选择合适的方法，求数列的通项公式

毛润

求数列的通项公式问题在高中数学中比较常见，此类问题侧重于考查运算和逻辑推理能力.这类问题中的递推式多种多样，我们需根据已知递推式的特点，选择合适的方法来求得数列的通项公式.下面重点谈一谈如何求数列的通项公式.

一、公式法

对于形如 an+1 =an +b，an+1 =ban 的递推式，可直接采用公式法来求解.要先根据题意以及等差、等比数列的定义，求得数列的首项、公差、公比，然后利用等差数列的通项公式 an =a1+ n -1d 或等比数列的通项公式an =a1qn -1 ，求得所求数列的通项公式.

例1.在数列an中，a1=  ，an+1 =2an ，求数列an的通项公式.

解：由an +1 =2an 可知，数列an是等比数列，

则 an -1 =q =2，

而 a1=  ，由等比数列的通项公式可得 an = ∙2n -1 .

根据已知的递推式以及等比数列的定义可判断数列an是一个首项为、公比为2 的等比数列，于是直接根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式.

二、构造辅助数列法

对于形如 an +1 =pan +q，p ≠0、an +1 =pan +qn + Cp、q ≠0、an +1 =Aan +Bqn -1A 、B ≠0的递推式，可采用构造辅助数列法来求数列的通项公式.首先引入待定系数λ、m ，设an +1 +λ =pan +λ、an+1 +λn +m =p（an +λn +m）、an +1 +λqn +1 =Aan +λqn -1，通过对比 an+1、an 、n 、qn -1 的系数，便可建立关于待定系数的关系式，从而求得待定系数的值，构造出新数列

例2：

解：

解答本题，需先引入待定系数λ，将已知递推式设为 an+1 +λ = an +λ，通过对比系数，求得λ 的值，便可构造等比数列an -2，然后根据等比数列的通项公式求得数列an的通项公式.

对于有些较为复杂的递推式，可将递推式进行适当的变形，如作差、作商、移项、凑项等，以构造出辅助数列，然后根据等差、等比数列的通项公式，或利用累加法、累乘法求得数列的通项公式.

例3.已知数列an，满足a1= 1，an +1 =2an +1n ≥1，试求an的通项公式.

解：

先根据已知递推式得到an =2an -1 +1 ，然后通過作差的方式，构造出新数列bn，就能进一步求得所求数列的通项公式.

总之，在求数列的递推式时，同学们要仔细研究数列的递推式，明确其特点，对于能根据递推式明确数列类型的问题，可直接根据等差、等比数列的通项公式求解;若递推式较为复杂，则需将其进行合理的变形，构造出辅助数列，通过求辅助数列的通项公式求得所求数列的通项公式.

（作者单位：甘肃省陇南市武都区城关中学）