求解集合问题的三种方法

李浩

集合问题一般较为简单，常以选择题、填空题的形式出现.此类问题通常侧重于考查集合的定义、表示方法、集合间的基本关系、基本运算等.本文主要谈一谈求解集合问题的三种方法.

一、列举法

列举法不仅是表示集合的方法，也是解答集合问题的常用方法.当遇到一些与数集、点集相关且元素的个数较少的问题时，通常可采用列举法来求解.将集合中的元素一一列举出来，便能直观地分析集合中的元素，清楚地了解集合之间的关系，顺利求得问题的答案.

例1 .设集合A = {-1，0，1}，集合B = {0，1，2，3}，定义A*B = {（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则 A*B 中元素的个数是（ ）.

A.7 B.10 C.25 D.52

解：因为A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，

所以A∩B={0，1}，A∪B={-1，0，1，2，3}，由x∈A∩B，可知 x 可取0，1;由y∈A∪B，可知 y 可取-1，0，1，2，3.

所以元素 （x，y） 的所有結果如下表所示：

所以A*B中的元素共有10个.

在运用列举法解答问题时，要注意把握元素的互异性、确定性、无序性，同时，要注意不重不漏任何情况.

二、图象法

在运用图象法解题时，需把集合用图形，如韦恩图、数轴、坐标系等表示出来，利用直观的图象来解答. 运用图象法解题，能使集合之间的关系以更加直观的方式呈现出来，这样不仅有利于分析问题，还能提升解题的效率.

例 2 .已知 U 为全集，集合 M，N 是 U 的子集，若 M ⋂ N = N ，则下列选项正确的是（）.

A. ∁UM ⊇∁U N B. M ⊆∁U N C. ∁UM ⊆∁U N D. M ⊇∁U N

解：由题意作出如图 1 所示的韦恩图，

由 M ⋂ N = N 可得 N⊆ M ，而M ⊂U，由图可知：∁UM ⊆∁U N，

故选项 C 正确.

用韦恩图表示集合的常见形式有，用图2表示A∩ B、用图3表示A∪B、用图4表示∁UA.

三、特殊值法

有些集合问题较为复杂，集合中的元素较多，此时可采用特殊值法来解题.通过取一些满足题意的特殊值，或者是对问题中的元素进行一些特殊的处理，如取极值、取区间上的端点值等，使问题化繁为简，从而达到事半功倍的效果.

例 3.已知 A ={ } x|||x = k + 21，k ∈ Z ， B ={ } x = 21 k，k∈ Z ， 则（）.

A. A = B B. A⊂≠B C. B⊂≠A D. A ⋂ B ≠ ∅

解：对于集合 A ，可令 k 为…，0，1，2，3，4，5，6，7，…，得：A ={ } …， 21， 32 ， 52 ， 72 ，…;

对于集合 B ，可令 k 为：…，0，1，2，3，4，5，6，7，…，得：B ={ } …，0， 21，1，32 ，2，52 ，3，72 ，…，

通过观察可发现集合 A 中的元素都在集合 B 中，而集合 B 中的元素如1 ∉ A ，所以 A⊂≠B ，故选 B .

对于此类问题，可以通过取特殊值来明确集合中的元素的特性，以便快速寻找到解题的思路.

相比较而言，第一种方法较为简单，第二种方法的适用范围较广，第三种方法比较实用.同学们在解题时，可根据解题的需求，合理选择与之相应的方法进行求解.

（作者单位：江苏省盐城市明达高级中学）