明确数列通项的特征，寻找求数列和的思路

殷晨曦

数列求和问题是高考中的重要考查内容，侧重于考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式.此类问题的难度适中，对同学们的运算能力以及逻辑思维能力有较高的要求.本文主要谈一谈如何根据数列通项的特征，求解数列求问题.

一、采用公式法求和

我们知道，等差数列的前n项和公式为Sn = n（a1+an）=na1+ n（n -1）d ;等比数列的前 n 项的和公式为采用公式法求数列的和，需先判定数列的类型，如等差数列、等比数列，然后求得数列的首项、公差、公比等基本量，就可以根据等差、等比数列的前 n 项和公式求和.

例1.将一个边长为1的正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，得到第 n 个正方形.設这n正方形的面积构成数列{Sn}，求 Si .

解：

解答本题，需先弄懂题意，明确n 个正方形的边长之间的关系，求得 Sn的表达式，根据等比数列的定义判定{Sn}为等比数列，再根据等比数列的前 n 项和公式求得问题的答案.

二、通过裂项相消求和

运用裂项相消法求和，需先明确数列通项的特点：一般为分式，且可裂为两项之差的形式，然后将各项相加，绝对值相同而符号相反的项便会相互抵消，化简所得的结果即可求得数列的和.

例2.已知数列{an}的通项公式为 an = è（æ） ø（ö）n -2，若数列{bn}的通项公式为 bn =  ，求数列{b2n -1b2n +1}的前 n 项和.

解：

通过化简得到b2n -1b2n +1的表达式后，便可发现该式为分式且可裂为两项之差的形式 è（æ）- ø（ö），于是采用裂项相消的方法来求和.

三、通过分组转化求和

有些数列由多个等差、等比、常数列的和构成，此时可运用分组转化法来求数列的和.在发现数列的规律，明确数列通项的特点后，可将数列中的各项进行合理的拆分，再将其重新组合成几个等差、等比、常数列，分组对每组数列求和，最后综合所得的结果即可.

例3.已知数列{an}的通项公式为 an=3n -1 +（-1）n2n， 求该数列的前 n 项和.

解：由题意得

①当n 为偶数时，

②当 n 为奇数时，

在用分组转化法求和时，要仔细观察数列中的各项，合理进行拆分，将问题转化为简单的等差、等比、常数列的求和问题，分组进行求和，便能快速求得原数列的前 n 项和.

综上所述，求数列和的方法虽然各有特色，但只要了解数列通项的特征，明确数列各项之间的规律，对其进行合理的变形、转化，灵活运用等差、等比数列的前 n 项和公式，就能使数列求和问题迎刃而解.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）