方法论因子分划表

按照宏观的数学方法论观点，数学发展的巨大动力源泉与社会生产实践及技术发展的客观要求紧密相连。由于现代社会高技术的出现，世界各国对高技术的研究和开发竞争十分激烈，许多科学家都指出，高技术在本质上讲是数学技术。数学方法论属于数学哲学的范畴，它的原则性高，普适性强，可以用来指导尖端科学的研究，用好了可以影响到整个一代人的素质，培养出一批具有世界一流水平的科学技术专家，从而有可能使我国成为数学大国和科技强国。

习近平总书记指出：基础研究是科技创新的源头。我国的基础研究虽然取得了显著进步，但同国际先进水平的差距还是明显的。我国面临的很多“卡脖子”的技术问题，根子是基础理论研究跟不上，源头和底层的东西没有搞清楚。(6)习近平总书记在2020年9月11日科学家座谈会上的重要讲话。

李克强总理多次论及数学的重要作用，并且就数学科学的特点、研究方式和我国当前的研究现状指出：“基础数学研究在我国是薄弱环节，对许多领域形成瓶颈制约。”“国际数学界的最高奖项菲尔兹奖，中国至今没有一人获得。现在IT业发展迅猛，源代码靠什么？靠数学！我们造大飞机，但发动机还要买国外的，为什么？数学基础不行。”“基础研究决定一个国家科技创新的深度和广度。基础研究没有捷径可走。要有十年磨一剑的专注精神，潜下心来把冷板凳坐热。数学则是基础研究的基础，是其他科学研究的主要工具。”(7)李克强总理在2015年1月27日教科文卫体界人士和基层群众代表座谈会上的讲话，2016年4月15日在北京大学数学科学学院考察时的讲话，2019年9月2日在国家杰出青年科学基金工作座谈会上的讲话。

以上的重要讲话是发人深省的。要使我国的数学研究进入世界先进水平，要振兴中国数学，就必须从小学数学教育开始打下坚实的基础，尤其应该重视学生创造性思维能力的培养。在数学教学过程中，要培养学生思考问题、分析问题的方法，要重视引导学生掌握发现真理、寻找真理的本领，引导学生对形成数学概念的认识过程的分析，启发学生的创造性思维。

徐利治教授在MM课题组所作的专题报告中指出：“搞数学方法论的目的无非是两个，一是进行科学研究，要用微观的方法论；另外，改革数学教育必须用方法论指导，把数学方法论的原则贯彻到数学教育中去。” 因此，无论是从宏观方法论方面着眼，还是从微观方法论方面着手，在数学教学中如能贯彻数学方法论的教育方式，必将有助于培养学生从总体结构上把握数学思想体系、数学思维方式的本领，促进学生数学思维活动中的发明和发现。我们确信数学发现是一种技巧，发现的能力可以通过灵活的教学方式加以培养。尤其在我国当前的招生制度和选拔机制一时难以改变的大环境中，改革教学方法，就是把学生从当前那种苦教苦学的恶性循环中解放出来，真正落实“双减”的唯一有效途径。

三、 MM教育方式

(一) 数学的两重性和全面的数学教学

如上所知，数学的研究对象是空间形式和数量关系。而当一门学科把它自身作为研究对象时就产生了该门学科的方法论。我们把数学科学放到它本身的发展进程中来考察，正是数学的高度抽象性，决定了它的应用广泛性。因此，人们常把数学看作是精密科学，但这仅是数学的一个侧面。数学的另一个侧面却是鲜为人知的。“因为以前从来就没有把处于发现过程的数学照原样提供给学生。”乔治·波利亚(G.Polya)认为，数学具有两重性，它既是一门系统的演绎科学(从最后被确定的定型的数学来看)，又是一门实验性的归纳科学(从创造过程中的数学来看)，因此，“数学教学应充分体现数学的这两个侧面，使学生受到全面的数学教育，忽视数学的归纳性的一面的教学是不完全的数学教学”(8)郁建辉：《对数学教育中合情推理教育方法的认识》，《数学教育学报》1995年第1期，第57-60、78页。。

另外，运用数学方法论的观点和高级神经活动生理学已有的研究成果分析数学思维，我们可以看到，数学思维也有两重性，一类是进行逻辑推理的抽象思维(左脑思维)，另一类是进行合情推理的形象思维(右脑思维)。这后一类思维的具体表现形式是观察、实验、类比、联想、猜想、不完全归纳等，它们不仅在数学的发现过程中起着十分重要的作用，而且广泛应用于社会生活之中。因此，我们不应该把数学单纯地理解为一门工具学科，而应该把它当作一种文化形态来对待，在数学教学中致力于提高人们的一般文化修养。当然，要充分发挥数学的这种文化教育功能，就必须采用一定的方式来组织教学。为此，无锡市教育科学研究所特级教师徐沥泉教授领衔设计了《贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质》，即MM教育方式的实验方案。

(二) 数学方法论的数学教育方式

由引论4可知，数学教育的最终目的是在数学教学的全过程中全面提高学生素质。因此，从教学和教育的总目的出发，从数学科学的特点出发，从数学在现代科学技术和生产中的地位和作用出发，从它在现代生活中的意义出发，我们把“全面提高学生素质”作为MM教育方式的总目标，即一级指标。其分类表述如下。

A. 通过数学教学，应该首先致力于提高学生的一般科学素养。即使学生从数学教学中学会合理地进行思考、清楚地表述思想和有条不紊的工作的习惯。

B. 增进学生的社会文化修养。即在数学教学中培养学生的政治觉悟、辩证唯物主义的思想观点和为维护社会生活正常秩序而必须具备的良好的行为规范。

C. 形成和发展学生的数学品质。即使学生牢固地掌握数学基本知识(包括基本技能技巧)，培养数学才智(所谓的“数学头脑”，主要是计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力)，发展数学才能(主动获取数学知识和具有广义应用数学知识的能力)。

问题是，怎样把数学方法论思想有机地融入到数学课堂教学中去呢？数学课不能上成数学方法论课。我们把数学方法论因子分划表(见表1)中的MM因子(数学方法论因子的简称)分离或分解出来，转化为可控的可操作的MM可控变量，即教学措施。在学生的参与下，使他们的数学意识和素质状态发生变化，并且不断地增强或提高，从而达到全面提高学生素质这一总体目标。

MM数学教育方式的界定：所谓MM数学教育方式，也就是运用数学方法论的观点指导数学教学，即应用数学的发展规律，数学的思想方法，数学中的发现、发明和创新机制设计和改革数学教学的一种数学教学方式。具体地说就是：教师在数学教学的全过程中，充分发挥数学教育的2个功能(科学技术功能和文化教育功能)；自觉地遵循2条基本原则(既教证明又教猜想的原则&教学·研究·发现同步协调原则)；瞄准3项具体目标(引导学生自我增进一般科学素养，提高社会文化修养，形成和发展数学品质)；自觉地恰当地操作好8个可控变量(通俗地说也就是掌握好八项教学措施：数学返璞归真教育，数学审美教育，数学发现法教育，数学家优秀品质教育，数学史志教育，演绎推理、合情推理和一般解题方法的教学)，从而达到全面提高学生素质的目的。具体可参见基本操作表和指标体系表，其中蕴含了数学核心素养的深刻内涵和丰富外延。(9)徐沥泉：《教学·研究·发现——MM方式演绎》，科学出版社2003年版。它要求教师能站在马克思主义哲学辩证思维方法的高度上加以灵活运用，而不是进行机械的操作。更详细的诠释可参阅“MM方式实验报告”。

为使MM 教育方式蕴含的数学观更加凸显出来，林夏水研究员将MM基本操作表稍作修改，从而一目了然地显示出MM因子蕴含的数学观，勾勒出如下的对应(见表2)。林先生说：“这表明MM教育方式是具有充分的哲学理论根据的。”

表2 MM因子蕴含的数学观对应表

四、 MM实验

数学方法论是徐利治教授开创的，原则性高，普适性强。马克思指出，一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。那么，数学教学为什么就不能应用数学本身的思想方法组织教学呢？对数学教育来说，这应该是“近水楼台先得月”。

1989年5月在无锡首开MM教育方式的实验，分别于1994年和2001年两次通过了由江苏省教委(教育厅)委托的以王梓坤院士为首的鉴定组的鉴定，均得到了高度评价。(10)马思援：《一项数学教育实验通过专家鉴定》，《中国教育报》1994年12月31日，教育科学版。鉴定组认为，这种数学教育方式在大、中、小学以及职教和成人教育中，都是可行的、有效的，值得继续实验和大力推广。从此，由它确证的MM教育方式开始在全国推广，由高中阶段扩大到小学、初中、大学和成人教育等各级各类学校。

“教学·研究·发现同步协调”和“既教证明又教猜想”是MM教育方式的两条基本原则。张奠宙教授指出，“既教证明又教猜想”是MM教育方式的“画龙点晴之作”。MM教育方式一方面彻底改变了学生学习的被动局面，为他们提供了正确的思想方法和学习方法，使他们对数学知识的探索规律产生浓厚兴趣，整个教学过程也就融入发明发现的主旋律之中；另一方面在方法论的意义上，中小学数学不再局限于初等数学这一小块弹丸之地，而与整个数学领域连成一片，这就为学生吸取数学科学中的现代思想，自我增进现代科学技术的文化素养开辟了一块良好的运动场。(11)倪瑞荣，周家禧等:《发现的设计&发现的经历》，《数学教育学报》1996年第2期，第24-28页。

MM教育方式至今已32年。它的主要成果如下：

已出版专著编著数十部，发表专题论文千余篇；围绕推广应用MM教育方式的全国性学术会议已召开12次，部分省市还专门建立了实验基地；由新疆昌吉州教研中心组织实施的MM子课题(《TEC教学》)获新疆维吾尔自治区哲学社会科学优秀成果一等奖；师范院校是教师的发源地，许多数学教育专业的研究生在其导师的指导下，以MM教育方式为选题完成学位论文，这就从源头上解决了教师的专业成长问题，一支既能胜任教学又能从事科研的新型的数学教师队伍正在形成，其中，中国知网发布的MM教育方式优秀硕士学位论文已由江苏凤凰教育出版社结集出版——《MM方式全国优秀硕士学位论文选辑》(12)唐志华编著：《MM方式全国优秀硕士学位论文选辑》，江苏凤凰教育出版社2019年版。。

五、 MM教育方式的生命力之所在及其创造性贡献

从20世纪80年代开始，一方面我国的教育事业走上了蓬勃发展的道路，另一方面由于盲目追求升学率的错误倾向，出现了“千军万马过独木桥”的现象，“题海战术”愈演愈烈，数学教育是首当其冲，教材内容匆匆上完，然后就是不断刷题，选学内容不选学，必学内容也未必学。

为了改变这种被扭曲了的不合理的恶性循环状况，有识之士都作出了不懈的努力，各种数学教改方案也如雨后春笋般地涌现出来，MM方式也在那时应运而生了。但大浪淘沙，多少“实验”被淘汰，又有多少“教学法”销声匿迹，几乎只有“MM教育方式”生存了下来，而且得到蓬勃发展！由中学发展到小学、职校和普通高校，由无锡推广到全国；实验班由几十个发展到两千多个，光新疆各地州市，就有400多位老师在800多个教学班进行MM实验。不仅如此，MM教育方式还传播到海外，在丹麦首都哥本哈根召开的第10届国际数学教育大会(简称ICME-10)上进行介绍。

那么，为什么MM教育方式会取得如上所述的可喜成果？人们不禁要问：它如此诱人的魅力和强大的生命力在何处？林夏水研究员通过跟踪MM实验的设计思路和揭示MM教育方式蕴含的数学观，得出了下面的答案：它是数学方法论与数学教育实践结合的产物，同时它又蕴含着多种数学观并体现了一种新的数学教育观，表明它具有深刻的哲理根据，其奥妙就在于，它寓数学观、数学思想方法于数学教学之中。这就是它具有强大生命力的根本原因。

辩证唯物主义认为实践是认识的基础，但认识对实践具有反作用。辩证唯物主义的数学观和数学教学观是人们对数学科学和数学教学的正确反映，马克思主义哲学指导我们提出了数学教学改革的正确方案，而MM实验对数学教学改革又起着巨大的推动作用。例如，构成MM教育方式的8个可控变量的第一个是“数学的返璞归真教育”，它实际上是“再现或创设数学发现、发明的情境”。贯彻这个可控变量，就可以让学生了解数学是怎样产生和发展的，培养学生辩证唯物主义的数学发展观；就可以使抽象而枯燥的数学学术形态变成具体而生动的数学教育形态；就可以让学生具体地学到数学史上数学家的发现、发明和创新思想，并从中学习数学家的思想品质以及数学史；就可以调动学生学习的兴趣、主动性，自觉地培养自己发现、发明和创新的能力，即发现和解决问题的能力以及解决问题所需要的各种方法(包括合情推理、演绎推理以及一般解题方法)。长期在全国各地推广MM实验的我国著名特级教师杨世明先生说：一线数学教师在MM实验中感受最深的是，或隐或现地融于数学教材之中的数学观和数学思想方法使数学教学变得有血有肉；而缺乏数学思想方法的数学教学使数学变成枯燥无味的抽象物，无法激发学生的学习兴趣，效果往往不尽人意。

数学方法论的理论研究一旦与数学教学的实践相结合，就能最有效地揭示数学“趣、美、真”的特点，“趣”者，来自实践返回生活，有血有肉生动活泼，合乎情理顺乎自然之所谓也；“真”者，内容的抽象，形式的简洁，应用的广泛，结论的明确无误和推理的严密；“美”即数学的广泛联系和内在规律，因此，它能从多方位多渠道发挥对人的教育作用。至于它为什么在“题海战术”盛行之时能立于不败之地，是因为解题方法论正是来自于对学生解题的观察和研究，“解题”正是它的拿手好戏。

那么，为什么它又会如此突出而又明显地具有既能提高学生又能提高教师，使教学双方都能获益的双重作用？为什么在实践过程中执教者们又会发自内心地感受到“教师自己的提高更大于学生的提高”呢？这是因为这种教育方式较之其他一些教学方式更能紧密地结合和充分运用数学本身的特点，所以它能更有效地唤起教师自身的教学经验，从而提高他们的教学积极性，这使我们体会到只有当教育科研的选题方向预示着教师本身的提高方向时，才能使一种先进的教育理论转变为教育者们的自觉行动，才能使师资队伍的培训和建设更具有现实意义。MM实验促使教师站到学科教育的最前沿，且通过“读书—报告—备课—观摩—评议—小结”这样一种学习和研究的途径，无异于为他们的继续教育和在职提高创办了一所开放型的函授大学。

另外，教师的教和学生的学总是紧密地联系在一起的(它们处于同一教学系统之中)，正如陶行知先生所言，教的法子必须根据学的法子。由于这种教育方式能够充分调动学生学习数学的积极性和主动性，因而解除了由于学生的厌学而带来的烦恼，师生都从研究科学方法论和数学方法论尤其是解题方法论中获益，摆脱了“题海”的羁绊，从而为教师的业务进修和教育科学理论的学习创造了条件，促使教学进入良性循环。

由于数学方法论本身是一门新兴的数学分支，它汲取了现代科学、现代哲学的新成果，又紧紧地扣住了数学本身的特点，因此这门学科还具有时代特点和国情特色。MM课题正是以此作为其重要的理论基础，故它的选题得当，能满足社会实践和数学自身发展的需要，具有先进性、新颖性、独创性、突破性和研究内容的广泛性；能引起国内外专家、学者的关注和重视，得到他们的指导和帮助，从而又具有参与度高、认同广泛一致和便于推广的特点，所以一开始就表现出它的生命力，短期内便有成效。

早在1997年底，美国蒙哥马利大学数学系教授、美籍华人章雪藻女士回国访问期间，从北京的报刊上了解到无锡正在进行的MM实验，就专程来锡考察与访问了当时正在组织和进行MM实验的学校。她回国后写来了一封热情洋溢的信，说：“在无锡，看到我的同行们工作是那么地带劲，有成效。很是受鼓舞……，我羡慕你们，辛勤劳动不仅自己获得成就满足，自己成长，你们的血汗滴在自己的土地上，你们的成长融在祖国的成长中。”

2007年5月17-19日，柏林自由大学K. D. 格拉夫教授应邀到北京讲学之前，也从香港先专程到无锡访问、考察了MM实验，他与实验学校的师生进行了座谈。最后，他特别认真地把他的感受写下来，对MM实验给予充分肯定与赞扬。

王梓坤院士非常重视MM教育方式，他说：MM数学研究和数学方法系国内首创，是数学界的重要创新，它不仅有充足的理论依据，而且在相当广泛的范围内取得了很好的实际效果。

中国社科院科技哲学室资深研究员林夏水先生在他的《MM方式的生命力》一文中着重从数学观与数学方法论的一致性角度， 探讨了MM方式的生命力。他指出，MM方式既是一种新的数学教育方式，也是一种新的数学教育观。设计者独创性地把抽象的数学观有机地融入了数学教育。MM教育方式已被载入中国哲学社会科学发展史册(13)董谊思主编：《中国哲学社会科学发展历程回忆(哲学宗教学卷)》，载林夏水：《数学哲学发展的回顾》，中国社会科学出版社2014年版，第250-263页。，当然也已经载入我国数学教育的史册。

MM教育方式源于教学又高于教学。概括地说，它做出的创造性贡献如下。

【理论创新】如大家所知，马克思从研究商品开始创立了科学社会主义的理论体系，其代表作是《资本论》和《反杜林论》。“商品”这个东西每人每天都要碰到多少次，但在马克思和恩格斯之前，没有人专门把它作为一种研究对象，深刻地剖析它。

波利亚从研究解题开始，把解题上升到哲学的高度，创立了科学方法论，其代表作是《怎样解题》《数学的猜想》和《数学的发现》等。“解题”，作为学生和老师，没有人比他们再熟悉不过的了，但在波利亚之前，没有人专门系统深刻地把解题作为研究对象，全身性地考察它。

在中国，徐利治运用辩证唯物论的认识论和反映论观点，把数学本身作为研究对象，在大学层面上首开数学方法论的研讨与应用，并在理论上把数学方法论从科学方法论和科学哲学中分离出来，作为一个单独的数学分支。

诚如天津大学运怀立和宝坻教研中心杨世明所说，在MM方式诞生之前，没有人具体地解决如何把数学方法论用于数学教学的问题，更没有把它作为一种教学的方式方法。MM实验的设计者，由于弄清了由数学方法论基本原理到学生素质的转换机制，从而解决了MM能够成为一种教育方式的核心问题，并且决定了它的类公理化而又非模式化特征。(14)运怀立，杨之：《MM教育方式与当代数学教育》，《数学教育学报》2005年第4期，第74-77页。其转换器如图1所示：

图1 数学方法论到MM方式转化流程图

数学方法论属于数学哲学范畴。MM教育方式的理论与实践，是我国本土的产物，它具有内容的前沿性、观点的深刻性、理论价值和研究方法创新等特点。它的理论基础是辩证唯物论的认识论与反映论观点指导下的数学方法论。

【实践创新】正由于MM教育方式的理论创新，从而也带来了它的实践创新。由上可知，MM课题的设计者和实验教师把数学方法论贯彻到数学课堂教学之中，把它变成了一种可以操作的数学教育方式。正是由于数学方法论的原则性高，所以它的应用广泛。西南大学教育学部魏晓虹以“MM方式及其对幼儿园数学教育的启示”为题，呼吁人们把它应用于幼儿园的数学教育之中。(15)魏晓虹：《MM教育方式及其对幼儿园数学教育的启示》，《教育探究》2014年第5期，第31-34页。试问，在我国有哪一个数学教育科研项目能一以贯之地从幼儿园、小学，一直被推广应用到大学？从基础教育推广应用到职业教育和成人教育等各级各类学校？“绝后”不敢说，“空前”应该没问题。

【科学发现】有发现的设计必有发现的经历。MM教育方式中一般解题方法的教学，数学教学中恰当地组织抽象分析法的教学，由经验归纳再用演绎推理达到数学中的再创造再发现。在这方面课题组已经出了大批成果。

【结束语】MM教育方式，运用辩证唯物论的反映论观点，应用数学的发展规律，数学的思想方法和数学中的发现、发明与创新的观点设计数学教学，既教证明又教猜想，使教学、研究、发现同步。实现了数学方法论在不同层次上基本理念的贯通、数学教学从小学到大学的贯通和数学科学中高等数学与初等数学的贯通。MM方式实现了多种数学观、数学哲学观和数学教育观的贯通，数学与人文科学的贯通，数学与认知科学和思维科学的贯通。

为了完成时代赋予MM实验的新的更高的使命，2019年11月29日至30日，全国第12届数学方法论与数学教育学术研讨会暨MM实验30周年纪念活动在无锡举行，来自全国各地的数学家、数学教育家、专家学者和教师研讨当前数学教育方法，展望未来发展之大计，意在提炼“MM实验”成功的经验，立足当下数学课堂，发掘优秀的MM教育方式案例，吸收其他优秀教育理论的精髓并加以融会贯通，并在总结、反思和探索中，凝练MM教育思想，让MM教育方式在传承中发扬光大。MM教育方式定能成为中国数学教育的品牌。《数学通报》全文刊登了会议纪要(16)华志远：《MM 教育方式的源与流》，《数学通报》2020年第8期，第32-35页。，《人民日报》发布了新闻稿(17)钱一彬：《数学教育学术研讨会举行》，《人民日报》2019年12月3日，国内新闻版。。