淡淡型数列不等式的证法

陈俊国 罗华根

型数列不等式证明题一般较为复杂，很多同学在解题时不知该如何下手.对此，笔者对此类问题的证法进行了探究.

若已知数列{an}的通项公式为（A，B，C 为常数，且 A>0，An2+Bn + C>0），且和式ak的值不易求得，在证明数列不等式ak<m（m为常数，且 m >0）时，往往可采用裂项放缩法，即将数列{an}中的项an放大为bn，构造出数列{bn}，再利用裂项相消法求得数列{bn}的和 k，然后即可证得 k ≤ n<m .这种证法的难点在于：（1）使放缩后的式子可以进行裂项求和;（2）使所证不等式的右边精准地出现常数 m .下面通过对实例的分析，进一步探究在一定条件下运用裂项放缩法证明“ <m（A，B，C，m为常数，且 A >0，m >0，An2+Bn + C ）”型数列不等式的思路.

例1.已知数列{an}的通项公式为 an =  ，前 n 项和为 Sn，求证：对一切正整数n，都有 Sn< .

解析：本题的常规证法是利用裂项相消法对放缩后的式子进行求和.放缩的难点在于放缩成什么形式，才能精准地凑出所证数列不等式右边的常数“3 ”.为了使放缩更加精准，需依据不等式右边的常数“3 ”及数列的通项公式，构造出能运用裂项相消法求和的数列{bn}，使bk<且 an ≤ bn，如此便能轻松地证明该数列不等式成立.

证明：

所以不等式得证.

相较于常规证法，这种证法显然具有很大的优越性，体现在能直接依据所证的不等式构造出可以裂项求和的数列通项公式，且能精准地凑出所证不等式右边的常数“  ”.

因此，证明<m（A，B，C，m为常数，且 A>0，m >0，An2+Bn + C >0），可采用如下思路：

构造数列{bn}，设bn =  ，且 b1=a1，

例2.

证明：

所以不等式得证.

在设新数列 { } bn 时，可参考 bn = （n + s）（nt+ s - 1） 来建立关系式，由再裂项求和即可.显然，若用常规的思路证明，很难做到在裂项放缩求和后，精准地凑出不等式右边的常数“”，但若采用上述方法，可使问题顺利得解.

例3.已知，数列 {an} 的前 n 项和为Sn ，求证：对一切正整数 n ，都有.

证明：

所以不等式得证.

依据通项公式，可设从而构造出数列的通项在证明结论之后，必须检验是否成立，若成立，便能证得，否则此法就行不通.

通过以上分析可以发现，当A，B，C，m为常数，且 A > 0，m > 0，An2 + Bn + C > 0 时，才能运用上述裂项放缩法证明此类数列不等式.解题的关键是要使不等式

需要说明的是，在满足上述条件（**）时，运用上述方法证明此类数列不等式的确具有优越性，但若 m 较小，便可能会出现不满足条件（**）的情况（如将例 3 中 m 的取值改为），此时就不能运用上述裂项放缩法证明此类数列不等式.

（作者单位：安徽省太湖中學）