求三角函数周期的三种途径

王小梅

三角函数的性质较多，如单调性、奇偶性、周期性、对称性等.求三角函数的周期性问题常以选择题或填空题的形式出现，侧重于考查函数周期的定义、三角函数的周期公式以及三角函数的图象.对于不同的三角函数式，求周期的方法并不相同.下面，结合例题谈一谈求三角函数周期的三种途径.

一、利用定义法

定义法是运用函数周期的定义来解题的方法.对于函数fx，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f（x + T）=f（x），那么函数fx叫做周期函数，其中 T 为函数fx的周期.一般情况下，函数的周期有多个，我们取最小的正数作为函数的周期.在求三角函数的周期时，可直接将函数式进行变形，通过恒等变换得到 f（x + T）=f（x），便可求得函数的周期.

例1.求函数 y =3 sin（ x+ ）的周期.

解：

所以函数 y =3 sin（ x+）的周期 T =3π.

对于较为简单的三角函數，可以直接根据函数周期的定义来解题，该方法简单便捷.在变形函数式的过程中，要明确变形的方向以及基本三角函数的周期性.

二、采用最小公倍数法

对于形如 f（x）=f1（x）+f2（x）的三角函数式，通常采用最小公倍数法.首先要分别求出两个三角函数 f1（x）和f2（x）的周期，然后再找出这两个周期的最小公倍数，就能求得原函数的周期.

例2.已知函数 f（x）= sin 3x + cos5x，求此函数的周期.

解：

所以函数f（x）= sin 3x+ cos5x 的周期为2π.

观察目标函数，可以发现函数式是 y = sin 3x、 y = cos5x 两个函数的和，于是利用最小公倍数法求解. 分别求出两个函数 y = sin 3x、 y = cos5x 的周期，再寻找两个周期的最小公倍数，即可求出目标函数的周期.

三、运用公式法

我们知道y =A sin（ωx+φ）（A >0，ω>0）、y =A cos（ωx+φ）的周期公式为 T = ; y =Atan（ωx+φ）（A >0，ω>0）的周期公式为 T =ω.对于含有多项式的三角函数式，在求三角函数的周期时，可先对三角函数式进行三角恒等变换，将函数变形为 y =A sin（ωx+φ）、 y =Acos（ωx+φ）、y =Atan（ωx+φ）的形式，再利用三角函数的周期公式来求三角函数的周期.

例3.求 y = sin6ωx + cos6ωx 的周期.

解：.

由于该三角函数式的次数较高，且函数名称并不统一，因此需先运用二倍角公式、重要关系式 sin2x+cos2x =1、辅助角公式将函数式化简为最简式，再根据余弦函数的周期公式进行求解，即可求得函数的周期.

求三角函数的周期问题虽然较为简单，但是运算量较大，且函数式的形式变化多样，同学们也不可掉以轻心.在解题时，需根据三角函数式的形式，如简单的基本函数式、两个不同函数式的和、可以化简的多项式等，选择与之相应的方法进行求解.

（作者单位：江苏省如东高级中学）