“三招”破解导函数零点不可求问题

葛松

在导数问题中经常会出现一类导函数的零点不可求的问题.此类问题一般较为复杂，由于导函数的零点不可求，我们很难根据导函数的零点确定函数的单调区间，判断出函数的单调性，求得函数的极值.当零点不可求时，很多同学往往不知所措.下面，笔者介绍三个破解导函数零点不可求问题的“妙招”.

一、多次求导

在导函数的零点不可求出时，可对导函数再一次进行求导，讨论二阶、三阶导函数的解析式及其性质.在解题时，同学们要勇于尝试，通过再次或多次求导，逐步判断出函数的增减性，求得函数的最值，获得问题的答案.

例1 .已知函数 f x=x（ex -1）-ax2，当 x ≥0时，f x≥0，求 a 的取值范围.

解：

解答本题，一共进行了三次求导，使得最后一阶的导数变得简单，这样便能够用后一阶导函数的正负来判断前一阶函数的增减性，使问题顺利得解.

二、设而不求

当导函数的零点不可求时，也可以通过设而不求的方法来解题.先设出零点，将其看作已知的值，把函数的定义域划分为几个单调区间，在每个单调区间上讨论函数的单调性，求得函数的极值、最值.

例2.

解：

本题中求导后的函数为超越式方程，其零点存在，但零点不可求，于是设出零点x0，并确定其范围，然后根据导函数与函数单调性之间的关系确定函数的单调区间，确定函数的最小值点为x0，建立关于x0 的不等式，即可求得 t 的最值.

三、采用放缩法

既然导函数的零点不可求，我们不妨转换解题的思路，不用导数法，而是运用放缩法来解题.在解題时，可根据一些重要的不等式结论，如 ex ≥1 +x、lnx +1≤x、（1+x）n ≥1 +nx（n ≥1，n ∈ N）等来对函数式进行合理放缩.一般在这些重要不等式取等号时，函数式取得最值.

例3 .

证明：

解答本题的关键是根据重要不等式ex ≥1 +x，将目标不等式进行放缩，然后运用不等式的传递性证明结论.

虽然导函数的零点不可求问题很难处理，但是我们只要仔细研究导函数，对其进行多次求导，设出零点，合理进行代换;对函数式进行合理放缩，就能顺利解题.此类问题的运算量较大，同学们在解题的过程中要谨慎计算，避免出错.

（作者单位：安徽省颍上第一中学）