谈谈三类常见的概率模型及其概率的求法

张丽萍

概率是高考的必考内容之一.概率问题的难度一般不大，但又很容易失分，解题的关键是辨别概率的类型，选择与之相应的公式进行求解.下面谈一谈常见的几类概率模型以及其概率的求法.

一、古典概型

古典概型是一种常见的概率模型，它有两种特性：

（1）有限性.每次试验的结果只有有限个，即试验中总的基本事件数是有限的;（2）等可能性.在每次实验中，各个基本事件发生的可能性是相同的.古典概型的概率公式为 PA=试（A）验（所）总（含）的（的）基（基）本（本）事（事）件（件）数（数）.在求古典概型的概率时，可采用列表法、枚举法、树状图法分别求得 A所包含的基本事件数以及试验中总的基本事件数，然后运用公式求解.

例1.从6名男生、4名女生中任选3人参加一项社会公益活动，求被选中的3人全是男生或全是女生的概率.

分析：由题意可知，每个人被选中的可能性相等，且试验中总的基本事件数是有限的，因此该问题为古典概型，可运用古典概型的概率公式进行求解.

解：设事件A为“被选的3人全是男生或全是女生”，从 6名男生中选3人有 C 种可能的情况，从4名女生中选3人有种 C 可能的情况，则事件 A 所包含的基本事件数为 C + C ;从10人中任选3人有种 C 0可能的情况.由古典概型的概率公式得 PA=  =  .

二、几何概型

古典概型适用于计算试验中基本事件数有限的概率问题，而几何概型适用于试验结果是无限多个的概率问题，如与长度、体积、面积有关的概率问题.几何概型的概率公式：

试验的全部结果所构成的区域长度、面积或体积.在解答几何概型问题时，要首先明确问题考查的测度是长度、体积，还是面积，然后运用距离公式、体积公式、面积公式分别求得构成事件A的区域长度、面积或体积以及试验的全部结果所构成的区域长度、面积或体积，再用几何概型的概率公式求解.

例2.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同，且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，求此点取自树叶（即图中阴影部分）的概率.

解：设圆的半径为r，由扇形面积的公式和三角形面积的公式得阴影部分的面积为S=24× πr2-  r2=4πr2-6 r2，圆的面积 S′= πr2，所以此点取自树叶（即图中阴影部分）的概率为 S =4- 6 故本题选B项.

求解与面积有关的几何概型，关键是弄清问题的测度是面积，运用平面几何图形的面积公式进行求解.

三、条件概率

设 A，B 为两个事件，且 P（A）>0，称 P（B|A）= P（AB） P为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.条件概率的公式为：PA|B=  .通常可借助古典概型或几何概型的概率公式，求出事件A包含的基本事件数n（A）以及事件AB所包含的基本事件数n（AB），

例3.设 M 件产品中有 m 件为正品，从中任取两件：（1）在所取产品中有一件为次品的条件下，求另一件也是次品的概率;（2）在所取产品中有一件为正品的条件下，求另一件是次品的概率.

解：（1）设事件A為“所取的两件产品至少有一件次品”，事件B为“所取的两件产品中均为次品”，则另一件为次品的概率为 PB|A，则

（2）设 C为“所取的两件产品中至少有一件为次品”，D 为“所取的两件产品中有一件为正品，有一件为次品”，则另一件是次品的概率为 PD|C，则 PD|C=

每种概率模型的特点、适用范围均不相同.同学们在解题时要先根据古典概型、几何概型、条件概率的定义、特征明确概率的类型，然后根据古典概型、几何概型、条件概率的公式进行求解.

（作者单位：江西省崇义中学）