集值优化问题近似Henig真有效点的稳定性

胡 瑞 婷

(重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067)

0 引 言

集值优化问题是优化领域的研究热点之一，具有广泛的应用前景。 譬如在物流配送、工程设计、经济金融、环境保护等重大决策和管理活动中都存在大量的集值优化问题。 由此可见，集值优化问题是十分贴近实际生活的一类数学模型，它的研究还涉及凸分析、泛函分析、线性与非线性分析、非光滑分析、变分分析等数学分支， 因此研究集值优化问题具有重要的理论意义。 近年来，国内外众多学者对集值优化问题及其相关问题的理论、算法与应用进行了研究，得到了一系列的重要成果[1-6]。 随着集值优化问题研究的关注度越来越高，其有效解的研究也越来越受国内外学者的重视。 学者们获得了多个不同意义下的真有效解，如Henig真有效解、Benson真有效解、超有效解等。 其中，超有效解的存在条件非常强，Benson真有效解的标量化要求序锥有紧或弱紧的基底。 很多情况下，这些条件都无法达到。 但是，Henig真有效解不仅具有超有效解的一些主要特征，其存在性条件比也超有效解弱，只需要序锥有基底即可。 因此，研究Henig真有效解既有一定的理论价值又有重要的实际意义。 目前学者们关于集值优化问题Henig真有效解的研究主要集中在高阶最优性条件[7]、连通性[8]、带约束的向量平衡问题[9]等，关于其稳定性的研究较少，而稳定性研究有助于提高数值计算分析的精确度，故值得进一步探索。

Lucchetti和Miglierina[10]首次研究了向量优化问题在给定空间及其映像空间下扰动问题的Painlevé-Kuratowski收敛性，为后续学者研究各种解的稳定性奠定了坚实的基础； Zeng等[11]在C凸条件下，讨论了向量优化问题有效点在近似问题的数值Painlevé-Kuratowski收敛致原始问题数值时的稳定性，从而改进了文献[10，12]获得的相应向量优化问题的稳定性定理；Li等[13]在(严格)真拟C凸条件下，利用向量值函数序列的连续性和ΓC收敛性，研究了向量优化问题Henig真有效点集与解集的收敛性，所得结果与文献[10，11]不同。 这类文献对本文集值优化问题近似Henig真有效点的稳定性研究提供了重要的理论支持。

又由于大多数实际问题难以得到准确解，只能用近似解逼近，而近似解不仅使计算精度变高，而且还能适应各种复杂情况。 因此，本文针对集值优化问题近似Henig真有效点，提出在目标集值优化问题的映射及可行域均扰动的情形下，建立C凸集值优化问题近似Henig真有效点的稳定性结果，将近似Henig真有效点的稳定性研究从向量值优化问题推广到集值优化问题中，从而得到新的抗干扰性结果。

1 预备知识

本节将介绍一些基本概念和相关性质。 令C为Rp中内部非空的尖闭凸锥，Rp中C诱导的偏序如下：

y≤Cx⟺x-y∈C，∀x,y∈Rp

y

设F:E→2Rp为集值映射，E为Rm中的非空子集，考虑如下集值优化问题：

(E,F):minx∈EF(x)

首先回顾关于集值优化问题(E,F)的几种解的定义，令F(E)=∪x∈EF(x)。

定义1 设E⊂Rm非空，y∈F(E)， 任取e∈intC，ε≥0，若点y满足(F(E)-{y}+εe)∩(-C)={0}，则称点y为集合F(E)的εe-近似有效点，记集合F(E)中所有εe-近似有效点构成的集合为εe-MinF(E)。

定义2[6]设E⊂Rm非空，y∈F(E)，任取e∈intC，ε≥0, 若点y满足(F(E)-{y}+εe)∩(-intC)=∅，则称点y为集合F(E)的εe-近似弱有效点，记集合F(E)中所有εe-近似弱有效点构成的集合为εe-WMinF(E)。

定义3 设E⊂Rm非空，y∈F(E)，任取e∈intC，ε≥0， 若存在满足C{0}⊂intC1的内部非空的尖闭凸锥C1，使得(F(E)-{y}+εe)∩(-C1{0})=∅，则称点y为集合F(E)的εe-近似Henig真有效点，记集合F(E)中所有εe-近似Henig真有效点构成的集合为εe-HMinF(E)。

注1 显然εe-HMinF(E)⊂εe-MinF(E)⊂εe-WMinF(E)。

性质1 设e∈intC，ε≥0，则有εe-HMin(F(E)+C)=εe-HMinF(E)。

证明先证εe-HMin (F(E)+C)⊂εe-HMinF(E)。 任取y∈εe-HMin (F(E)+C)，则有(F(E)+C-{y}+εe)∩(-C1{0})=∅。 因为F(E)⊂F(E)+C，所以(F(E)-{y}+εe)∩(-C1{0})=∅。 从而可知，y∈εe-HMinF(E)，故εe-HMin (F(E)+C)⊂εe-HMinF(E)。

下证εe-HMinF(E)⊂εe-HMin (F(E)+C)。 任取y∈εe-HMinF(E)，则有(F(E)-{y}+εe)∩(-C1{0})=∅。 反证法：假设y∉εe-HMin(F(E)+C)，则存在y′∈F(E)+C，使得y′-y+εe∈-C1{0}，由y′∈F(E)+C可知，存在y″∈F(E)，e′∈C，使得y′=y″+e′，从而有y″+e′-y+εe∈-}-C1{0}，因此y″-y+εe∈-e′-C1{0}，即y″-y+εe∈-C-C1{0}。 又因为C{0}⊂intC1，所以y″-y+εe∈-C1{0}，又因为C1为内部非空的尖闭凸维，C1+C1{0}=C1{0}，所以y″-y+εe∈-C1{0}。这与y∈εe-HMinF(E)矛盾。 因此y∈εe-HMin(F(E)+C)。

下面回顾集合的Painlevé-Kuratowski收敛性定义。

下面介绍3种集值映射序列收敛的概念。

2) 对任意x∈E，y∈F(x),存在En中的序列{xn}，xn→x，有yn∈Fn(Xn),使得yn→y；

3) 对任意x∈E，En中的任意序列{xn}，xn→x，和任意ε∈intC，存在kε∈N，使得Fn(xn)+ε⊂F(x)+intC，∀n≥kε。

注3 文献[14，注2.8]中ΓC收敛的向量值形式是定义7的特殊形式；定义6中连续收敛强于定义7中ΓC收敛。

下面讨论集值映射序列连续收敛和Painlevé-Kuratowski收敛之间的关系。

证明先证epiF⊂limninfepiFn。 任取(x,z)∈epiF,则x∈E，z∈F(x)+C。由定义7中2)可知，存在En中序列{xn}，xn→x，使得Fn(xn)→F(x)。 因为z∈F(x)+C，所以存在y∈F(x)，使得z-y∈C。 令e∈C，e=z-y，则

y=z-e

(1)

因为y∈F(x)，Fn(xn)→F(x), 所以存在yn∈Fn(xn)，使得yn→y。 由式(1)可知yn→z-e，从而有yn+e→z。 令zn=yn+e，则有zn∈Fn(xn)+C且zn→z。 综上可知，存在(xn,zn)∈epiFn，(xn,zn)→(x,z)。 因此(x,z)∈limninfepiFn。

注4 根据性质2易知，Painlevé-Kuratowski收敛弱于ΓC收敛。

下面介绍几种凸性定义、回收锥定义及相关性质。

定义8[13]设E⊂Rm为非空凸集，若F:E→2RP为C凸集值映射，当且仅当对任意x,y∈E，λ∈[0,1]，有

λF(x)+(1-λ)F(y)⊂F(λx+(1-λ)y)+C

定义9[6]设E为Rm上的子集，F:E→2RP为集值映射， 对向量α∈RP，F在高度α下的子水平集Fα定义为

Fα={x∈E:α∈F(x)+C}

定义10[10]设闭凸集E⊂Rm，E的回收锥集合定义为

0+(E)={d∈Rm:x+td∈E,∀x∈E,∀t≥0}

注5显然，若闭凸集E⊂Rm，有0+(E)={0}，当且仅当E为有界集。

HMinE⊂limninfHMinEn

引理2 令E⊂Rm是闭凸子集，F:E→Rm是连续C凸映射，若对任意α∈Rp，当Fα≠∅时，有 0+(Fα)={0}，则F(E)+C为闭集。

证明令序列{yn}⊂F(E)+C且yn→y，下证y∈F(E)+C。 因为{yn}⊂F(E)+C, 所以存在{xn}⊂E，使得yn∈F(xn)+C。 又因为对任意ε∈intC，存在nε∈N，使得y+ε∈yn+C，∀n≥nε, 所以y+ε∈F(xn)+C，∀n≥nε。 由α的任意性，可知0+(Fγ+ε)=0+(Fα)={0}。 再结合注5可得Fγ+ε为有界集,故{xn}收敛。不妨设xn→x,因为y+ε∈F(xn)+C，所以存在ε′∈C，使得y+ε-ε′∈F(xn),从而(xn,y+ε-ε′)→(x,y+ε-ε′)。 又因为F是连续映射，所以y+ε-ε′∈F(x)，即y+ε∈F(x)+C, 结合ε的任意性，可知y∈F(x)+C。 因为xn∈E，E为闭集,所以E中{xn}的极限点x∈E,从而y∈F(E)+C，故F(E)+C为闭集。

引理3 若F为Rm中凸子集E上的连续C凸映射，则F(E)+C为凸集。

证明任取y1,y2∈F(E)+C，λ∈[0,1]，则存在x1∈E，使得y1∈F(x1)+C，存在x2∈E，使得y2∈F(x2)+C，所以λy1+(1-λ)y2∈λF(x1)+(1-λ)×F(x2)+C。 由F的C凸性，可知λF(x1)+(1-λ)×F(x2)⊂F(λx1+(1-λ)x2)+C，因为E为凸集，所以λx1+(1-λ)x2∈E，从而有λy1+(1-λ)y2∈F(E)+C+C⊂F(E)+C，所以λy1+(1-λ)y2∈F(E)+C，由此可知F(E)+C为凸集。

2 稳定性结果

本节在集值优化问题的可行域和目标映射均扰动的情况下，建立集值优化问题近似Henig真有效点的Painlevé-Kuratowski抗干扰性收敛性结果。

(2)

其中，B(0,r)表示以0为球心，r为半径的球。

d(xnk,Fα)>r

(3)

α∈y′+C

(4)

(5)

综上所述，式(2)成立。

(xk,γk)→(x,γ)

(6)

其中，xk∈Enk且

γk∈Fnk(xk)+C

(7)

由式(6)可知γk→γ，并对任意ε∈intC，存在kε∈N，使得

γ+ε∈γk+C,∀k>kε

(8)

又由式(7)和式(8)，可得

γ+ε∈Fnk(xk)+C,∀k>kε

即当k充分大时，有

(9)

性质5 设E⊂Rm为非空闭凸子集，F:E→2RP为E上的C凸集值映射且epiF为闭集, 则以下命题等价:

1)α∈Rm，当Fα≠∅时，0+(Fα)={0}；

2)α∈Rm，当Fα≠∅时，Fα有界。

证明与文献[6，引理3.6]证明类似，稍作修改即可得正。

下面建立扰动集值优化问题εe-近似Henig真有效点的稳定性结果。

定理1假设性质3的所有条件都满足，且Fn在En上连续，则HMinF(E)⊂limninfHMinFn(En)。

3 结束语

受文献[13]的启发，将Henig真有效点推广到近似Henig真有效点，且将近似Henig真有效点的稳定性结果从向量优化问题推广到C凸集值优化问题的情形中。 在扰动集值优化问题的问题数据Painlevé-Kuratowski收敛到目标集值优化问题的问题数据情况下，获得了集值优化问题近似Henig真有效点的抗干扰稳定性结果。 该结果对数值计算分析中集值优化问题近似Henig真有效点的稳定性研究有着重要的理论价值。