组合体结构基于胡聿贤谱下随机地震响应的简明封闭解

李创第 杨雪峰 李宇翔 葛新广

摘  要：胡聿贤谱是在Kainai-Tajimi谱的基础上引入了低频段的附加项，弥补了Kainai-Tajimi谱的不足，但表达式更加复杂，不易求解。两相邻建筑通过连接黏弹性阻尼器形成的组合体结构在地震作用下的减震效果显著，为此提出了一种获得组合体结构基于胡聿贤谱随机地震动响应的简明解法。首先，运用胡聿贤谱的滤波方程将地面运动转化为白噪声激励，然后通过复模态法将运动方程进行解耦，获得了组合体结构的复振动特征值及模态强度系数。其次，基于随机振动理论，得出了动态响应的协方差、方差和功率谱密度函数的简明表达式，获得了组合体结构0—2阶谱矩的封闭解。最后，与虚拟激励法进行了比较，对设置Maxwell黏弹性阻尼器的相邻建筑结构进行实例研究，分析结果包括组合体结构0—2阶谱矩以及连接黏弹性阻尼器在地震作用下的减震性能。验证了本文所提方法的精确性。

关键词：组合体结构;胡聿贤谱;黏弹性阻尼器;复模态法;谱矩

中图分类号：TU318           DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.02.002

0 引言

随着城市化的不断发展，建设用地逐渐减少，相邻建筑物之间的空间变得越来越狭小，在强震作用下容易导致相邻建筑物发生碰撞[1-3]。在以往的地震灾害中，例如1989年美国加州洛马普列塔地震[1]、2011年新西兰莱斯特彻奇地震[2]、2008年中国汶川地震[3]等，都出现了大量相邻建筑物碰撞导致的二次破坏，从而造成了更大的经济损失。

为了减少地震过程中相邻建筑结构碰撞造成的人员伤亡与经济损失，许多学者提出在相邻结构间安装阻尼器等耗能装置做成组合体结构[4-7]。伏恬甜等[4]研究了相邻结构间安装的连接阻尼器的参数优化，得出了最优阻尼系数与质量比和刚度比的公式。周云等[5]研究了相邻结构设计参数对结构碰撞响应的影响，得出了最小防震缝宽度对相邻结构的影响及缝宽的计算方法。Xu等[6]对相邻结构间设置线性二次高斯主动控制装置进行了研究，研究表明组合体结构抗震性能取决于主动控制器的参数选取情况。Zhu等[7]通过应用Kanai-Tajimi谱和多个实际地震记录，对设置在相邻结构间的黏弹性阻尼器的参数进行了优化和分析。

在工程实际中，可以将地震动看作是随机激励来进行动力分析[8-10]。由于Kanai-Tajimi谱在低频段不能很好地反映出基岩地震动的频谱特征[11-12]，基于此，许多学者采用不同的线性滤波器，从而得到了多个改进的地震动模型。在多个改进的Kanai-Tajimi模型中，胡聿贤等[13]在保持Kanai-Tajimi模型优点的条件下，在低频段引入附加项，修正了Kanai-Tajimi谱过分夸大的低频成分，克服了Kanai-Tajimi在零频处的不足之处，比较符合地震观测统计的数据结构，因而胡聿贤模型是描述地面随机振动特性的一个较为理想的计算模型。

目前，关于带黏弹性阻尼器的相邻组合结构地震反应的研究，主要基于确定性的时程分析[6，14-15]，但一条时程曲线分析不能很好地反映地震动的随机性。文献[16-17]探讨了带黏弹性阻尼器的相邻结构系统随机地震动响应的数值解，但存在计算效率及精度受数值积分步长的影响较大的问题。

针对当前建筑结构随机地震动响应分析复杂的问题，葛新广等[18]基于Kanai-Tajimi谱的滤波方程，利用复模态法获得了单自由度结构基于Kanai-Tajimi谱激励下的随机地震动响应0—2阶谱矩的简明封闭解。本文基于文献[18]所提方法，对设置黏弹性阻尼器的组合体结构在胡聿贤谱激励下的地震反应进行了分析研究。利用滤波方程[19]将胡聿贤频谱激励转化为白噪声激励，并通过复模态法将转化后的激励运动方程解耦，获得了组合体结构的复振动特征值及模态强度系数。基于随机振动理论，给出了动态响应的协方差、方差和功率谱密度函数的简明表达式，得到组合体结构0—2阶谱矩的封闭解。

1 重构组合体的地震动方程

在第J层设置连接阻尼装置，计算简图如图1所示。

图1左侧及右侧结构的运动方程分别为：

[MLxL+CLxL+KLxL+PL=-MLILxg]，     （1）

[MRxR+CRxR+KRxR+PR=-MRIRxg]，     （2）

式中：[ML（MR）]、[CL（CR）]、[KL（KR）]分别为组合体左侧（右侧）结构的质量矩阵、阻尼力矩阵、刚度矩阵，[xL（xR）]、[xL（xR）]、[xL（xR）]分别为组合体左侧（右侧）结构楼层相对于地面的位移向量、速度向量和加速度向量，[PL（PR）]为Maxwell型黏弹性阻尼器作用于左側（右侧）结构的阻尼力向量，[xg]为地面运动加速度。

上述力学参数具体表达式为：

[ML=diagmL，1，…，mL，JL，…，mL，nLT]，[IL=1，…，1TnL×1];[MR=diagmR，1，…，mR，JL，…，mR，nRT]，[IR=1，…，1TnR×1];[xL=xL，1， xL，2，…， xL，nLT]，[xR=xR，1， xR，2，…， xR，nRT];[PL=O1L， 1， O2LTpJ（t）]，[PR=O1R， -1， O2RTpJ（t）];[O1L]为行向量，其内部含[JL-1]个0元素;[O2L]为行向量，其内部含[nL-JL]个0元素;[O1R]为含[JR-1]个0元素的行向量，[O2R]为含[nR-JR]个0元素的行向量。

参照文献[20]，Maxwell型黏弹性阻尼器的阻尼力可表示为：

[PJ（t）+λPJ（t）=cd（xL，JL-xR，JR）]，          （3）

式中：[PJ（t）]为Maxwell阻尼力;[cd]为零频率时的线性阻尼常数;[kd]为“无限大”频域内的刚度系数;[λ=cd/kd]，[λ]为放松时间系数。

将式（1）与式（2）联立，则组合体系的地震动方程为：

[Mx+Cx+Kx+P（t）=-γxg]，            （4）

式中：[x=xLxR]，[M=MLo1oT1MR]，[C=CLo1oT1CR]，[K=KLo1oT1KR]，[P（t）=PLPR]，[γ=ML    ILMR    IR]，

胡聿贤谱[13]的滤波方程为：

[ug+2ξgωgug+ω2gug=-uR，xg=ug+uR，μ-ω3cμ=w（t），uR=μ.]            （5）

其中：[ξg]、[ωg]分别为基岩上部场地土的阻尼比和卓越频率，[ug、ug]分别为地面相对于基岩运动的速度和位移，[ωc]为低频截止频率，[uR]为基岩运动加速度，[w（t）]为白噪声激励，其协方差为：

[Cw（t）（τ）=2πS0δ（τ）]，                 （6）

式中：[S0]为地震动强度常数，[δ（τ）]为[Dirac]函数。

引入状态变量：

[y=x， x， PJ（t）， ug， ug， μ， μ， μT].           （7）

联立式（3）—式（5），并用状态方程表示为：

[My+Ky=rw（t）]，                     （8）

式中：[x]、[y]分别是[x]、[y]的求导;

[r=o2， 0， 0， o2， 0， 1， 0， 0Tq×1]，

其中，[q=2nL+2nR+6];

[M=CMoT2oT2γoT2oT2γo2o202ξgωg1001o2o2λ00000Eo3oT2oT2oT2oT2oT2oT2o2o2010000o2o2000001o2o2000100o2o2000010q×q];

[K=Ko3αoT2oT2oT2oT2oT2o2o20ω2g0000o2-αTcd100000o3-EoT2oT2oT2oT2oT2oT2o2o200-1000o2o2000-ω3c00o2o20000-10o2o200000-1q×q].

其中，[α=O1L， 1， O2L， O1R， -1， O2RT]，[o2]为[（nL+nR）]阶元素均为0的行向量，[o3]为元素均为0的[（nL+nR）]阶方阵，[E]为[（nL+nR）]阶单位矩阵。

2 复模态法解耦运动方程

根据复模态理论[8]，存在左、右特征向量[V]和[U]，以及特征值矩阵[P]，可得：

[P=-VTKUVTMU]，                            （9）

式中[：P]为对角矩阵。

利用复模态变换可得：

[y=Uz]，                              （10）

式中：[z]为复模态变量。

将式（10）代入式（7），式（7）可改写为：

[z+Pz=ηuR]，                          （11）

式中，[η=VTrVTMU]。

由于[P]为对角矩阵，故式（11）的分量形式为：

[zj-pjzj=ηjuR（j=1，2，…，q）]，       （12）

式中，[zj、ηj、pj]分别是[z、η、P]的分量形式。

运用杜哈梅积分对式（12）进行处理可得：

[zj=ηj0tePjτuR（t-τ）dτ].              （13）

3 組合体地震动响应公式统一表达

在工程抗震设计中，结构体系层间地震动变形与各层相对于地面的地震动位移是重要的设计参数，因此，研究上述参数的统一解具有重要的工程意义。

3.1 组合体地震动响应的绝对速度与位移

由式（8）及式（13）可知，组合体系的结构层相对于地面的位移[xj]和速度[xj]可表示为：

[xj=ujz=i=1qλj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，xj=unL+nR+jz=i=1qλnL+nR+j，i0tepiτuR（t-τ）dτ.] （14）

式中：楼层数 [j=1， …，（nL+nR）]（当[j=1， 2， …， nL]时，为组合体左侧结构;当[j=（nL+1）， …，（nL+nR）]时，为组合体右侧结构），[uj]为特征向量矩阵[U]的第[j]行向量，动力响应的模态强度系数[λj，i]为：

[λj，i=uj，iηi]，                             （15）

式中：[uj，i]为[uj]的第[i]个分量。

3.2   组合体结构的层间位移与速度

组合体系的左侧结构层间位移[ΔxL，j]及速度[ΔxL，j]可表示为：

[ΔxL，j=i=1qαj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxL， 1=xL， 1，ΔxL，j=i=1qαj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxL， 1=xL， 1.]          （16）

式中：[j=2， 3， …， nL]。

组合体左侧结构的模态强度系数[αj，i]、[αj，i]为：

[αj，i=（uj，i-uj-1，i）ηi，αj，i=（unL+nR+j，i-unL+nR+j-1，i）ηi.]     （17）

组合体系的右侧结构层间位移[ΔxR，j]及速度[ΔxR，j]可表示为：

[ΔxR， j=i=1qβj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxR， 1=xR， 1，ΔxR， j=i=1qβj，i0tepiτuR（t-τ）dτ，ΔxR， 1=xR， 1.]          （18）

组合体右侧结构的模态强度系数[βj，i]、[βj，i]为：

[βj，i=（unL+j，i-unL+j-1，i）ηi ，βj，i=（u2nL+nR+j，i-u2nL+nR+j-1，i）ηi .]     （19）

由式（14）、式（16）及式（18）可得结构各层位移及其速度，层间位移及其速度可统一表示为：

[X（t）=i=1qκi0tepiτuR（t-τ）dτ=i=1qXi（t）]， （20）

式中：[X（t）]表示地震动响应量，[κi]表示[X（t）]的模态强度系数，[Xi（t）]为[X（t）]分量形式，具体表达式如下：

[Xi（t）=κi0tepiτuR（t-τ）dτ     （i=1， 2， …， q）] .  （21）

4    组合体地震动响應的简明封闭解

4.1   组合体地震动响应的协方差

由随机振动理论[8]及式（20），结构地震动响应[X]的协方差为：

[CX（τ）=E[X（t）X（t+τ）]=]

[k=1qi=1qE[Xk（t）Xi（t+τ）]]，            （22）

式中：[E[⋅]]为数学期望。

由式（21）可知，结构地震动响应[X]分量的协方差可表示为：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=κkκi0∞0∞epkuepiv×E[uR（t-u）xR（t+τ-v）]dudv=] [κkκi0∞0∞epkuepivCuR（u+τ-v）dudv.]      （23）

把式（6）代入式（23）得：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=]

[2πS0×κkκi0∞0∞epkuepivδ（u+τ-v）dudv].     （24）

利用Dirac函数的性质，式（24）简化为：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=2πS0κkκi0∞epkuepi（u+τ）du] . （25）

对式（25）积分可得：

[E[Xk（t）Xi（t+τ）]=-2πS0κkκiepiτpk+pi].     （26）

由式（22）和式（26），组合体结构基于胡聿贤谱的动力响应的协方差为：

[CX（τ）=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+piepiτ].       （27）

由式（27）可知，组合体结构在胡聿贤谱下动力响应的协方差表达式简洁明了，并且是模态的组合。

当[τ=0]时，设置连接装置的两相邻结构响应的方差[σ2X]为：

[σ2X=CX（0）=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+pi].        （28）

由随机振动理论[8]，结构动力响应的协方差与单边功率谱关系为：

[SX（ω）=1π0∞CX（τ）cosωτdτ]，        （29）

式中：[SX（ω）]为结构响应[X]的单边功率谱。

将式（27）代入式（29），通过积分可得：

[SX（ω）=2S0i=1qk=1qκkκipk+pipiω2+p2i].     （30）

从式（30）可知，组合体结构的单边功率谱密度函数表示成1/[（ω2+p2i）]的线性组合，表达式更为简洁，且为本文解法的核心所在，为后文获得组合体结构地震动响应0—2阶谱矩的简明封闭解奠定基础。

4.2   组合体结构0—2谱矩的简明封闭解

由谱矩的定义[8]可知，地震动响应的0阶谱矩[αX， 0]为：

[αX， 0=4S0i=1qk=1qκkκipk+pi0∞piω2+p2idω].     （31）

对式（31）进行积分后可得：

[αX， 0=-2πS0i=1qk=1qκkκipk+pi].             （32）

由随机振动理论[8]，组合体系响应的0阶谱矩等于2階谱矩，即：

[αX， 2=αX， 0] .                      （33）

式中：[X=dXdt]。

由谱矩定义[8]，组合体系响应的1阶谱矩可表示为：

[αX， 1=4S0i=1qk=1qκkκipk+pipi0∞ωω2+p2idω].   （34）

对式（34）进行积分后可得：

[αX， 1=-2S0i=1qk=1qκkκipk+pipilnp2i].        （35）

根据式（14）—式（19）及式（32）、式（33）、式（35），组合体系地震动响应的0—2阶谱矩均可得到简明的封闭解。

5    算例

两相邻的钢筋混凝土建筑结构，主体结构（左侧结构）楼层数为15层，其相邻结构（右侧结构）楼层数为7层，两结构在第7层通过黏弹性阻尼器相连，主体结构每层的质量为1.56×106 kg，每层侧向刚度为4.0×109 N/m;其相邻结构每层质量为1.29×106 kg，每层的侧向刚度为2.0×109 N/m;结构采用瑞利阻尼，阻尼比为0.05，黏弹性阻尼器采用Maxwell模型，其力学参数为：kd = 5.5×108 N/m，cd = 5.5×107 N·s/m。胡聿贤随机激励模型的参      数为： [ωg]= 17.95 rad/s，[ωc]=4.14 rad/s，xg = 0.72，S0 = 15.6×10-4 m2/s3。

5.1   组合体结构系列响应功率谱对比分析

根据随机振动理论[9]，式（4）的功率谱密度函数为：

[Sxg（ω）=ω6ω6+ω6cω4g+4ξ2gω2gω2（ω2g-ω2）2+4ξ2gω2gω2S0].   （36）

由式（4）可知，基于虚拟激励的结构响应的频域解为：

[x（ω）=-D（ω）γSxg（ω）eiωt]，          （37）

式中：[xω=]

[xL， 1（ω）， …， xL， nL（ω）， xR， 1（ω）， …， xR， nR（ω）T];[Dω=K-Mω2+C+cdiω1+λiωβ-1]，[i=-1];本算例中[β]为22阶的方阵，其中，[β（7，7）=1]，[β（22，22）=1]，[β（7，22）=-1]，[β（22，7）=-1]，其余元素均为0。

结构层间位移的频响域解[Δx（ω）]可以表示为：

[Δx（ω）=xL，1（ω）， xL， 2（ω）-xL， 1（ω），…， xL， nL（ω）-xL， nL-1（ω），]

[xR，1（ω）， xR， 2（ω）-xR， 1（ω），…， xR， nL（ω）-xR， nL-1（ω）].

则基于虚拟激励法[21]的结构响应功率谱为：

[SPEMxj（ω）=xj（ω）×x*j（ω），SPEMΔxj（ω）=Δxj（ω）×Δx*j（ω）.]          （38）

式中：[SPEMxj（ω）]为[xj]的响应功率谱，[x*j（ω）]为[xj（ω）]共轭解，即[x*j（ω）=xj（-ω）];[SPEMΔxj（ω）]为[Δxj]的响应功率谱，[Δx*j（ω）]为[Δxj（ω）]共轭解。

图2为本文方法获得的地震动加速度功率谱与胡聿贤谱的地震动加速度功率谱的对比图。由图2可知，本文方法与胡聿贤谱的地震动加速度功率谱曲线完全重合。图3—图4为本文方法与虚拟激励法的功率谱密度函数的对比图，由图3、图4可知，本文方法与虚拟激励法所得的结构层位移、结构层层间位移的功率谱密度函数曲线完全重合，从而可以验证本文方法的正确性，并且本文方法的功率谱公式（30）更为简洁。

5.2    本文方法与虚拟激励法积分步长的影响分析

为验证本文方法计算精度，将本文方法获得的0—2阶响应谱矩与虚拟激励法在不同积分步长的情况下所得结果进行对比。以组合体结构中的左侧结构的绝对位移以及右侧结构的层间位移为分析对象，选取虚拟激励法的积分步长为4.00 rad/s、 2.00 rad/s、0.10 rad/s以及0.01 rad/s这4种情形进行分析。由图5—图10可知，当虚拟激励法选取的积分步长取值越小时，获得的结果逐渐平稳，所得1阶谱矩结果最终与本文方法重合，0阶和2阶谱矩最终结果与本文方法接近，误差较小，从而说明了本文方法求得的结果较为精确，避免了虚拟激励法为获得足够精度所需的多次试算。

5.3   设置连接阻尼装置结构的减震性能分析

由图11可知，设置Maxwell黏弹性阻尼器的相邻建筑结构在地震作用下的结构位移明显降低，从而说明了相邻建筑结构设置连接阻尼器运用于抗震的有效性。由图12可知，设置Maxwell黏弹性阻尼器的相邻建筑对左侧结构（主结构）的层间位移有较好的控制效果，对于附属结构（右侧结构）的层间位移较未设置连接阻尼器会出现局部增大的情形，因此，相邻建筑在设置连接阻尼装置时需对楼层的层间位移进行综合考虑。

6    结论

本文针对相邻建筑结构设置Maxwell阻尼装置形成的组合体结构，基于胡聿贤谱随机激励下的绝对位移及层间位移等系列响应的封闭解进行了研究，可得结论如下：

1）利用胡聿贤谱的滤波方程将组合体结构地震动转化为基于过滤白噪声激励的地震动方程。继而基于时域法，并利用白噪声简明的协方差表达式，把结构响应的功率谱密度函数以1/[（ω2+p2i）]的线性组合进行表示，并获得了0—2阶谱矩的简明封    闭解。

2）提出了組合体结构相对于地面的位移及层间位移等系列响应统一表达式，避免了虚拟激励法需要多次试算才能得到高精度解，便于工程的实际  应用。

3）通过对相邻建筑结构是否设置黏弹性阻尼器进行了分析，表明了黏弹性阻尼器设置在相邻建筑间具有良好的耗能和减震效果。

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Concise closed form solution of random seismic response of composite structure based on Hu Yuxian's spectrum

LI Chuangdi， YANG Xuefeng， LI Yuxiang ， GE Xinguang*

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545006， China）

Abstract： Hu Yuxian's spectrum introduces an additional term of low frequency band based on    Kainai-Tajimi spectrum， which makes up for the deficiency of Kainai-Tajimi spectrum.But the            expression is insufficient and not easy to solve.The composite structure formed by two adjacent      buildings connected with viscoelastic dampers has significant seismic mitigation effect. In this paper， a concise solution of random seismic response of composite structures based on Hu Yuxian's spectrum is presented. Firstly， the ground motion is transformed into white noise excitation by using the filtering equation of Hu Yuxian's spectrum， and the motion equation is decoupled by the complex mode method to obtain the complex vibration eigenvalues and modal intensity coefficients of the composite structure. Secondly， based on the random vibration theory， the concise expressions of covariance， variance and power spectral density function of dynamic response are obtained， and the closed form solution of 0-2 order spectral moment of composite structure is obtained. Finally， the proposed method is compared with the virtual excitation method， and a case study of an adjacent building structure with Maxwell    viscoelastic dampers is carried out to verify the correctness of the proposed method. The analysis        results include the 0-2 order spectral moment of the composite structure and the seismic performance of the connected viscoelastic dampers.

Key words： combination structure; Hu Yuxian's spectrum; viscoelastic damper; complex mode method; spectral moment

（責任编辑：罗小芬）