合理运用导数的相关知识，快速解答函数问题

李桂君

导数的相关知识是解答函数问题的重要工具，尤其在解答较为复杂的函数问题，如含有指数、对数、高次式的函数问题时，运用导数的相关知识来求解，能起到化难为易、化繁为简的效果.下面结合实例谈一谈导数的相关知识在解答函数问题中的应用.

一、求函数图象上某点处切线的方程我们知道，导数的几何意义：函数 y = f （x） 在点 x0处的导数即为曲线 y = f （x） 在点 P（x0，f （x0）） 处切线的斜率.在求函数图象上某点处切线的方程时，我们可根据导数的几何意义求得函数图象上某点处切线的斜率，再将函数图象上一点的坐标代入直线方程的斜截式中，便可求得切线的方程.

例 1.函数 y = x3 - 3x2 - 1 经过点 （1，-3） ，求该点处切线的方程.

分析：我们可以根据导数的几何意义先求出函数图象在 （1，-3） 点处的切线的斜率，再利用直线方程的斜截式便可求得切线的方程.

解：对 y = x3 - 3x2 - 1求导可得：y′ = 3x2 - 6x，

又因为切线经过点 （1，-3） ，

因此当 x = 1时，y′ = -3 ，即切线的斜率 k = -3 ，

因此切线的方程为 y + 3 = -3（x - 1） ，即 y = -3x .

二、求函数的单调区间

函数 f （x） 在某个区间 （a，b） 内的单调性与导函数f ′（x） 的关系：（1）若 f ′（x）> 0 ，则 f （x） 在这个区间上递增;（2）若 f ′（x）< 0 ，則 f （x） 在这个区间上递减;（3）若 f ′（x）=0 ，则 f （x） 在这个区间内是常数.我们可根据函数在某个区间内的单调性与导函数之间的关系，即由导函数与0之间的关系，求得函数的单调区间.

例2.已知函数 y = x3 - 3x2 - 1，求函数的单调区间.

分析：要求函数的单调区间，只需求得导函数y′ > 0 、y′ < 0 时 x 的取值范围即可.

解：对 y = x3 - 3x2 - 1求导可得：y′ = 3x2 - 6x ，由 y′ = 3x2 - 6x > 0 可得 3x2 - 6x > 0 ，解得：x < 0 或 x > 2 ，由 y′ = 3x2 - 6x < 0 可得 3x2 - 6x < 0 ，解得 0 < x < 2，

综上可知，函数 y = x3 - 3x3 - 1 的单调递增区间是（-∞，0）⋃（2，+∞） ，单调递减区间是 （0，2） .

若函数式中含有参数，就需对参数进行分类讨论，在讨论时需用导函数的零点来将定义域划分为几个区间段.

三、求函数的最值

一般地，当函数 f （x） 在点 x0 处连续时，如果在 x0附近的左侧 f ′（x）> 0 ，右侧 f ′（x）< 0 ，则 f （x0） 是极大值;如果在 x0 附近的左侧 f ′（x）< 0 ，右侧 f ′（x）> 0 ，则 f （x0） 是极小值.在求得函数的极值后，我们只需将极值与函数在区间上的端点值进行比较，便可求得函数的最值.

例3.求函数 f （x）= 13 x3 - 4x + 4 的最值.

解：对函数 f （x）= 13 x3 - 4x + 4求导可得：f ′（x）= x2 - 4， 由 f ′（x）= 0 可得 x = 2 或 x = -2 ，

由上表可得当 x = -2 时，f （x） 取得极大值，即 f （-2）= - 238 ;当 x = 2 时，f （x） 取得极小值，即，

综上可知，函数 f （x）= 13 x3 - 4x + 4 的最大值就为- 238 ，最小值为 - 43 .

一般利用导数的相关知识求函数的最值，需求出导数 f ′（x）= 0 的所有实数根，再根据函数的图形判断零点左右两侧 f ′（x） 的符号，进而求得原函数的极大值或极小值.

导数的相关知识在解答函数问题中的应用广泛，除了上述三类题目，还有求函数零点的个数、判断函数的单调性、求含参函数中参数的取值范围等.总而言之，在解答函数问题时，同学们要学会将函数与导数的相关知识，如导数的几何意义、导数与函数单调性之间的关系、极值等关联起来，以便顺利解题.

（作者单位：甘肃省陇南市宕昌县第一中学）