例析有关三角函数周期性问题的解法

师斌

周期性是三角函数的一个重要性质.一般地，函数 y = sin（ωx +φ），x ∈ R 及函数 y = cos（ωx +φ），x ∈ R （ A ，ω， φ为常数，且 A≠0，ω>0）的周期为 T =  ;函数 y =tan（ωx +φ）， x ≠ kπ+  ，k ∈Z （ A，ω，φ为常数，且 A ≠0，ω>0）的周期为 T =  .有关三角函数周期性的问题主要有两种命题形式：求三角函数的周期和判断三角函数是否为周期函数.这两类问题最后都会归结为求三角函数的周期.求三角函数的周期，通常需先利用三角函数中的基本公式将三角函数化简，然后根据函数周期的定义以及三角函数的周期公式来求解.下面结合实例来说明.

例1.已知 n， α为任意实数，求三角函数sin（nx +α）的周期.

解：

解答本题主要运用正弦函数的周期性以及函数周期的定义：若 f（x）=f（x +a），则 f（x）的周期为 T =a .明确了正弦函数的最小正周期为2π后，便可利用此性质对目标三角函数式进行变形、整理，得到sin（nx +α）= sin[n（x+ ）+α]，求出三角函数的周期.

例2.函数 f（x）=sinx -4 sin3 cos 的最小正周期为______.

解：f（x）= sinx -2 sin2 sinx = sinxcosx = sin2x，所以函数的最小正周期 T =π .

在求三角函数的周期时，同学们要首先明确正弦、余弦、正切函数的周期性，即sin（x +2kπ）= sinx （k ∈Z）; cos（x +2kπ）= cosx（k ∈ Z）; tan（x +kπ）=tanx （k ∈ Z）;再根     据正弦、余弦函数的周期公式 T =  ，或正切函数的周期公式 T = 进行求解.

例3.求函数 y = sin 3x + sin4x 的周期.

解：设函数fx= sin 3x，gx= sin4x，令函数fx， g（x）周期分别为 T1， T2则 T1= 2π T2= π

故函数 y = sin 3x + sin4x 的周期为2π.

该目标函数式为两个正弦函数的和，需分别运用正弦函数的周期公式求得两个正弦函数的周期，然后取其周期分子的最小公倍数以及分母的最大公约数，即可得到目标函数式的周期.

例4.证明：函数 y = sin 不是周期函数.

分析：本题从正面求解较为困难，需从反面入手，运用反证法进行证明.首先假设函数为周期函数，分别求得当x =0和x = T 时的函数值，证明所得的结果与假设相矛盾，从而证明该函数不是周期函数.

证明：由y = sin 可知函数的定义域为[0，+∞） ， 假设函数 y = sin 存在周期 T，

则sin = sin 对于一切 x ≥0恒成立，令 x =0 ，则 sin  =0，所以  =kπk ∈ N①，令 x = T ，则 sin  = sin  = sinkπ=0，

则  =nπn ∈ N②，

将② ÷①得  =  =  ，即  =  ，

由于为无理数，这与n，x∈ N 相矛盾，

故假设不成立，所以函数 y = sin 不是周期函數.

有关三角函数周期性的问题经常出现在各类试题中，且三角函数的周期性是求解三角函数问题的重要依据.因此，同学们在日常学习中，要熟练掌握三角函数周期性，熟悉有关三角函数周期性的题目，灵活运用周期的定义以及三角函数的周期性来解题.

（作者单位：新疆哈密市第十五中学）