运用待定系数法求数列通项公式的步骤

房静

待定系数法是解答高中数学问题的重要方法.有些递推式较为复杂，直接利用等差、等比数列的通项公式很难求得数列的通项公式，此时可巧妙利用待定系数法，根据递推式构造出一个辅助数列，通过求辅助数列的通项公式求得问题的答案.而运用待定系数法求数列的通项公式的步骤是：

1.引入待定系数，将递推式表示成另一种含有待定系数的式子;

2.利用恒等式的性质建立关于系数的方程或方程组;

3.解方程或方程组求得待定系数的值，构造出辅助数列;

4.求得辅助数列的通项公式;           5.由辅助数列的通项公式得到数列的通项公式. 利用待定系数构造的辅助数列可以是差数列、等

比数列、常数列，或形如 an +1 -an =f n、 =f n

的数列，这样便可根据等差、等比数列的通项公式、累

加法、累乘法求得辅助数列的通项公式.

例1.已知数列an中 a1= 1，an+1 =3an +1 ，求数列an的通项公式.

解：由an +1 =3an +1 可设 an +1 +x =3an +x，即 an+1 =3an +2x，

则2x =1，即 x =  ，

所以 an+1 +  =3è（æ）an + ø（ö），等比数列，

得 an +  = è（æ）a1+  ø（ö）∙3n -1，

则数列an的通项公式为an =  .

运用待定系数法由形如an+1 =Aan +B 的递推公式求数列的通项公式，可首先根据递推式引入待定系数 x ，设 an +1 +x =Aan +x，将其与递推式中 an+1、an 的系数相比较，得A -1x =B ，求得x 的值，便可构造辅助数列an +x，求得该数列的通项公式，即可得到数列an的通项公式.

例2.已知数列an中，a1= -1，an+1 =3an -2n +3，求数列an的通项公式.

解：设 an +1 +An +1+B =3an +An +B，∴ an+1 =3an +2An +2B -A，

将其与 an +1 =3an -2n +3 对比，

∴数列an -n +1是首项为-2、公比为3的等比数列，

可得：an -n +1 =-3n -1，

∴ an =-3n -1 +n -1 .

对于形如 an +1 =pan +qn + C 的递推式，在用待定系数法求数列的通项公式時，可引入待定系数A、B，将递推式设为 an +1 +An +1+B =pan +An +B，再将其变形，通过对比n 的系数与常数项，建立关于A、B 的方程组，求得A、B 的值，构造辅助数列an -An +B，即可求得数列的通项公式.

例3.已知数列an中，a1= -1，且 an+1 =2an +4× 3n -1 ，求数列an的通项公式.

解：设 an +1 +α ∙3n +1 =2an +α ∙3n，

∴ an+1 =2an -α ∙3n ，

∵ an+1 =2an +4× 3n -1，

∴α =-

∴数列an - ∙3n是首项为-5、公比为2的等比数列，

∴ an - ∙3n =-5∙2n -1，

即 an =4∙3n -1 -5 ∙2n -1 .

运用待定系数法由形如 an +1 =Aan +Bqn -1 的递推式求数列的通项公式，需引入待定系数x，设递推式为 an +1 +x ∙qn +1 =Aan +xqn -1，根据恒等式的性质，建立关于x 的方程，求得x 的值，即可构造辅助数列an +xqn -1.

可见，对于形如 an +1 =Aan +B、an +1 =pan +qn + C、 an +1 =Aan +Bqn -1 的递推式，采用待定系数法来求数列的通项公式非常有效，能将复杂的数列通项公式问题转化为常规的，易于求解的数列通项公式问题，有利于提升解题的效率.运用该方法解题的关键在于引入恰当的待定系数，根据已知的递推式设出合适的等式，以便构造出辅助数列.

（作者单位：山东省淄博市博山区实验中学）