辨别分式的类型，求分式函数的值域

孙兰红

分式函数是一种重要的函数.分式函数问题一般较为复杂，在解题时需首先根据分母不为0确定函数的定义域，然后将函数式化简.求分式函数值域问题的难度较大，本文重点探讨一下两类常见的分式函数值域问题，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.

一、f x= 或型

形如fx= 或 （ a、 b、 c、 d ∈ R，且c、 d 不全为零）的分式函数有明显的特点：分子、分母的最高次数一致，且结构类似.对于 f x= 或dx2+ ex +f 型的分式函数，常采用分离常数法求其值域，首先将分母配凑成分子的倍数，使常数分离，这样便将函数式简化.只需根据函数的性质、基本不等式，利用配方法、判别式法求得含有变量式子的最值即可.若常数不易分离，可将 y 或 f x看作参数，构造关于 x 的一元一次方程、一元二次方程，利用一次函数、二次函数、一次方程、二次方程的性质，来讨论根的分布情况即可.

例1.求函数 f x= 的值域.

解：因为2x -1+ =3x +2，

因此，函数 f x= 的值域为y|y≠ .

我们直接将函数式变形，使常数分离，再根据一次函数的性质和分式的性质即可求得 f x的值域.

例2.求函数 f x=3x2+4x +5的值域.

解：

解答本题，需先将函数式变形，使常数分离，然后通过换元，构造函数gt，利用基本不等式求得gt的取值范围，从而得到函數 f x的值域.

二、f x= 型

若遇到形如fx=  （ a、 b 不全为零，c ≠0）的分式函数式时，需首先将分子、分母同时除以分子，使其转化为gx+ +n （ m、 n 为常数，m ≠0）的形式，然后利用基本不等式来求其分母的最值.若基本不等式不可用，则需利用对勾函数y =x+的单调性来求函数的最值.

例3.已知函数 f x= ，则其值域为.

解：由题意可知，当 x +2=0时，f x=0，当 x ≠-2时，

因此，函数 f x的值域为 - ， û（ù）.

我们将问题分成两种情况：x ≠-2和 x =-2进行讨论.在 x ≠-2时，直接利用基本不等式求得分母的取值范围，进而得到函数 f x的值域.

总之，求分式函数值域的方法有很多种，如分离参数法、基本不等式法、函数性质法、配方法、判别式法等.在解题时，我们需明确分式函数式的特点，辨别其类型，再选择与之相应的方法进行求解.值得注意的是，在求分式函数的值域时，要充分关注函数的定义域，只有在定义域内求得的函数值才有意义.

（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）