田字形地震超材料甚低频宽带隙机理

李丽霞，李鹏国，贾 琪，李 玲

(1.西安建筑科技大学机电工程学院，西安 710055；2.西安建筑科技大学力学技术研究院，西安 710055)

0 引 言

地震是地壳快速释放能量过程中造成振动，从而产生地震波的一种自然现象。地震波可分为纵波(P波)、横波(S波)和面波三种形式，当P波与S波到达地球自由面时会形成Rayleigh波。这些Rayleigh波的频率主要集中在20 Hz以下，具有振幅大、衰减慢、传播距离远等特点，是造成建筑物破坏的主要因素。目前针对建筑物的防震保护，常见的减震措施是设置隔震支座、施加阻尼器等[1]。而这些技术是应用在建筑物建造的初期，对于已建成的建筑设施很难进行保护。声子晶体是人工设计的周期介质材料，具有禁带特性，可以抑制带隙范围内的弹性波传播[2-4]，产生与地震频率相对应的带隙的声子晶体又称地震超材料[5]。近年来，一些学者提出一种新颖的隔震减震方法[6-10]，将地震超材料布置在建筑物的周围形成周期屏障，利用其禁带特性来调控和衰减Rayleigh波。

本文针对20 Hz以下的Rayleigh波提出了一种田字形地震超材料屏障结构，不仅具有低频宽带带隙特性而且结构稳定。采用有限元法计算了结构的能带结构和频率响应函数。通过对带隙机理的研究，进一步设计了不同方式填充下的结构可以打开更宽的带隙，并研究了其产生甚低频宽带的机理。最后，采用EI-Centro地震波对周期屏障进行了时程验证。

1 田字形超材料屏障结构与带隙机理分析

1.1 单胞模型与计算方法

本文提出的田字形地震超材料屏障，周期性排列在建筑物周围，如图1(a)所示。田字形超材料单胞由外部口字形框体嵌套内部十字形柱体组成。其中，口字形框体下端部分埋入土壤中，十字形柱体固定在土壤表面，如图1(b)所示。蓝色区域为混凝土，橙色区域为土壤。单胞几何参数为：晶格常数a=2.5 m；口字形结构边长l=0.88a，宽度w1=0.08a，埋入深度hd=0.2a；十字形结构宽度w2=0.08a，高度h=1.2a。研究表明[17]，当土壤的厚度H>10a且底边有固定边界条件时，可以获得表面波的色散关系和带隙，并且当土壤厚度继续增加不会影响表面波色散关系。因此，本文取土体厚度H=40 m。屏障单元模型的材料参数如表1所示[18]。

表1 地震超材料结构的材料参数Table 1 Material parameters of seismic metamaterial structure

对于均匀且各向同性的完全线弹性波介质，在小变形和初始应力为零的假设下，取这种介质中任意体积微元定义为研究对象。根据弹性波理论，可建立介质在笛卡尔坐标系下传播的弹性波方程：

(1)

根据Bloch-Floquet定理[19]，在单元结构的X方向和Y方向施加Bloch边界条件，即位移幅度条件：

U(r+a)=eikaU(r)

(2)

式中：r为位移矢量；a为晶格常数；k为倒格子空间的波矢。

图2 不可约Brillouin区Fig.2 Reduced Brillouin zones

在有限元计算中，给定一个波矢k值，即可求得一组结构本征频率。由于该单元为中心对称结构，只需沿着不可约Brillouin区(Γ-X-M-Γ)扫描波矢k如图2所示，就可以求解结构在这一方向的固有频率。将不同方向的固有频率按方向进行排列，即可得到屏障结构的能带图。

对于有限元系统的周期结构，需要计算频响函数曲线来描述其传输特性。在周期结构的一端施加激励信号，另一端拾取其产生的加速度响应。定义有限结构的传递谱：

FR=20 lg(u1/u2)

(3)

式中：u1为输出位移响应；u2为输入位移响应。

1.2 带隙与机理分析

采用商业有限元软件COMSOL Multiphysics5.4对田字形地震超材料结构进行了计算，得到了如图3(a)所示的能带结构，其中声锥用区域①隔离出来，表面波模态位于声锥内，体波模态位于声锥外[20]。从图中可以看出，在20 Hz以下存在一条完全带隙 (灰色阴影部分)，完全带隙频率范围为9～13.1 Hz。

为了探究产生带隙的机理，给出了能带结构图中特殊点A1的振动模态，如图3(b)所示。从图中可以观察到，A1点的振动主要集中在田字形柱体上，其柱体顶部水平位移最大，土壤振动的位移几乎为零，产生了明显的局域共振现象，打开了全带隙。

图3 (a)能带结构；(b)特殊点模态振型Fig.3 (a) Band structure diagram; (b) mode shape diagram with periodic structure

为了验证屏障产生的带隙，建立如图4所示的几何模型，沿X方向周期排列10个单元屏障结构，在Y方向施加周期性边界条件。采用线位移来激发在土壤中传播的体波和Rayleigh波[21]，在土壤左侧激励处沿Z轴负方向施加幅值为1的线位移激励。波源距周期屏障的距离设置为25a，这样做的目的是可以将体波耗散在土壤中，使得周期屏障只受Rayleigh波的影响。为了消除由土壤边界反射的影响，在土壤的下底面以及两侧表面均施加完美匹配层(PLM)，其厚度为3a。在土壤右侧响应处拾取位移幅值响应，得到频率响应函数曲线如图5所示。可以看出，存在两个衰减域(灰色阴影部分)，两个衰减区域的频率分别为4.5～8 Hz和9～13 Hz，衰减总范围可达7.5 Hz，这与周期结构在Γ-X方向上的带隙基本匹配。

图4 频域分析有限周期模型内的位移场分布Fig.4 Finite period model of frequency domain analysis

图5 方向带隙和频率响应曲线 Fig.5 Directional band gap and frequency response curve

进一步研究表面的振动特性，探讨田字形超材料带隙产生的机制，图6给出了周期屏障在带隙内频率处(9.1 Hz)沿X方向的位移场。在屏障阵列的内部，振动幅度在第一个屏障柱体处最大值，然后朝着入射方向呈指数衰减，因此在周期屏障的右侧观察到低透射率。第一屏障柱体处的振动模式沿入射方向是反对称的，沿正交方向对称，这与实验的结果是一致的[22]。因此，超材料屏障产生的全带隙明显与柱体的局域共振机制有关。

图6 周期结构频率范围内的位移场Fig.6 Displacement field distribution in frequency range of special points

1.3 田字形屏障几何参数对带隙的影响

当保持土壤以上立柱高度h及其他参数不变，改变口字形框体埋入土壤的深度hd，得到了带隙随hd的变化曲线如图7(a)所示。从图中可以看出，随着口字形框体埋入深度的增大，带隙起始频率逐渐升高。而对于截止频率，当埋入深度较小时截止频率逐渐升高，但是当埋入深度超过0.5 m时，截止频率保持13.1 Hz不变。产生以上变化的原因是随着hd的增加，系统刚度增大，导致起始和截止频率升高；当截止频率上升到声锥高度时保持不变，其声锥高度由晶格常数决定，晶格常数a为恒值，因此，当hd超过0.5 m时，截止频率保持不变。

图7 (a) 埋入深度hd对带隙的影响；(b)柱体高度h对带隙的影响Fig.7 (a) Effect of embedded depth hd on band gap; (b) effect of column height h on band gap

当埋入深度hd=0.5 m时，其他几何参数保持不变，研究了柱体在土壤以上高度h对带隙的影响，如图7(b)所示。从图中可以看出，随着柱体高度的增加，带隙逐渐向低频移动，带宽呈增加趋势。这是由于当柱体的高度增加时，其质量增大，同时柱体的柔度增大，刚度降低，两者的变化均导致带隙向低频移动。因此，通过合理设计柱体的高度，可以更好地衰减10 Hz以下的地震波，并且能产生更宽的衰减范围。

2 田字形填充单元结构与传输特性

2.1 田字形全部填充单元结构

根据上节分析，带隙的打开是因为田字形柱体的局域共振。对于田字形混凝土构成的结构单元，将其单元的4个区域进行土壤填充后，增大了柱体的质量，从而可能会降低带隙的起始频率，更有利于对超低频范围内的地震波实现有效衰减。进一步，设计了田字形全部填充单元结构，即利用土壤对田字形单元结构的四个区域进行填充，其结构的尺寸与图1保持一致。该填充单元结构如图8(a)所示。同时，计算了全部填充单元结构的能带结构，如图8(b)所示，从图中可以看出，存在一条完全带隙，带隙范围为6.8～11 Hz。

图8 (a)全部填充单胞；(b)能带结构Fig.8 (a) All filled cells; (b) band structure diagram

进一步给出了全部填充单胞能带结构特殊点A2和B2的模态振型，如图9所示。从图中可以看出，A2点的振型与A1点的振型一致，其局域共振打开了全带隙。对于B2点的振型，振动大部分集中在田字形柱体上和土壤上表面，其振动模式呈纵向振动。

图9 能带特殊点处模态振型图Fig.9 Mode shape diagram with special points

利用有限元软件同样计算了排列10个周期单元的田字形全部填充结构的传输特性，结果如图10所示。可以看出，频响函数曲线在Γ-X方向存在三个衰减域：第一个衰减域为3.3～4.4 Hz；第二个衰减域为6.8～11 Hz；第三个衰减域为11.6～13.1 Hz。可以看出前两个衰减域的起始频率均低于无填充田字形结构的衰减域，对超低频范围内的表面波有效地实现了屏蔽。

图10 填充结构的方向带隙和频响函数曲线Fig.10 Directional band gap and frequency response function curves of filled structures

2.2 填充物对带隙的影响

采用土壤填充，分别对田字形屏障的4个填充区域进行不同的数量填充，得到了填充数量对带隙的影响曲线，如图11所示。从图中可以看出，随着填充数量的增大，带隙逐渐向低频移动，带隙宽度基本保持不变。这是因为填充数量的增加，田字形整体柱体的质量也相继增大，导致带隙向低频移动。从图中还可以看出，当填充数量等于2时，分别有相邻和对角两种方式的填充，且这两种方式产生的带隙基本一致。因此，增加填充的数量有利于产生更低频带隙。

图11 填充数量对带隙的影响Fig.11 Influence of filling number on band gap

进一步，探究了填充物土壤的材料参数对带隙的影响，当田字形结构的4个填充区域全部填充时，图12(a)、(b)分别给出了填充物土壤的密度和杨氏模量对带隙的影响曲线。从图12(a)中可以看出，随着填充物密度的增加，带隙向低频移动。这是因为，随着密度的增加，填充的质量增加，导致田字形柱体质量的增加，带隙向低频移动。从图12(b)中可以看出，随着填充物杨氏模量的增加，带隙中心频率基本保持不变，带隙上下边缘也基本保持不变。

图12 (a)填充物的密度对带隙的影响；(b)填充物的杨氏模量对带隙的影响Fig.12 (a) Effect of density on band gap; (b) effect of Young’s modulus on band gap

2.3 正、负梯度填充屏障结构

上文的分析表明，田字形结构随着填充物数量的增加，带隙起始频率只会向低频移动，但不能同时满足低频和宽带隙的要求。考虑到带隙的局域共振形成机理，若对周期方向的田字形结构的4个区域做正梯度或负梯度填充，即会改变柱体的质量，形成质量梯度，则将有可能实现扩宽带隙的范围，从而达到更好的隔震效果。定义在波传播方向，由未填充到填充4个的排列方式为正梯度填充，反之则为负梯度填充。沿X方向分别布置10个单元屏障，其中两个单元屏障为一组，总共为5组。正梯度填充是将5组屏障从0个填充到4个填充；负梯度填充是从4个填充到0个填充，正、负梯度填充单元结构如图13所示。分别计算了正、负梯度填充结构的传输特性如图14所示，图中虚线为正梯度填充屏障的频响曲线，实线为负梯度填充屏障的频响曲线。可以看出：相比于无填充和全部填充屏障，正、负梯度填充屏障结构具有更宽的衰减域，且二者的衰减范围相同，都覆盖了3.3～13.1 Hz的宽频范围。

图13 正、负梯度填充周期结构Fig.13 Positive and negative gradient filled periodic structures

图14 正、负梯度填充屏障频率响应曲线Fig.14 Positive and negative gradient filled barrier frequency response curve

进一步，分别给出了正、负梯度填充屏障所不同频率下的位移场分布，分别如图15、16所示。图15(a)、(b)分别为正梯度填充屏障在频率为3.8 Hz和9.8 Hz下的位移场分布；图16(a)、(b)给出了负梯度填充屏障在频率为3.8 Hz和9.8 Hz下的位移场分布。从图中可以看出，当Rayleigh波经过正、负梯度填充屏障时，两屏障都可以有效地保护建筑物免受地震波破坏。

当Rayleigh波到达正梯度填充屏障时，带隙内频率较低的Rayleigh波能量主要集中在屏障立柱上，形成类似于“彩虹捕获”的现象[23]。这是因为，不同数量填充的屏障会产生不同的较低谐振频率(3.3～4.5 Hz)，因此，当位于谐振频率范围内的Rayleigh波通过柱体会使得不同频率的波被捕获在不同的位置，从而使波不能向前传播。当频率为3.8 Hz的波从左向右传播时，Rayleigh波会越传越慢，最终会在2个填充屏障(对应起始频率为3.801 Hz)附近停止向前传播，并且波的能量被局域在该位置，如图15(a)所示。当高于谐振频率(大于4.5 Hz)的Rayleigh波传播时，发生了偏转，转化成无害的体波耗散在土壤中。

图15 正梯度填充屏障位移场分布Fig.15 Displacement field distribution of positive gradient filled barrier

负梯度填充屏障时，当带隙范围内的Rayleigh波到达屏障，土壤和前几周期屏障均产生较大的位移，并且Rayleigh波发生了偏转，将Rayleigh波转化体波耗散在土壤中，从而起到减震隔震的目的。

梯度填充屏障结构之所以产生甚低频宽带隙是因为梯度填充屏障中的全部填充屏障具有甚低频的带隙特性，并且由于梯度填充屏障是由不同的结构单元组成，每个单元都具有特定的频率范围，而梯度填充屏障具备了所有单元的带隙特性，因此，梯度填充屏障具有甚低频宽带带隙特性。

图16 负梯度填充屏障位移场分布Fig.16 Displacement field distribution of negative gradient filled barrier

为了探究梯度填充屏障对于不同方向地震波的衰减效果，计算了正梯度填充屏障在ΓX和ΓM方向的透射谱，结果如图17所示。从图中可以看出，在这两个个方向都存在衰减域，并且其衰减范围基本一致，说明了正梯度填充屏障可以衰减多方向的Rayleigh波。

图17 正梯度在不同方向的频响曲线Fig.17 Frequency response curves of positive gradient in different directions

为了验证所设计的屏障结构在真实地震波作用下的隔震减震效果，选取具有代表性的EI-Centro地震波[24]对如图13(a)所示的10周期正梯度填充屏障进行时程分析。在图13(a)所示的激励A点处沿Z方向输入EI-Centro地震波，在拾取B点处分别拾取X、Z方向加速度响应。图18(a)为地震波的加速度时程图，图18(b)为地震波的频谱曲线图，可以看出，EI-Centro地震波的主频集中在10 Hz以下，基本上覆盖了正梯度填充屏障结构所产生的衰减域。

图18 (a)EI-Centro地震波时程图；(b)EI-Centro地震波频谱曲线Fig.18 (a) EI-Centro seismic wave time history diagram; (b) EI-Centro seismic wave spectrum curve

图19(a)、(b)分别给出了正梯度填充屏障在X和Z方向的加速度响应。由于正梯度填充屏障产生的衰减域基本上覆盖了EI-Centro地震波的主频，因此可以看出，当地震波经过周期屏障后，在X和Z两个方向的加速度响应都有明显的衰减，在X方向加速最大值衰减超过70%；在Z方向加速度最大值衰减超过80%。进一步验证了所设计的正梯度填充屏障具有良好的隔震效果，可以保护建筑结构免受地震波的危害。

图19 (a)X方向加速度响应；(b)Z方向加速度响应Fig.19 (a) X direction acceleration response; (b) Z direction acceleration response

3 结 论

在减震隔震的研究基础上，本文提出了一种田字形地震超材料屏障结构，采用有限元法计算了能带结构和频率响应曲线，分析了其产生带隙的机理，讨论了填充物材料参数对带隙的影响曲线，最后进行了真实地震波时程验证，得出以下结论：

(1)由部分埋入的口字形柱体与未埋入的十字形柱体连接组成的田字形地震超材料结构，具有强度高、稳定性强及调节带隙灵活性强的特点。

(2)田字形地震超材料屏障结构对于20 Hz以下的Rayleigh波具有良好的衰减效果，衰减总范围可达7.5 Hz，其带隙的打开是因为柱体的局域共振。将田字形柱体进行填充，可对带隙的位置进行调节，形成甚低频带隙；通过设计正、负梯度填充方式，可实现拓宽带隙的范围。

(3)正、负梯度填充屏障结构两者的衰减范围一致，并且其隔震机理都是基于屏障的局域共振，但二者在低频的隔震减震方式不同。正梯度填充屏障是通过周期屏障的局域共振将谐振频率范围内的表面Rayleigh波能量局域在柱体中，形成一种类似于“彩虹捕获”的作用，将高于谐振频率的Rayleigh波通过偏转转化为体波，从而抑制Rayleigh波向前传播实现隔震的目的；负梯度填充屏障是经过周期屏障的局域共振将表面Rayleigh波转化为体波耗散在土壤中起到隔震的作用。